本文分析了隐式显式（IMEX）Runge-Kutta（RK）时间离散化求解线性对流扩散方程的方法。处理扩散算子通过嵌入间断Galerkin（EDG）方法和对流算子隐式显式地通过逆风间断Galerkin方法。

在本文中，我们考虑多边形区域上的泊松方程由内角为$\omega>\frac{\pi}{2}$的边界条件变化引起的区域奇异性。具有这种奇异性的泊松方程的解具有奇异分解：正则部分加上单数部分。奇异部分是一个或两个奇异函数的线性组合。奇异函数的系数通常称为应力强度因子，可以是通过提取公式计算。在[11]中，我们引入了一个新的偏微分方程使用该应力强度因子的应力强度系数为“零”，根据其解我们可以简单地通过添加奇异部分来获得原始问题的非常精确的解。虽然[11]中的方法对于具有Dirichlet边界条件的Poisson问题很有效，对于奇异性较强的情况，例如混合边界，它不能给出最优结果内角较大的情况。本文给出了一种改进的算法，该算法给出了最优的两种情况的收敛性。

本文研究了一个三阶精确线性化后向微分公式非线性Maxwell方程的（BDF）型格式，使用Nédelec有限元空间近似。对非线性项的纯显式处理极大地简化了计算工作量，因为我们每次只需要解一个恒效率线性系统步骤。通过对数值解的线性化稳定性分析，给出了最优的误差估计错误函数，在时间步长条件下，对于固定常数$C^*_0$，$\tau\leq C^*0h^2$。数值结果证实了我们的理论分析并证明了高阶线性化BDF有限元方法的精度和稳定性（收敛性）。

我们提出了一种求解二阶椭圆界面的新的有限元方法其解决方案在界面上具有Robin类型跳转的问题。我们把这个问题归结为新的变分形式，并引入一种有限元方法来使用均匀网格求解修改$P_1$-Crouzeix-Raviart元素，使形状函数满足跳跃条件沿着界面。我们注意到有些情况下不能使用拉格朗日型基因为值的跳跃。提供了数值实验。

在本文中，我们提出了几个重叠域分解预条件基于二级加法求解无约束椭圆最优控制问题施瓦兹算法。我们考虑对整个领域进行控制的情况局部子集。当我们求解控制约束时，后一种情况可视为子问题采用半光滑牛顿法求解控制问题。当控件作用于在整个域中，我们构造了一个对称的正定预条件子，并证明了与预处理MINRES方法相结合具有鲁棒性，并且具有对称性和不确定性预处理器，可用于预处理的GMRES方法，并显示出更好的数值表现比积极肯定。当控件作用于局部子集时，我们数值实验表明，还构造了一个类似的对称和不定预条件与预处理的GMRES方法相结合时的效率。

本文对混合有限元Galerkin近似的后验误差分析讨论了一类二阶线性双曲方程。基于混合椭圆重构以及一个集成工具，它是Baker技术的变体，由G.Baker（SIAM J.Numer.Anal.，13（1976），564-576），关于二阶波动方程，位移在$L^∞（L^2）$-范数下的后验误差估计对半离散格式进行了推导。最后，一个一阶隐式时间离散格式是分析并建立了后验误差估计量。

本文介绍了求解柯西问题的一种简单方法。这个新的有限单元法基于具有间断近似的最小二乘法易于实现和分析。这种间断Galerkin有限元方法是灵活地处理一般的非结构化网格。有限元解的误差估计导出。通过数值算例验证了该方法的鲁棒性和灵活性提出的方法。

我们提出了一个构造第p次浸没有限元的最小二乘框架典型二阶椭圆界面问题的元素（IFE）空间。这个最小二乘公式强制执行接口跳转条件，包括已在它保证了界面元素上第$p$-th个IFE形状函数的存在。这个还讨论了所提出的第p次IFE形状函数的唯一性。计算结果展示了拟议的第$p$-th IFE空间的逼近能力以及其他功能。

本文研究了一种随机样条配置逼近方案研究一个由具有随机场系数的椭圆偏微分方程控制的最优控制问题。我们获得最优控制问题的充分必要最优性条件建立一个通过离散化逼近最优系统的方案空间有限元法与概率空间随机样条配置方法。我们进一步研究了有效的Smolyak近似方案依赖于较大随机数的光滑问题的搭配策略变量。对于更一般的控制问题，如果状态在方面可能不平滑对于某些区域的随机变量，我们采用区域分解策略进行划分将随机空间分为光滑部分和非光滑部分，然后应用Smolyak格式和样条曲线分别进行近似。推导了状态、共存和控制变量。给出了数值例子来说明我们的理论结果。

