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A171775 n×x,y,z为非负整数,写出n为x^ 2+y^ 2+z ^ 2+w ^ 2(x>=y>=z=w)的有序方法数。 三十八
1, 2, 2、1, 2, 2、3, 2, 1、4, 3, 1、2, 2, 3、2, 3, 5、5, 3, 2、3, 4, 3、1, 4, 6、5, 4, 3、5, 3, 2、5, 4, 3、5, 4, 3、y、y、y、y、y、y、y、y、γ、y、γ、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
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0、2

评论

猜想:(i)所有n=0,1,2,…,和(n)=1的A(n)>0,仅n=0, 3, 11,47, 2 ^ {4k+3 }*m(k=0,1,2,…)m=1, 3, 7,15, 79)。

(ii)a和b为正整数,具有<= b和gCD(a,b)无平方。然后,任何自然数都可以写成x^ 2+y^ 2+z ^ 2+w ^ 2,其中w、x、y、z非负整数和a*x b*y为正方形,当且仅当(a,b)在有序对(1,1),(2,1),(2,2),(4,3),(6,2)之间时。

(iii)A和B为正整数,GCD(A,B)无平方。然后,任何自然数都可以写成x^ 2+y^ 2+z ^ 2+w ^ 2,其中x,y,z,w非负整数和a*x+b*y平方,当且仅当{a,b}在{1,2},{1,3}和{1,1,2}之间时。

(iv)A、B、C为正整数,具有<= B和GCD(a,b,c)无平方。*Y-C*Z平方,当且仅当(a,b,c)是三元组(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,3),(1,4,4),(1,5,1),(1,6,6),(1,8,6),(1,16,1),(1,17,1),(1,18,1),(2,2,2),(2,2,4),(2,2,2),(2,3,3),(2,3,),(2,4),然后,任何自然数都可以写成x^ 2+y^ 2+z ^ 2+w ^ 2,w,x,y,z非负整数和a*x+b。1), (2,4,2), (2,6,1), (2,6,2), (2,6,6), (2,7,4), (2,7,7), (2,8,2), (2,9,2), (2,32,2), (3,3,3), (3,4,2), (3,4,3), (3,8,3), (4,5,4), (4,8,3), (4,9,4), (4,14,14), (5,8,5), (6,8,6), (6,10,8), (7,9,7), (7,18,7), (7,18,12), (8,9,8), (8,14,14), (8,18,8), (14,32,14), (16,18,16), (30,32,30), (31,32,31), (48,49,48), (48,121,48).

(v)A、B、C为正整数,具有B<C和GCD(A,B,C)无平方。然后,任何自然数都可以写成x^ 2+y^ 2+z ^ 2+w ^ 2,其中w、x、y、z非负整数和a*x b*y-c*z为正方形,当且仅当(a,b,c)在三元组(1,1,1),(2,1,1),(2,1,2),(3,1 2)和(4,1,2)之间时。

(vi)a,b,c,d为正整数,具有<b,c<= d,gCD(a,b,c,d)无平方。然后,任何自然数都可以写成x^ 2+y^ 2+z ^ 2+w ^ 2,其中w、x、y、z非负整数和a*x+b*y-(c*Z+d*w)为正方形,当且仅当(a,b,c,d)为四元组(1,1,1,2),(1,1,1,2),(1,3,1,2),(1,4,1,3),(2,4,1,2),(2,4,2,4),(8,16,7,8),(9,11,2,9)和(9,16,2,7)时。

(vii)a,b,c,d是正整数,具有<b<b= c和gCD(a,b,c,d)无平方。Ww 2与W,X,Y,Z非负整数和A*X+B*Y+C*Z-D*W为正方形,当且仅当(A,B,C,D)为四元组(1,1,2,1),(1,2,3,1),(1,2,3,3),(1,2,4,2),(1,2,4,4),(1,2,5,5),(1,2,6,2),(1,2,8,1),(2,2,4,4),(2,4,6,4),(2,4,6,6),和(2,4,8,2)时。那么,任何自然数都可以写成x^ 2+y^ 2+z ^ 2+。

众所周知,不是形式4 ^ ^ k*(16×m+14)(k,m=0,1,2,…)的任何自然数都可以被写为x^ 2 +y^ 2 +2*z ^ 2=x^ 2 +y^ 2 +z ^ 2 +z ^ 2,具有x,y,z非负整数。

也见A71510A71513A71518A71644A71665A171714A171721A171724对于其他猜想,精炼拉格朗日的四平方定理。

推荐信

L. E. Dickson,现代基本数论,芝加哥大学出版社,芝加哥,1939,pp.112113。

链接

支伟隼n,a(n)n=0…10000的表

太阳,关于多边形数的和,SCI。中国数学。58(2015),1367—1396。

支伟隼拉格朗日四方定理的改进,阿西夫:1604.06723 [数学,通用],2016。

例子

A(3)=1,因为3=1 ^ 2+1 ^ 2+0 ^ 2+1 ^ 2=1=1>α,α=α^ ^。

A(7)=1,因为7=1 ^ 2+1 ^ 2+1 ^ 2+2 ^ 2,1=1=<α,α=α^ ^。

A(8)=1,因为8=2 ^ 2+2 ^ 2+0 ^ 2+0 ^ 2=2=2>α=α=α^ ^。

A(11)=1,因为11=1 ^ 2+1 ^ 2+0 ^ 2+3 ^ 2=1=1>α,α=α^ ^。

A(24)=1,因为24=2 ^ 2+2 ^ 2+0 ^ 2+4 ^ 2=2=2>α,α=α^ ^。

A(47)=1,因为47=3 ^ 2+3 ^ 2+2 ^ 2+5 ^ 2=3=3>α,α=α^ ^。

A(53)=2,因为53=3 ^ 2+2 ^ 2+2 ^ 2+6 ^ 2与3>3=α<α,α=α^,也为α=^ ^+^ ^+^++^ ^,α=α<α,α=α^ ^。

A(56)=1,因为56=6 ^ 2+2 ^ 2+0 ^ 2+4 ^ 2,6>6>α,α=α^ ^。

A(120)=1,因为120=8 ^ 2+4 ^ 2+2 ^ 2+6 ^ 2,8>8>α,α=α^ ^。

A(632)=1,因为632=16 ^ 2+12 ^ 2+6 ^ 2+14 ^ 2,16>16>α,α=α^ ^。

Mathematica

Sq[n]:= Sq[n]=整数,[qRT[n] ]

do[r=0;do[[sq[xy] & & sq[nx22-y^ 2-z ^ 2 ],r=r+ 1 ],{z,0,qrt[n/4] },{y,z,qrt[(n-z ^ 2)/2 ] },{x,y,qrt[[(nyy2-z ^ 2)] }];打印[n,],r];继续,{n,0, 70 }

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 0118A000 0290A2597A71510A71513A71518A27 1608A71644A71665A171714A171721A171724.

语境中的顺序:A32 1347 A32438 A050333*A14399 A13719 A0575

相邻序列:γA171772 A171737 A171774*A171776 A171777 A171778

关键词

诺恩

作者

孙志伟4月13日2016

地位

经核准的

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最后修改1月29日08:43 EST 2020。包含331337个序列。(在OEIS4上运行)