| 显示找到的8个结果中的1-8个。
第页1
n个平面分区（或平面分区）的数量。
（原名M2566 N1016）
+10
273
1, 1, 3, 6, 13, 24, 48, 86, 160, 282, 500, 859, 1479, 2485, 4167, 6879, 11297, 18334, 29601, 47330, 75278, 118794, 186475, 290783, 451194, 696033, 1068745, 1632658, 2483234, 3759612, 5668963, 8512309, 12733429, 18974973, 28175955, 41691046, 61484961, 90379784, 132441995, 193487501, 281846923
评论
n的二维分区，其中没有任何行或列比其前面的行或列长（比较A001970号). 例如，a（4）=13：
4.31.3.22.211.21..2.111.111.11.1但不是2
.....1....2.....1...1......1...11.1..1........ 11
....................1.............1..1
.....................................1
在上述内容中，还必须要求行和列不减少，例如，也禁止[1,1；2]（这意味着如果空单元格标识为充满0的单元格，则行和列的长度不减少）-M.F.哈斯勒2018年9月22日
也可以视为房间角落中立方体的“安全堆积”数量：高度不应远离角落增加-沃特·梅森
还有由两种颜色的n个对象组成的分区数，每个部分至少包含一个黑色对象；请参见示例-克里斯蒂安·鲍尔2004年1月8日
将n划分为1类部件1、2类部件2……、。。。，k部件k的类型。例如，n=3表示111、12、12'、3、3'、3''-乔恩·佩里2004年5月27日
前面两个注释中分区之间的双射是通过用k个黑色对象标识一个部件，并用k类型的部件标识-大卫·斯卡布勒和乔格·阿恩特，2013年5月1日
也可以视为n X n矩阵的Jordan标准形数。（即，5 X 5矩阵有24个不同的Jordon标准形，取决于每个特征值的代数和几何多重性。）-Aaron Gable（agable（AT）hmc.edu），2009年5月26日
（1/n）*n项的卷积*A001157号（n的除数平方和）：（1，5，10，21，26，50，50，85，…）=a（n）。如[布雷索德，第12页]所示：1/6*[1*24+5*13+10*6+21*3+26*1+50*1]=288/6=48-加里·亚当森，2009年6月13日
与充气型卷曲（1、0、1、0，3、0、6、0、13…）=A026007号: (1, 1, 2, 5, 8, 16, 28, 49, 83, ...). -加里·亚当森，2009年6月13日
不幸的是，在G.Almkvist的论文中，Wright公式也是不完整的：“渐近公式和广义Dedekind和”，第344页，（分母应该是sqrt（3*Pi）而不是sqrt。）。史蒂文·芬奇（Steven Finch）在论文《整数分区》（Integer Partitions）中已经纠正了这个错误-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月17日
也是对偶也是多集链的多集的非同构权链的个数。对于每个顶点，多集分区的对偶有一个块，该块由包含该顶点的块的索引（或位置）组成，并以重数计算。多集分区的重量是其各部分大小的总和-古斯·怀斯曼2018年9月25日
参考文献
G.Almkvist，《平面分区数量的差异》，手稿，约1991年。
G.E.Andrews，《分割理论》，Addison-Wesley，1976年，第241页。
D.M.Bressoud，《证据与确认》，坎布。大学出版社，1999年；第10页第（n）页。
Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第575页。
L.Carlitz，生成函数和配分问题，A.L.Whiteman编辑，第144-169页，《数论》，Proc。交响乐。纯数学。，8 (1965). 阿默尔。数学。Soc.，见第145页，等式（1.6）。
I.P.Goulden和D.M.Jackson，《组合计数》，纽约威利出版社，1983年，（5.4.5）。
P.A.MacMahon，《数字分割理论回忆录——第六部分》，菲尔译。皇家学会，211（1912），345-373。
P.A.MacMahon，组合分析。剑桥大学出版社，伦敦和纽约，1915年第1卷和1916年第2卷；见第2卷，第332页。
P.A.MacMahon，除数平方和与给定数的分区数之间的联系，信使数学。，54 (1924), 113-116. 《论文集》，麻省理工出版社，1978年，第一卷，第1364-1367页。见表二-N.J.A.斯隆2014年5月21日
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