我们发展了一种有限元方法来求解-量纲规定曲率方程由于其在应用中不可替代的作用。明确地，我们首先分析问题解的存在性和唯一性，然后开发一个有限元方法来求解。有限元方法的适定性由使用巴拿赫不动点定理。该方法的最优误差估计在$H^1$范数和$L^2$范数中都建立了。我们还设计了牛顿型迭代解决由此产生的离散非线性系统的方案。进行了数值实验确定了该方法的收敛阶。

本文研究了半离散Galerkin FEM的误差分析非线性抛物方程。经典能量方法在很大程度上依赖于强正则性扩散系数的假设，在许多物理应用中可能无法满足。在这里，我们将注意力集中在凸函数中的一般非线性抛物方程（或系统）上具有非线性和Lipschitz连续扩散系数的多边形或多面体。我们首先建立一类含时线性抛物方程的离散极大L^p$正则性对于某些$\epsilon>0$，$L^∞（0，T；W^{1，N+\epsilen}）\cap C（上划线{\Omega}\times[0，T]）$中的扩散系数，其中$N$表示领域的维度，而之前的分析仅限于具有特定较强的正则性假设。利用已证明的离散极大$L^p$-正则性，我们然后建立有限元的最优误差估计和近似最优误差估计非线性抛物方程的解。

本文给出了一个非均匀尺寸的修正泊松-玻耳兹曼方程（SMPBE）对于溶剂中的蛋白质，使用新的静电自由能功能和溶液分解技术。然后证明了有唯一解，且解满足由非线性代数组成的系统方程和一个泊松电介质界面问题。为了数值求解，两个新的有限元利用非线性逐次过松弛技术提出了单元迭代格式，以及用于生成初始迭代的改进的均匀SMPBE。此外，它们是用Python和Fortran编程，作为解决非均匀SMPBE的软件包，并在玻恩球试验模型和氯化钠溶液中的蛋白质上进行了数值测试氯化钠和氯化钾溶液。数值结果证实了这两个新的迭代方案并证明了新软件包的高性能。

本文提出并分析了一种二阶精确增广方法一般椭圆偏微分方程的一般边界条件条件（JEBC）配方。首先，界面问题的存在唯一性与给定的进行了讨论。然后，将适定性理论推广到界面问题具有给定的跳跃条件。在所提出的数值方法中，一个新的想法是预处理首先是PDE，因此最高导数的系数为$O（1）$。第二个想法是引入两个与解的跳跃及其正规对应的增广变量沿边界求导得到界面问题。对于分段常数系数然后可以在矩形域中使用快速泊松解算器。增广变量可以是由舒尔补码系统决定。我们还提出了两种预处理技术Schur补码的GMRES迭代法；一个是通量突变条件，以及另一种是基于增广插值格式的代数预条件器算法。数值结果表明，该方法不仅具有获得了$L^∞$范数的全局二阶精确解界面两侧边界处的法向导数。建议的预处理与未经预处理的方法相比，该技术可以提高50-90%的速度。

我们提出了一种求解对称问题的三维一致非协调混合有限元应力斯托克斯方程。低阶协调有限元是不稳定的。这个低阶非协调有限元不满足Korn不等式。建议的有限元素空间由两个协调分量和一个非协调分量组成。我们证明了离散inf-sup条件是有效的，离散Korn不等式一致成立网格大小。基于这些结果，我们给出了一些数值验证。此外，这该单元与其他六种混合有限元进行了数值比较。

本文引入了一种$hp$可杂交弱Galerkin（$hp$-HWG）方法求解二维和三维大波数亥姆霍兹方程。通过选择具体参数和对偶参数，我们证明了所提出的方法是稳定的在一定的网格约束下。通过使用稳定性分析和二元论证。提供了几个数值结果来验证我们的理论结果。

我们发展了一种基于Chebyshev-Gauss-Lobatto点的节点基的多维椭圆方程稀疏网格谱元方法。由于基于稀疏网格点不具有普通高斯求积的精度，我们构造质量以及使用伪谱方法的刚度矩阵，这对于常数问题是精确的系数和均匀结构网格。与常规谱元法相比，该方法具有使用较少自由度的灵活性。特别地，我们可以在边上使用更少的点来形成更小的Schur补码系统条件作用。给出了初步的误差估计和一些数值结果。

本文提出并分析了局部间断Galerkin方法粘性Burgers-Poisson系统。该方法保留了两个不变量，因此即使是很长一段时间的解决方案。多项式为多项式时的先验误差估计，其阶数为$\mathcal{O}（h^{k+1}）$度$k \geq 1$用于建立近似解。最后，数字实验证实了我们的理论结果。