提出并讨论了有限体积元的两网格算法关于凸多边形域中的非线性抛物方程。双网格算法包括求解网格大小为$H$的粗网格空间上的小非线性系统，然后求解在网格大小为$h$的精细网格空间上生成的线性系统。用$H^1$-范数$O（H+H^2）$导出了误差估计，这表明双网格算法达到了渐近最优近似值，只要网格大小满足$h=O（h^2）$。数值示例如下验证了该方法的实用性和有效性。

求解该问题的一种有效的时间二阶特征有限元方法建立了非线性多组分气溶胶动力学方程。虽然非常准确用特征线法处理对流多组分凝结/蒸发过程中，沿特征应用时间高阶外推来近似非线性多组分混凝项。该方案在时间上具有二阶精度用于多组件问题。我们研究了理论分析，得到了时间二阶方案的误差估计。数值实验进一步证实了理论结果。多组分气溶胶分布的动力学行为也气溶胶-水、黑碳和硫酸盐多组分气溶胶问题的模拟具有不同三模态对数正态初始分布的分量。

本文提出并分析了一种线性时步有限元方法对于抽象的二阶线性演化问题。对于这种方法，我们导出了最优阶a使用能量法的后验误差估计和尖锐后验节点误差估计以及对偶论证。基于这些估计，我们进一步设计了一种自适应时间步进上次离散化的时间策略。提供了几个数值实验显示后验误差估计的可靠性和效率，并评估其有效性提出的自适应时间步进方法。

Rayleigh型表面波的色散特性在环境中广泛应用以及工程地球物理学来成像和表征浅层地下。在本文中，我们数值研究二维粘弹性介质中Rayleigh型表面波及其特性。提出了一种时空域有限差分方法，采用非分裂卷积完全匹配层（C-PML）吸收边界条件。对于两个具有分析功能的模型波场/色散曲线的表达式，我们计算了它们的波场并比较了通过解析解和数值解验证了该方法的有效性。对于以下情况介质具有较高的泊松比，例如0.49，即具有PML的传统有限差分方法在模拟瑞利波时，边界条件不稳定，但该方法是稳定的。对于横向非均匀粘弹性介质模型（模型1）和双层粘弹性带有空腔的介质模型（模型2），我们使用此方法获得其对应的瑞利波浪。针对几个质量因素，分析了这些瑞利波的色散特性。模型1的结果表明，在浅层地下，基波的相速度瑞利波的模式随着品质因数$Q$的减小而显著增加；阶段速度随着泊松比的增加而增加。模型2的结果表明当$Q$减小时，瑞利波的高阶模态变强。

我们数值研究了当牛顿流体为通过管道注入另一种密度不同的不互溶、并流牛顿流体以及使用相场方法的粘度。两相系统由耦合的柱坐标系下的三维Cahn-Hilliard和Navier-Stokes方程。以及在经典的纳维-斯托克斯方程中已经考虑到了化学势的贡献方程式。数值方法涉及Cahn-Hilliard方程的凸分裂格式动量方程的投影型格式。我们对液滴动力学的研究形成的动机是由Utada等人的实验工作[Phys.Rev.Lett.99（2007），094502]关于滴水和喷射过渡。仿真结果表明我们使用的相场模型可以合理地预测液滴的形成。我们的模拟还确定了两类从滴水到喷射的过渡，一类由毛细管数控制外部流体和另一个由内部流体韦伯数控制的流体。结果与Utada等人[A.S.Utada，A.Fernandez-Nieves，H。A.Stone和D.A.Weitz，Phys。修订稿。99（2007），094502]和Zhang[化学工程科学。54(1999), 1759-1774]. 我们还研究了液滴形成的动力学如何依赖于系统的各种物理参数。获得了与现有结果类似的行为对于大多数参数，密度比$\lambda{\rho}$和粘度的行为不同比率$\lambda{\eta}$。