A.O.L.Atkin、P.Bratley、I.G.McDonald和J.K.S.McKay，关于m维划分的一些计算，程序。外倾角。Phil.Soc.，63（1967），1097-1100。
A.O.L.Atkin、P.Bratley、I.G.McDonald和J.K.S.McKay，m维分区的一些计算，程序。外倾角。Phil.Soc.，63（1967），1097-1100。[带注释的扫描副本]
Michael Beeler、R.William Gosper和Richard C.Schroeppel，哈克姆，项目18，备忘录AIM-239，马萨诸塞州剑桥市麻省理工学院人工智能实验室，1972年。
爱德华·本德，枚举中的渐近方法，SIAM评论16（1974），第4期，第509页。
E.A.Bender和D.E.Knuth，平面分区的枚举J.Combin，《理论A.13》，第40-54页，1972年。
D.M.Bressoud和J.Propp，交替符号矩阵猜想的求解，通知Amer。数学。Soc.，46（1999年第6期），637-646。
Shouvik Datta、M.R.Gaberdiel、W.Li和C.Peng，平面分区的扭曲扇区，arXiv预印本arXiv:1606.07070[hep-th]，2016年。
史蒂文·芬奇，整数分区2004年9月22日。[经作者许可，缓存副本]
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 见第580页。
伯恩哈德·海姆（Bernhard Heim）、马库斯·纽豪泽（Markus Neuhauser）和罗伯特·特罗格（Robert Tröger），平面分割不等式，arXiv:2109.15145[math.CO]，2021。
Ville Mustonen和R.Rajesh，固体分块渐近行为的数值估计。。。，arXiv:cond-mat/0303607【cond-mat.stat-mech】，2003年。
L.Mutafchiev和E.Kamenov，关于平面分割数的渐近公式。。。，arXiv:math/0601253[math.CO]，2006；C.R.学院。保加利亚科学。59（2006），第4期，361-366。
Ken Ono、Sudhir Pujahari和Larry Rolen，平面配分函数的Turán不等式，arXiv:2201.01352[math.NT]，2022。
拉斐尔·舒马赫，自我计数身份，光纤。夸脱。，55（2017年第2期），157-167。
E.M.Wright，可旋转分区，J.伦敦数学。《社会学杂志》，43（1968），501-505。
配方奶粉
G.f.：产品{k>=1}1/（1-x^k）^k.-麦克马洪，1912年。
序列[1，2，3，…]的欧拉变换。
a（n）~（c2/n^（25/36））*exp（c1*n^）（2/3）），其中c1=A249387号=2.00945…和c_2=A249386型=0.23151…-赖特，1931年。Rod Canfield于2010年6月1日更正-参见Mutafchiev和Kamenov。c2的精确值是e^（2c）*2^（-11/36）*zeta（3）^（7/36）*。
c1的精确值为3*2^（-2/3）*Zeta（3）^（1/3）=2.0094456608770137530649-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年9月14日
a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}a（n-k）*sigma_2（k），n>0，a（0）=1，其中sigma_（n）=A001157号（n） =n的除数平方和-弗拉德塔·乔沃维奇2002年1月20日
通用公式：exp（总和{n>0}σ_2（n）*x^n/n）。a（n）=和{pi}乘积{i=1..n}二项式（k（i）+i-1，k（i+n*k（n）=n-弗拉德塔·乔沃维奇2003年1月10日
更精确的渐近性：a（n）~ Zeta（3）^（7/36）*exp
*（1+c1/n^（2/3）+c2/n^
c1=-0.239944221250649114273759…=-277/（864*（2*泽塔（3））^（1/3））-泽塔（2）^
c2=-0.02576771365117017401620018082…=353*泽塔（3）^（1/3）/（248832*2^（2/3））-17*泽塔
c3=-0.00533195302658826100834286…=-629557/859963392-42944125/（7739670528*泽塔（3））+14977*泽塔
（结束）
例子
13的平面分区：
4 3 1 1
2 1
1
a（5）=（1/5！）*（σ2（1）^5+10*σ2*σ2（5）=24-弗拉德塔·乔沃维奇2003年1月10日
有一个（4）=13分区，由4个2种颜色的物体组成（‘b’和‘w’），每个部分至少包含一个黑色物体：
