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猜想:(i)a(n)>0,所有n=0,1,2,。。。,a(n)=1仅适用于n=0,3,11,47,2^{4k+3}*m(k=0,1,2,…和m=1,3,7,15,79)。
(ii)设a和b是a≤b且gcd(a,b)无平方的正整数。那么任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2,其中包含w,x,y,z非负整数和a*x-b*y平方,当且仅当(a,b)在有序对(1,1),(2,1),,(2,2),(4,3),(6,2)之间。
(iii)设a和b是gcd(a,b)无平方的正整数。那么,任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2,其中x,y,z,w为非负整数,a*x+b*y为平方,当且仅当{a,b}在{1,2}、{1,3}和{1,24}之间。
(iv)设a,b,c是a≤b且gcd(a,b、c)无平方的正整数。然后,任何自然数都可以用w,x,y,z非负整数和a*x+b*y-c*z平方写为x^2+y^2+z^2+w^2,当且仅当(a,b,c)是三元组(1,1,1),(1,1,2),(1.2,2),1),(1,18,1),(2,2,2),(2.2,4),(2.3,2), (2,4,1), (2,4,2), (2,6,1), (2,6,2), (2,6,6), (2,7,4), (2,7,7), (2,8,2), (2,9,2), (2,32,2), (3,3,3), (3,4,2), (3,4,3), (3,8,3), (4,5,4), (4,8,3), (4,9,4), (4,14,14), (5,8,5), (6,8,6), (6,10,8), (7,9,7), (7,18,7), (7,18,12), (8,9,8), (8,14,14), (8,18,8), (14,32,14), (16,18,16), (30,32,30), (31,32,31), (48,49,48), (48,121,48).
(v) 设a,b,c是b<=c且gcd(a,b、c)无平方的正整数。然后,任何自然数都可以用w,x,y,z非负整数和a*x-b*y-c*z平方写为x^2+y^2+z^2+w^2,当且仅当(a,b,c)是三元组(1,1,1),(2,1,2),(3,1,2)和(4,1,2。
(vi)设a、b、c、d为正整数,a<=b、c<=d和gcd(a、b,c、d)不平方。然后,任何自然数都可以用w,x,y,z非负整数和a*x+b*y-(c*z+d*w)写成x^2+y^2+z^2+w^2,当且仅当(a,b,c,d)是四元组(1,2,1,1),(1,2,1)。
(vii)设a、b、c、d为正整数,a≤b≤c,gcd(a,b,c,d)无平方。然后,任何自然数都可以用w,x,y,z非负整数和a*x+b*y+c*z-d*w平方写为x^2+y^2+z^2+w^2,当且仅当(a,b,c,d)是四元组(1,1,2,1),(1,2,3,1),(1,2,3,3),(1.2,4,2),和(2,4,8,2)。
众所周知,任何非4^k*(16*m+14)形式的自然数(k,m=0,1,2,…)都可以用x,y,z非负整数写成x^2+y^2+2*z^2=x^2+y^2+z^2+z ^2。
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