搜索： a014477-编号：a014447
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0, 2, 16, 72, 256, 800, 2304, 6272, 16384, 41472, 102400, 247808, 589824, 1384448, 3211264, 7372800, 16777216, 37879808, 84934656, 189267968, 419430400, 924844032, 2030043136, 4437573632, 9663676416, 20971520000, 45365592064, 97844723712, 210453397504
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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“旅行推销员问题可以在时间O（n^2 2^n）内解决（其中n是要访问的网络的大小）。”[维基百科]-乔纳森·沃斯邮报2006年4月10日
满足本福德定律【Theodore P.Hill，个人通信，2017年2月6日】-N.J.A.斯隆2017年2月8日
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参考文献
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阿诺·伯杰和西奥多·希尔。本福德定律简介。普林斯顿大学出版社，2015年。
康拉德·克诺普（Konrad Knopp），《无穷级数的理论与应用》，多佛，第269页。
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链接
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康拉德·克诺普，理论与实践柏林，J.Springer，1922年。（《无穷级数的理论与应用》德文原版）
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配方奶粉
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总尺寸：2*x（1+2*x）/（1-2*x）^3。
和{n>=1}1/a（n）=Pi^2/12-（1/2）*（log（2））^2-贝诺伊特·克洛伊特2002年4月5日
a（n）=和{k=1..n}k*2^k-零入侵拉霍斯2006年10月9日
例如：exp（2*x）*（2*x+4*x^2）-杰弗里·克雷策2013年8月28日
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MAPLE公司
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seq（seq（k^n*n^k，k=2..2），n=0..25）；和seq（2^n*n^2，n=0..25）#零入侵拉霍斯2007年7月1日
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数学
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线性递归[{6，-12，8}，{0，2，16}，30](*哈维·P·戴尔2017年1月27日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..30]]中的[2^n*n^2:n//文森佐·利班迪2011年10月27日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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大卫·J·斯努克（ua532（AT）freenet.victoria.bc.ca）
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状态
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经核准的
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A118416号
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| 按行读取三角形：T（n，k）=（2*k-1）*2^（n-1），0<k<=n。 |
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1, 2, 6, 4, 12, 20, 8, 24, 40, 56, 16, 48, 80, 112, 144, 32, 96, 160, 224, 288, 352, 64, 192, 320, 448, 576, 704, 832, 128, 384, 640, 896, 1152, 1408, 1664, 1920, 256, 768, 1280, 1792, 2304, 2816, 3328, 3840, 4352, 512, 1536, 2560, 3584, 4608, 5632, 6656, 7680
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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交替行和Sum_{k=1..n}（-1）^（k+1）*T（n，k）是：（a）奇数行中的中心项T（n、（n+1）/2）=A058962号（n-1）/2）；（b） 在偶数行中，两个中心项的平均值的否定，-（T（2n，n）+T（2n+1））/2=-A018215号（米/2）。交替行和的绝对值给出了普通行平均值，和{k=1..n}T（n，k）/n；交替符号行的意思是（-2）^（n-1）-格雷戈里·杰拉德·沃纳2024年2月10日
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=2*T（n-1，k），1<=k<n；T（n，n）=A014480型（n-1）。
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例子
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三角形开始：
1;
2, 6;
4, 12, 20;
8, 24, 40, 56;
16, 48, 80, 112, 144;
32, 96, 160, 224, 288, 352;
64, 192, 320, 448, 576, 704, 832;
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MAPLE公司
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数学
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压扁[表[（2k-1）2^（n-1），｛n，10｝，｛k，n｝]](*哈维·P·戴尔2014年8月26日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a118416 n k=a118416_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a118416_低1=[1]
a118416_row n=（映射（*2）$a118416-row（n-1））++[a014480（n-1
a118416_tabl=映射a118416行[1..]