1个黑色部分：
[画外音]
2个黑色部件：
[网址：bbww]
【bww，b】
[体重，体重]
3个黑色部件：
[bbbw]（英国广播公司）
[bbw，b]（英国广播公司）
[bb，bw]
（但不是：[bw，bb]）
[体重，体重，体重]
4个黑色部件：
【bbbb】
[bbb，b]
[bb，bb]
[bb、b、b]
【b、b、b和b】
（结束）
整数4的相应分区为：
4'''
4''
3'' + 1
2' + 2'
4'
3' + 1
2 + 2'
2' + 1 + 1
4
3 + 1
2 + 2
2 + 1 + 1
a（4）=13多集链的非同构代表，其对偶也是多集链：
{{1,1,1,1}}
{{1,1,2,2}}
{{1,2,2,2}}
{{1,2,3,3}}
{{1,2,3,4}}
{{1},{1,1,1}}
{{2},{1,2,2}}
{{3},{1,2,3}}
{{1,1},{1,1}}
{{1,2},{1,2}}
{{1},{1},{1,1}}
{{2},{2},{1,2}}
{{1},{1},{1},{1}}
（结束）
G.f.=1+x+3*x^2+6*x^3+13*x^4+24*x^5+48*x^6+86*x^7+160*x^8+。。。
MAPLE公司
级数（mul（（1-x^k）^（-k），k=1..64），x，63）；
#第二个Maple项目：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，添加(
a（n-j）*numtheory[σ][2]（j），j=1..n）/n）
结束时间：
数学
系数列表[系列[积[（1-x^k）^-k，{k，64}]，{x，0，64}]，x]
泽塔[3]^（7/36）/2^（11/36）/Sqrt[3 Pi]/Glaisher E^（3泽塔[3]^（1/3）（n/2）^（2/3）+1/12）/n^（25/36）（*赖特之后的渐近公式；瓦茨拉夫·科特索维奇2014年6月23日*）
系数列表[Series[Exp[Sum[DivisorSigma[2，n]x^n/n，{n，50}]]，{x，0，50}]，x](*埃里克·韦斯特因，2018年2月1日*）
黄体脂酮素
（PARI）｛a（n）=如果（n＜0，0，polcoeff（exp（sum（k=1，n，x^k/（1-x^k）^2/k，x*O（x^n）），n））｝/*迈克尔·索莫斯2005年1月29日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（prod（k=1，n，（1-x^k+x*O（x^n））^-k），n））}/*迈克尔·索莫斯2005年1月29日*/
（PARI）我的（N=66，x='x+O（'x^N））；Vec（prod（n=1，n，（1-x^n）^-n））\\乔格·阿恩特2014年3月25日
（Python）
从sympy导入缓存
从sympy.theory导入除数sigma
@纪念物
如果n<=1：
返回1
收益总额(A000219号范围（1，n+1）中k的（n-k）*除数_sigma（k，2））//n
（朱莉娅）
使用Nemo、Memoize
@记忆函数a（n）
如果n==0，返回1结束
s=总和（a（n-j）*1：n中j的除数sigma（j，2））
返回div（s，n）
结束
b=欧拉变换（λn:n）
打印（[b（n）代表范围（37）中的n]）#彼得·卢什尼2020年11月11日
n个对称平面分区的数量：平面分区(A000219号)当被视为三维物体时，其具有三重对称轴，即三个镜平面的交点，即C3v对称。
+10
13
1, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 3, 2, 0, 4, 4, 0, 4, 5, 0, 5, 7, 1, 6, 9, 1, 6, 11, 1, 8, 15, 2, 10, 20, 3, 10, 25, 4, 12, 33, 7, 14, 40, 9, 15, 48, 12, 18, 60, 17, 20, 74, 23, 22, 89, 30, 26, 108, 40, 30, 130, 51, 33, 157, 66, 37, 187, 85, 42, 222, 108, 47, 262, 136, 54
n个对称平面分区的数量：平面分区(A000219号)当被视为三维物体时，只有三重对称轴，即C3对称。
+10
13
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 2, 0, 3, 3, 0, 5, 6, 0, 7, 9, 0, 11, 16, 1, 14, 23, 2, 20, 36, 4, 27, 52, 7, 37, 78, 13, 48, 111, 21, 65, 163, 36, 83, 227, 56, 109, 322, 89, 139, 444, 135, 179, 618, 207, 226, 841, 305, 288, 1151, 453, 361
例子
