A273110-OEIS公司

A273110型

用（x+4*y+4*z）^2+（9*x+3*y+3*z）平方^2将n写成x^2+y^2+z^2+w^2的有序方式的数量，其中x、y、z、w是y>0且y>=z<=w的非负整数。

1, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 5, 6, 2, 2, 2, 3, 1, 3, 3, 4, 6, 1, 4, 4, 1, 2, 6, 5, 3, 3, 2, 5, 1, 3, 6, 5, 4, 3, 4, 3, 1, 2, 4, 7, 7, 2, 4, 8, 1, 2, 6, 3, 4, 2, 4, 5, 4, 1, 7, 8, 4, 5, 4, 4, 1, 6, 5, 7, 5, 2, 4, 5, 1, 2

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,2

猜想：（i）a（n）>0表示所有n>0，a（n）=1仅表示n=4^k*m（k=0,1,2，…和m=1，7，23，31，39，47，55，71，79，119，151，191，311，671）。

（ii）任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2和（x+y+z）^2+（4*（x+y-z））^2平方，其中x、y、z、w是x+y>=z的非负整数。

（iii）对于每个元组（a，b，c，d，e，f）=（1,1,1,3,6，-3），5,14,15,12,21），（1,6,6,16,8,8），（1.6,14,12,8,8，（1,7,8,4,2,6），（1,7,10,5,15），（1,7,9,10,5-12），（1.7,15,4,8），（-1,7,15,10,5,20），任何自然数都可以用x，y，z，w非负整数写成x^2+y^2+z^2+w^2，这样（a*x+b*y+c*z）^2+（d*x+e*y+f*z）*2就是一个正方形。

arXiv:1604.06723证明了任何正整数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中x，y，z，w为非负整数，y>0，使得x+4*y+4*z和9*x+3*y+3*z是具有正整数边的直角三角形的两条腿。

另请参见A271714型,A273107型,A273108型和A273134号关于毕达哥拉斯三元组的类似猜想。关于拉格朗日四方形定理的更多推测性改进，可以参考arXiv:1604.06723。

链接

孙志伟，n=1..10000时的n，a（n）表

孙志伟，拉格朗日四平方定理的精化，arXiv:1604.06723[math.GM]，2016年。

例子

a（1）=1，因为1=0^2+1^2+0^2+0^2，1>0=0和（0+4*1+4*0）^2+（9*0+3*1+3*0），^2=5^2。

a（7）=1，因为7=2^2+1^2+1 ^2+1*1^2，0<1=1=1和（2+4*1+4*1）^2+（9*2+3*1+3*1），^2=26^2。

a（23）=1，因为23=3^2+2^2+1^2+3^2，其中2>1<3和（3+4*2+4*1）^2+（9*3+3*2+3*1），^2=39^2。

a（31）=1，因为31=2^2+1^2+1 ^2+5^2，0<1=1<5和（2+4*1+4*1）^2+（9*2+3*1+3*1），^2=26^2。

a（39）=1，因为39=3^2+2^2+1^2+5^2，其中2>1<5和（3+4*2+4*1）^2+（9*3+3*2+3*1），^2=39^2。

a（47）=1，因为47=5^2+3^2+2^2+3 ^2，其中3>2<3和（5+4*3+4*2）^2+（9*5+3*3+3*2），^2=65^2。

a（55）=1，因为55=2^2+1^2+1 ^2+7^2，0<1=1<7和（2+4*1+4*1）^2+（9*2+3*1+3*1），^2=26^2。

a（71）=1，因为71=6^2+5^2+1^2+3^2，5>1<3和（6+4*5+4*1）^2+（9*6+3*5+3*1）^2=78^2。

a（79）=1，因为79=6^2+3^2+3 ^2+5^2，0<3=3<5和（6+4*3+4*3）^2+（9*6+3*3+3*3），^2=78^2。

a（119）=1，因为119=5^2+3^2+2^2+9^2，其中3>2<9和（5+4*3+4*2）^2+（9*5+3*3+3*2），^2=65^2。

a（151）=1，因为151=9^2+6^2+3^2+5^2，其中6>3<5和（9+4*6+4*3）^2+（9*9+3*6+3*3），^2=117^2。

a（191）=1，因为191=10^2+9^2+1^2+3^2，其中9>1<3和（10+4*9+4*1）^2+（9*10+3*9+3*1），^2=130^2。

a（311）=1，因为311=7^2+6^2+1^2+15^2，其中6>1<15和（7+4*6+4*1）^2+（9*7+3*6+3*1），^2=91^2。

a（671）=1，因为671=17^2+11^2+6^2+15^2，11>6<15和（17+4*11+4*6）^2+（9*17+3*11+3*6）*2=221^2。

数学

SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]

Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[（x+4y+4z）^2+（9x+3y+3z）^2]，r=r+1]，{x，0，Sqrt[n]}，{z，0，Sqrt[（n-x^2）/3]}、{y，Max[1，z]，Sqrt[n-x~2z^2]}]；打印[n，“”，r]；继续，{n，1，80}]

交叉参考

上下文中的序列：A293375型 A232174号 A077766号*A284155号 A002345号 A321325型

相邻序列：A273107型 A273108型 A273109型*A273111型 2012年2月31日 A273113型

关键词

非n

作者

孙志伟2016年5月15日

状态

经核准的