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A014479号
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| 指数生成函数=（1+2*x）/（1-2*x）^3。 |
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1, 8, 72, 768, 9600, 138240, 2257920, 41287680, 836075520, 18579456000, 449622835200, 11771943321600, 331576403558400, 9998303861145600, 321374052679680000, 10969567664799744000, 396275631890890752000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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链接
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Ben Adenbaum、Jennifer Elder、Pamela E.Harris和J.Carlos Martínez Mori，有限Coxeter群弱Bruhat阶的布尔区间，arXiv:2403.07989[math.CO]，2024。见第8页。
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配方奶粉
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通用公式：和{n>=0}（2*n+1）^（n+1）*x^n/（1+（2*n+1）*x）^-保罗·D·汉纳2013年1月2日
a（n）=2^n*（n+1）^2*n！。
递归：a（0）=1，n*a（n）=2*（n+1）^2*a（n-1）。（完）
求和{n>=0}1/a（n）=2*（Ei（1/2）-gamma+log（2）），其中Ei（x）是指数积分，gamma是Euler常数(A001620号).
Sum_｛n>=0｝（-1）^n/a（n）=2*（γ-Ei（-1/2）-γ-log（2））。（完）
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MAPLE公司
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seq（加上（计数（组成（k））*计数（排列（k），k=1..n），n=1..17）#零入侵拉霍斯2006年10月17日
序列（2^n*（n+1）^2*n！，n=0..30）#罗伯特·伊斯雷尔2015年10月28日
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=polcoeff（和（m=0，n，（2*m+1）^（m+1）*x^m/（1+（2*m+1）*x+x*O（x^n））^\\保罗·D·汉纳2013年1月2日
对于（n=0，20，打印1（a（n），“，”）
（PARI）向量（30，n，n-；n！*（n+1）^2*2^n）\\阿尔图·阿尔坎2015年10月28日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 9, 45, 173, 573, 1725, 4861, 13053, 33789, 84989, 208893, 503805, 1196029, 2801661, 6488061, 14876669, 33816573, 76283901, 170917885, 380633085, 843055101, 1858076669, 4076863485, 8908701693, 19394461693, 42077257725, 90999619581, 196226318333
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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链接
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配方奶粉
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通用格式：x*（1+2*x）/（1-x）*（1-2*x）^3）。
a（n）=2^n*（n^2-2*n+3）-3。
a（n）=和{k=0..n}k^2*2^（k-1）。（完）
a（n）=7*a（n-1）-18*a（n-2）+20*a（n3）-8*a（-n4）-哈维·P·戴尔2015年3月4日
例如：-3*exp（x）+（3-2*x+4*x^2）*exp-G.C.格鲁贝尔2021年3月31日
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{7，-18，20，-8}，{0，1，9，45}，29](*布鲁诺·贝塞利2012年3月6日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）m:=28；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；[0]cat系数（R！（（1+2*x）/（（1-x）*（1-2*x）^3））//布鲁诺·贝塞利2012年3月6日
（PARI）用于（n=0，28，打印1（2^n*（n^2-2*n+3）-3“，”）\\布鲁诺·贝塞利2012年3月6日
（鼠尾草）[2^n*（3-2*n+n^2）-3代表n in（0..30）]#G.C.格鲁贝尔2021年3月31日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 9, 35, 105, 279, 693, 1651, 3825, 8687, 19437, 42987, 94185, 204775, 442341, 950243, 2031585, 4325343, 9175005, 19398619, 40894425, 85983191, 180355029, 377487315, 788529105, 1644167119, 3422552013, 7113539531, 14763950025, 30601641927, 63350767557, 130996502467, 270582939585
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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对于固定的n，定义一个三角形T（r，c），倒数左边的前n个奇数，T（r、1）=2*（n-r）+1，倒数右边的奇数，T（r，r）=2*（n+r）-3，r>1。内部元素由T（r，c）=T（r-1，c-1）+T（r-l，c）设置。这个三角形中所有成员的总和是a（n）-J.M.贝戈2012年10月12日
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链接