平面分区{{3、2、2}、{3、1}、}和{{3，2，2}，{1，1}}具有C3对称性。
1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 22, 29, 41, 53, 71, 93, 125, 160, 211, 270, 354, 450, 581, 735, 948, 1191, 1517, 1902, 2414, 3008, 3791, 4709, 5909, 7311, 9119, 11246, 13981, 17178, 21249, 26039, 32105, 39213, 48159, 58669, 71831, 87269
评论
n的平面分区是一个求和为n的非负整数矩阵，因此对于所有i，j，A[i，j]>=A[i+1，j]，A[i，j]>=A[i、j+1]。我们可以认为A是无限大的，但最多有n个非零行和列，我们忽略空行或列。它是对称的，当A=转置（A），即A[i，j]=A[j，i]对所有i，j。
参考文献
D.M.Bressoud，《证明与确认》，坎布。大学出版社，1999年；第134页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；见推论7.20.5
链接
A.Björner和R.P.Stanley组合杂集，L'Enseignement数学。，2010年第42号专著。
配方奶粉
G.f.：产品{i=1..oo}1/（1-x^（2i-1））/（1-xqu（2i））^地板（i/2）。（Stanley 1971年，第14.3号提案；Björner&Stanley 2010年，第33页）。
a（n）~exp（3*Zeta（3）^（1/3）*n^（2/3）/2^（5/3）+Pi^2*n^（1/3）/（2^（10/3）*Zeta（3）^（1/3））-Pi^4/（384*Zeta（3））+1/24）*Zeta（3）^（13/72）/（2^（77/72）*sqrt（3*Pi*a）*n^（49/72）），其中a为Glaisher Kinkelin常数A074962号. -瓦茨拉夫·科特索维奇2018年5月5日
例子
n=0的唯一平面分区是空分区[]；我们认为它是对称的（作为0 X 0矩阵），因此a（0）=1。
n=1的唯一平面分区是对称分区[1]，因此a（1）=1。
对于n=2，我们有分区[2]、[11]和[1；1]（其中；表示行的末尾）。只有第一个是对称的，所以a（2）=1。
对于n=3，我们有分区[3]，[21]，[2；1]，[1 1；1 0]，[1 1 1]，[1；1；1]。第一个和第四个是对称的，所以a（3）=2。（结束）
数学
条款=46；s=乘积[1/（1-x^（2i-1））/（1-x2i））^楼层[i/2]，{i，1，天花板[terms/2]}]+O[x]^条款；系数列表[s，x](*Jean-François Alcover公司2017年7月10日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=polceoff（prod（k=1，n，（1-x^k）^-如果（k%2，1，k\4），1+x*O（x^n）），n）\\迈克尔·索莫斯2000年5月19日
（PARI）show（n）=select（t->（t=matconcat（t~））~==t，PlanePartitions（n））\\使用A091298号，这将选择并返回n的对称平面分区列表-M.F.哈斯勒2018年9月26日
当将n个不相等的平面分区视为三维对象时，它们的数量。
（原名M1020 N0383）
+10
11
1, 1, 1, 2, 4, 6, 11, 19, 33, 55, 95, 158, 267, 442, 731, 1193, 1947, 3137, 5039, 8026, 12726, 20024, 31373, 48835, 75673, 116606, 178889, 273061, 415086, 628115, 946723, 1421082, 2125207, 3166152, 4700564, 6954151, 10254486, 15071903
评论
当被视为三维对象时，相同的分区只计算一次-沃特·梅森2006年5月
参考文献
P.A.MacMahon，组合分析。剑桥大学出版社，伦敦和纽约，1915年第1卷和1916年第2卷；见第2卷，第332页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
例子
对于n=2，所有三个平面分区[2]、[11]和[1；1]（其中“；”表示下一行）对应于1 X 1 X 2矩形长方体，因此a（2）=1。
对于n=3，我们有[3]~[1 1 1]~[1；1；1]都对应于高度为3的1 X 1 X 3长方体或塔，[2 1]~[2；1]~[1]对应于L形物体，因此a（3）=2。
当n=4时，[4]~[1 1 1]~[1；1；1；1]对应于4塔；[3 1]~[3；1]~[2 1 1]~[2]；1；1]~[1 1；1]都对应于相同的L形对象，[2 2]~[2]；2]~[1；1]表示一个“平面”正方形，它保持为[2，1；1'，因此a（4）=4。