发展了尺寸修正的泊松-玻耳兹曼方程（SMPBE），以考虑静电势能计算中的离子尺寸效应及其数值解对于生物分子来说，这仍然是一个具有挑战性的研究问题。为了应对这一挑战，在本文中，我们提出了一个解分解公式，然后开发了一个有效的最小化协议用有限元近似技术求解非线性SMPBE模型。作为作为一个应用程序，特殊的SMPBE数值算法被构造并编程为生物分子（如蛋白质和DNA）的有限元程序包，对称1:1离子溶剂。我们还构建了一个具有解析解的非线性SMPBE球模型使用它来验证我们新的SMPBE数值算法和程序包。此外，在中心带电球模型上进行了数值实验，以显示一些物理特征由SMPBE模型捕获。最后，它们是为六种具有不同网络的生物分子制作的演示SMPBE有限元程序包的计算机性能。数值结果表明，SMPBE模型可以捕捉离子的某些物理性质与经典的PBE模型相比，溶剂更合理，求解效率更高。作为应用SMPBE模型，计算了自由溶剂化能，并与PBE模型的案例。

本文提出了弱Galerkin有限元的杂交公式基于离散弱Hessian的双调和方程方法作者。混合弱Galerkin格式基于使用定义的拉格朗日乘数在元素接口上。验证了拉格朗日乘数可以提供数值近似精确解的某些导数。建立了最优阶的误差估计混合弱Galerkin有限元方法的数值逼近。本文还通过消除所有的与每个元素的内部变量相关联的未知项，产生了显著减少的元素界面上未知项的线性方程组。

本文研究了拉普拉斯算子与无符号拉普拉斯因子之间的一些不等式关系给出了一致超图的H-特征值和团数。对于已连接的一致超图，最大拉普拉斯$H^+$-特征值和给出了与团/共格数相关的无符号拉普拉斯H特征值。还有一些鞋面和与最大拉普拉斯数/无符号数相关的团数/共数的下界得到了拉普拉斯H特征值。超图及其补超图的最大/最小邻接/拉普拉斯/无符号拉普拉斯H特征值之和的一些界显示。当$k$等于2时，所有这些边界都与我们所知道的一致。

在本文中，我们考虑了即将到来的离散约束最小二乘问题基于球面上混合格式的数值逼近，该混合格式同时应用径向基函数和球面多项式。我们提出了一种新的$l_2-l_1$正则化最小二乘模型并证明它是经典鞍点模型的推广模型。我们将交替方向算法应用于求解$l_2-l_1$模型，并提出了一种方便的算法的停止准则。数值结果表明，我们的模型更有效比其他模型更准确。

我们考虑洛伦兹模型的麦克斯韦方程的时域公式用于超材料。场方程以两种不同的形式考虑，其中有六种形式或四个未知向量场。在每种情况下，我们都使用调整到物理定律的参数来推导不需要Gronwall不等式的数据稳定性估计。由此得出的估计为：，从这个意义上说，夏普。我们还为每种情况给出了完全离散的公式，并扩展了sharp这些数据的稳定性。由于物理问题是线性的，因此如下所示（我们用示例）该稳定性属性也反映在先验中出现的常数中错误界限。通过从这些估计中去除时间的指数增长，我们得出结论这些方案可以放心地用于洛伦兹的长期数值模拟超材料。

我们在本文中开发了一种高效且鲁棒的谱-伽勒金方法来求解外部区域中的三维时间调和麦克斯韦方程。我们首先减少有界域的容量算子问题边界条件（TBC）。然后，我们采用变换场扩展（TFE）方法将问题简化为球壳中的麦克斯韦方程组序列。最后，我们开发基于径向和矢量勒让德近似的高效谱算法切向上的球谐展开。

本文首先考虑Lin和Xu提出的数值方法在[时间分数扩散方程的有限差分/谱近似中进行了分析，时间分数扩散方程的JCP 2007]。这是一种基于组合的方法时间上的有限差分格式和空间上的谱方法。数值分析在那篇论文中，证明了该方案在时间和谱上具有$（2-α）$级的收敛性平滑解的空间精度，其中$\alpha$是时间分数阶导数。主要本文的目的在于完善分析，并对两者进行更精确的估计时间和空间错误。更准确地说，我们通过提供更准确的时间误差项中的系数，并删除空间误差项中增长的因子随着时间步长的减小。然后，通过一些数值计算验证了理论结果测验。