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配方奶粉
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G.f.-x*（-1-3*x+6*x^2）/（（2*x-1）^2*（x-1））^2）-R.J.马塔尔2012年10月15日
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例子
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对于n＝4，三角形T（r，c）具有行（1）＝7；第（2）行=5，9；第（3）行=3,14,11；第（4）行=1，17，25，13，以及7+5+9++13=105=a（4）-J.M.贝戈2012年10月12日
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数学
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表[（2n-1）（2^n-1），{n，32}]（*或*）
Rest@系数列表[系列[-x（-1-3 x+6 x ^2）/（（2 x-1）^2*（x-1）^2），{x，0，32}]，x](*迈克尔·德弗利格2016年9月26日*）
线性递归[{6，-13，12，-4}，{1，9，35，105}，40](*哈维·P·戴尔2023年9月12日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（2*n-1）*（2^n-1）：n in[1..40]]//文森佐·利班迪2010年12月26日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 24, 243, 1728, 10125, 52488, 250047, 1119744, 4782969, 19683000, 78594219, 306110016, 1167575877, 4374822312, 16142520375, 58773123072, 211488540273, 753145430616, 2657317134051, 9298091736000, 32291110337661
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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链接
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配方奶粉
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G.f.:x*（1+12*x+9*x^2）/（1-3*x）^4。
例如：x*（1+9*x+9*x^2）*exp（x）。（完）
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MAPLE公司
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序列（3^（n-1）*n^3，n=0..30）#G.C.格鲁贝尔2020年2月8日
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数学
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表[n^3 3^（n-1），{n，0，30}](*哈维·P·戴尔2011年3月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）向量（31，n，my（m=n-1））；3^（m-1）*m^3）\\G.C.格鲁贝尔2020年2月8日
（岩浆）[0..30]]中的[3^（n-1）*n^3:n//G.C.格鲁贝尔2020年2月8日
（鼠尾草）[3^（n-1）*n^3代表n in（0..30）]#G.C.格鲁贝尔2020年2月8日
（GAP）列表（[0..30]，n->3^（n-1）*n^3）#G.C.格鲁贝尔2020年2月8日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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A141692号
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| 行读取的三角形：T（n，k）=n*（二项式（n-1，k-1）-二项式，n-1，k）），0<=k<=n。 |
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+10
三
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0, -1, 1, -2, 0, 2, -3, -3, 3, 3, -4, -8, 0, 8, 4, -5, -15, -10, 10, 15, 5, -6, -24, -30, 0, 30, 24, 6, -7, -35, -63, -35, 35, 63, 35, 7, -8, -48, -112, -112, 0, 112, 112, 48, 8, -9, -63, -180, -252, -126, 126, 252, 180, 63, 9, -10, -80, -270, -480, -420, 0, 420, 480, 270, 80, 10
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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行和为零。
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=n*（B（1/2；n-1，k-1）-B（1/2；n-1，k））*2^（n-1），其中B（T；n，k。
T（n，k）=-T（n，n-k）
T（n，0）=-n。
例如：（x*y-y）/（x*y+y-1）^2。
求和{k=0..n}abs（T（n，k））=2*A100071号（n） ●●●●。
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例子
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三角形开始：
0;
-1, 1;
-2, 0, 2;
-3, -3, 3, 3;
-4, -8, 0, 8, 4;
-5, -15, -10, 10, 15, 5;
-6, -24, -30, 0, 30, 24, 6;
-7, -35, -63, -35, 35, 63, 35, 7;
-8, -48, -112, -112, 0, 112, 112, 48, 8;
-9, -63, -180, -252, -126, 126, 252, 180, 63, 9;
-10, -80, -270, -480, -420, 0, 420, 480, 270, 80, 10;
...