对于n=5，我们又得到了塔[5]~[1 1 1 1 1]~[1]；1；1；1]，一个“窄L”或一个“脚”的4塔[4 1]~[4；1]~[2 1 1 1]~[2；1；1,1]~[11 1；1]~[1 1；1；1]，扁平的2+3形状[3]～[3]；2]～[2]； 2; 1] ~[1 11；1 1]~[1 1；1 1；1]和一个2X2正方形，上面有一个立方体，[2 1；11]~[2 2；1]~[21；2]。这将产生a（5）=6类。（结束）
数学
nmax=150；
a219[0]=1；
a219[n_]：=a219[n]=和[a219[n-j]除数Sigma[2，j]，{j，n}]/n；
s=乘积[1/（1-x^（2i-1））/（1-x2i））^楼层[i/2]，{i，1，天花板[（nmax+1）/2]}]+O[x]^（nmax/1）；
a048140[n]：=（a219[n]+A005987号[[n+1]]）/2；
a[0]=1；
扩展
编辑了名称和链接，添加了（0）=1M.F.哈斯勒，2018年9月30日
n个非对称平面分区的数量：平面分区(A000219号)被视为三维物体时没有对称性。（原名M1392 N0542）
+10
10
0, 0, 0, 1, 2, 5, 11, 21, 39, 73, 129, 226, 388, 659, 1100, 1821, 2976, 4828, 7754, 12370, 19574, 30789, 48097, 74725, 115410, 177366, 271159, 412665, 625098, 942932, 1416362, 2119282, 3158840, 4691431, 6942882, 10240503, 15054705
参考文献
P.A.MacMahon，组合分析。剑桥大学出版社，伦敦和纽约，1915年第1卷和1916年第2卷；见第2卷，第332页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
数学
nmax=150；
a219[0]=1；
a219[n_]：=a219[n]=和[a219[n-j]除数Sigma[2，j]，{j，n}]/n；
s=乘积[1/（1-x^（2i-1））/（1-x ^（2 i））^楼层[i/2]，{i，1，天花板[（nmax+1）/2]}]+O[x]^（nmax/1）；
a048140[n]：=（a219[n]+A005987号[[n+1]]）/2；
a[1]=0；
平面分区的数量为n，但相互镜像的分区（当视为三维对象时）只计算一次。
+10
5
1, 2, 4, 8, 14, 27, 47, 86, 149, 261, 444, 760, 1269, 2119, 3486, 5711, 9247, 14906, 23800, 37816, 59622, 93528, 145759, 226071, 348612, 535131, 817280, 1242824, 1881310, 2836377, 4258509, 6369669, 9491142, 14092537, 20851146, 30749471
例子
n＝3给出了4种形式：｛｛3｝｝；{{1,1,1}}={{1},{1},{1}}; {{2,1}}={{2},{1}}; {{1,1},{1}}.
数学
术语=100；
a219[0]=1；
a219[n_]：=a219[n]=和[a219[n-j]除数Sigma[2，j]，{j，n}]/n；
s=产品[1/（1-x^（2i-1））/（1-x^（2i））^地板[i/2]，{i，1，天花板[（条款+1）/2]}]+O[x]^（条款+1）；
当相互旋转的分区（当被视为三维对象时）只计算一次时，平面分区的数量为n。
+10
1
1, 1, 2, 5, 8, 16, 30, 54, 94, 168, 287, 493, 831, 1391, 2293, 3769, 6114, 9867, 15782, 25098, 39598, 62165, 96935, 150398, 232021, 356261, 544220, 827758, 1253222, 1889655, 2837455, 4244505, 6324993, 9392009, 13897056, 20494991, 30126628
例子
n=3给出了两种形式：｛｛3｝｝＝｛｛1，1，1｝｝＝｛｛1｝，｛1｝，｛1｝｝和｛2，1｝｝＝｛1，1｝，｛1｝＝｛2｝，｛1｝｝。
搜索在0.017秒内完成
查找|欢迎光临|维基|注册|音乐|地块2|演示|索引|浏览|网络摄像头
贡献新序列。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索|最近
OEIS社区|维护人OEIS基金会。
许可协议、使用条款、隐私政策。.
上次修改时间：2024年9月23日18:10 EDT。包含376182个序列。（在oeis4上运行。）
| 
