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217175英镑 将n写成x^2+y^2+z^2+w^2(x>=y>=z<=w)的有序方式的数量,其中w、x、y、z是非负整数。 38
1, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 4, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 5, 5, 3, 2, 3, 4, 3, 1, 4, 6, 5, 4, 3, 5, 3, 2, 5, 4, 3, 5, 4, 5, 2, 2, 8, 9, 5, 4, 8, 2, 1, 3, 5, 9, 7, 6, 2, 7, 4, 1, 5, 6, 6, 4, 5, 7, 8, 2, 6, 12, 7, 5, 4, 7 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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猜想:(i)a(n)>0,所有n=0,1,2,。。。,a(n)=1仅适用于n=0,3,11,47,2^{4k+3}*m(k=0,1,2,…和m=1,3,7,15,79)。
(ii)设a和b是a≤b且gcd(a,b)无平方的正整数。那么任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2,其中包含w,x,y,z非负整数和a*x-b*y平方,当且仅当(a,b)在有序对(1,1),(2,1),,(2,2),(4,3),(6,2)之间。
(iii)设a和b是gcd(a,b)无平方的正整数。那么,任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2,其中x,y,z,w为非负整数,a*x+b*y为平方,当且仅当{a,b}在{1,2}、{1,3}和{1,24}之间。
(iv)设a,b,c是a≤b且gcd(a,b、c)无平方的正整数。然后,任何自然数都可以用w,x,y,z非负整数和a*x+b*y-c*z平方写为x^2+y^2+z^2+w^2,当且仅当(a,b,c)是三元组(1,1,1),(1,1,2),(1.2,2),1),(1,18,1),(2,2,2),(2.2,4),(2.3,2), (2,4,1), (2,4,2), (2,6,1), (2,6,2), (2,6,6), (2,7,4), (2,7,7), (2,8,2), (2,9,2), (2,32,2), (3,3,3), (3,4,2), (3,4,3), (3,8,3), (4,5,4), (4,8,3), (4,9,4), (4,14,14), (5,8,5), (6,8,6), (6,10,8), (7,9,7), (7,18,7), (7,18,12), (8,9,8), (8,14,14), (8,18,8), (14,32,14), (16,18,16), (30,32,30), (31,32,31), (48,49,48), (48,121,48).
(v) 设a,b,c是b<=c且gcd(a,b、c)无平方的正整数。然后,任何自然数都可以用w,x,y,z非负整数和a*x-b*y-c*z平方写为x^2+y^2+z^2+w^2,当且仅当(a,b,c)是三元组(1,1,1),(2,1,2),(3,1,2)和(4,1,2。
(vi)设a、b、c、d为正整数,a<=b、c<=d和gcd(a、b,c、d)不平方。然后,任何自然数都可以用w,x,y,z非负整数和a*x+b*y-(c*z+d*w)写成x^2+y^2+z^2+w^2,当且仅当(a,b,c,d)是四元组(1,2,1,1),(1,2,1)。
(vii)设a、b、c、d为正整数,a≤b≤c,gcd(a,b,c,d)无平方。然后,任何自然数都可以用w,x,y,z非负整数和a*x+b*y+c*z-d*w平方写为x^2+y^2+z^2+w^2,当且仅当(a,b,c,d)是四元组(1,1,2,1),(1,2,3,1),(1,2,3,3),(1.2,4,2),和(2,4,8,2)。
众所周知,任何非4^k*(16*m+14)形式的自然数(k,m=0,1,2,…)都可以用x,y,z非负整数写成x^2+y^2+2*z^2=x^2+y^2+z^2+z ^2。
另请参见A271510型,A271513型,A271518型,A271644型,A271665型,A271714型,A271721型A271724型对于其他猜想,完善了拉格朗日的四平方定理。
参考文献
L.E.Dickson,《现代基本数论》,芝加哥大学出版社,芝加哥,1939年,第112-113页。
链接
Z.-W.孙,关于多边形数的泛和,科学。中国数学。58(2015),1367-1396。
孙志伟,拉格朗日四平方定理的精化,arXiv:1604.06723[math.GM],2016年。
例子
a(3)=1,因为3=1^2+1^2+0^2+1 ^2,其中1=1>0<1和1-1=0^2。
a(7)=1,因为7=1^2+1^2+1 ^2+2^2,1=1=1<2和1-1=0^2。
a(8)=1,因为8=2^2+2^2+0^2+0 ^2,2=2>0=0,2-2=0 ^2。
a(11)=1,因为11=1^2+1^2+0^2+3^2,其中1=1>0<3和1-1=0^2。
a(24)=1,因为24=2^2+2^2+0^2+4^2,其中2=2>0<4和2-2=0^2。
a(47)=1,因为47=3^2+3^2+2^2+5^2,其中3=3>2<5和3-3=0 ^2。
a(53)=2,因为53=3^2+2^2+2 ^2+6^2,其中3>2=2<6和3-2=1^2,以及53=6^2+2^2+2 ^2+3^2,中6>2=2<3和6-2=2^2。
a(56)=1,因为56=6^2+2^2+0^2+4^2,其中6>2>0<4和6-2=2^2。
a(120)=1,因为120=8^2+4^2+2^2+6^2,8>4>2<6和8-4=2^2。
a(632)=1,因为632=16^2+12^2+6^2+14^2,16>12>6<14和16-12=2^2。
数学
SQ[n_]:=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
做[r=0;做[If[SQ[x-y]&&SQ[n-x^2-y^2-z^2],r=r+1],{z,0,Sqrt[n/4]},{y,z,Sqrt[(n-z^2)/2]};打印[n,“”,r];继续,{n,0,70}]
交叉参考
关键词
非n
作者
孙志伟2016年4月13日
状态
经核准的

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