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MAPLE公司
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a： =proc（n，k）n*（二项式（n-1，k-1）-二项式；结束过程：seq（seq（a（n，k），k=0..n），n=0..10）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月3日
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数学
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表[表[n*（二项式[n-1，k-1]-二项式[1，k]），{k，0，n}]，{n，0，12}]//展平
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黄体脂酮素
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（极大值）T（n，k）：=n*（二项式（n-1，k-1）-二项式$
tabl（nn）：=对于n:0到nn的do打印（makelist（T（n，k），k，0，n））$/*弗兰克·马米尼里娜·拉马哈罗2018年10月2日*/
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 4, 10, 24, 54, 120, 260, 560, 1190, 2520, 5292, 11088, 23100, 48048, 99528, 205920, 424710, 875160, 1798940, 3695120, 7574996, 15519504, 31744440, 64899744, 132503644, 270415600, 551231800, 1123264800, 2286646200, 4653525600
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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链接
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配方奶粉
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G.f.:A（x）=平方（（1+2x）/（1-2x）^3）。
a（n）=和{k=0..[（n+1）/2]}C（n+1，k）*（n+1-2k）^3/（n+1。
例如：（（1+4*x）*BesselI（0，2*x）+4*x*Bessel（1，2*x））-彼得·卢什尼2012年8月26日
a（n）=（-2）^n*超几何（[-n，3/2]，[1]，2）-彼得·卢什尼，2016年4月26日
带递归的D-有限：（n+1）*a（n+1）=4*a（n）+4*n*a（n-1）-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年10月10日
a（n）=（2^n）*和{k=0..n}（-1）^（n+k）*二项式（1/2，k）*二项式（-3/2，n-k）。
a（n）=（2^n）*和{k=0..n}（2^k）*二项式（n，k）*二项式（1/2，k）。
a（n）=（2^n）*Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*binominal（k+1/2，n）。请参见A008288号.
a（n）=（2*n+1）/（2^n*n！^2）*超几何（[-n，-1/2]，[n-1/2]，-1）。
a（n）=2^n*超深层（[-n，-1/2]，[1]，2）。
a（n）=（-1/2）^n*二项式（2*n，n）/（1-2*n）*超几何（[-n，3/2]，[-n+3/2]，-1）。（完）
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MAPLE公司
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seq（简化（（-2）^n*超几何（[-n，3/2]，[1]，2）），n=0..29）#彼得·卢什尼2016年4月26日
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数学
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系数列表[序列[Sqrt[（1+2x）/（1-2x）^3]，{x，0，30}]，x](*哈维·P·戴尔2016年1月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（k=0，floor（n+1）/2），二项式（n+1，k）*（n+1-2*k）^3）/（n+1
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 5, 20, 68, 208, 592, 1600, 4160, 10496, 25856, 62464, 148480, 348160, 806912, 1851392, 4210688, 9502720, 21299200, 47448064, 105119744, 231735296, 508559360, 1111490560, 2420113408, 5251268608, 11358175232, 24494735360
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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G.f.：（1-x+2 x ^2）/（1-2 x）^3。
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数学
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线性递归[{6，-12，8}，{1，5，20}，40](*哈维·P·戴尔2016年3月15日*）
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 4, 4, 9, 18, 9, 16, 48, 48, 16, 25, 100, 150, 100, 25, 36, 180, 360, 360, 180, 36, 49, 294, 735, 980, 735, 294, 49, 64, 448, 1344, 2240, 2240, 1344, 448, 64, 81, 648, 2268, 4536, 5670, 4536, 2268, 648, 81, 100, 900, 3600, 8400, 12600, 12600, 8400, 3600
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取，由（4，-7/4，17/28，-32/119，7/17，0，0，0,0，0A084938号. -菲利普·德尔汉姆2011年10月27日
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链接
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配方奶粉
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T（n-1，k-1）=和{i=-k.k}（-1）^i*（k^2-i^2）*二项式（n，k+i）*二项式（n、k-i）-米尔恰·梅卡2012年4月5日
通用名称：（-1-x-x*y）/（x+x*y-1）^3-R.J.马塔尔2015年8月12日
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例子
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三角形的前几行：
1;
4, 4;
9, 18, 9;
16, 48, 48, 16;
25, 100, 150, 100, 25;
36, 180, 360, 360, 180, 36;
49, 294, 735, 980, 735, 294, 49;
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MAPLE公司
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with（combstruct）：对于从0到11的n，执行seq（n*m*count（组合（n），大小=m），m=1。。n） od#零入侵拉霍斯2008年4月9日
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数学
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压扁[表[二项式[n，k]（n+1）^2，{n，0，10}，{k，0，n}]](*哈维·P·戴尔2013年7月12日*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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