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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A271775号 非y ^ x,w>=2^x的平方,其中y+z=2^x。 38
1,2,2,1,2,2,3,2,1,4,3,1,2,2,3,2,3,4,3,1,4,6,5,4,3,2,5,4,3,5,4,5,5,5,5,5,5,2,2,8,9,5,4,8,2,1,3,5,7,6,4,5,7,6,4,5,7,6,4,5,7,8,2,6,12,7,5,4,7 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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猜想:(i)a(n)>0表示所有n=0,1,2,…,而a(n)=1仅适用于n=0,3,11,47,2^{4k+3}*m(k=0,1,2,…),。。。m=1,3,7,15,79)。

(ii)设a和b为a<=b且gcd(a,b)为无平方的正整数。那么任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2,其中w,x,y,z为非负整数,a*x-b*y为平方,当且仅当(a,b)在有序对(1,1),(2,1),(2,2),(4,3),(6,2)之间。

(iii)设a和b是具有gcd(a,b)平方自由的正整数。那么任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2+x,y,z,w非负整数和a*x+b*y的平方,当且仅当{a,b}在{1,2},{1,3}和{1,24}之间。

(iv)设a,b,c是a<=b且gcd(a,b,c)为无平方的正整数。那么,任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2+w^2+w^2加w、x、y、y、z非负整数和a*x x+b*y-c*z一方的方阵,当且仅当(a、b、c)是三元组(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,(1,2,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,3),(1,4,4),(1,5,4),(1,5,1),(1,6,6),(1,8,6),(1,12,4),(1,16,1,1,17,17,17,17,1,1),(1,18,1),(2,2,2),(2,2,4),(2,3,2),(2,3,3),(2,4,1) (2,4,2)、(2,7,4,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,(2,8,2,2,9,2,9,2,9,2,9,2)、(2,32,2,2,32,2)、(3,3,3,3,3,3,4,4,2)、(3,4,4,3,4,4,8,3)、(4,5,4,8,3)、(4,9,4,4,4,4,4,4,4,4,14,14,14)、(5,8,8,5,8,5,5,8,6,6,8,6,8,6,8,6,8,6,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,14),(8,18,8),(14,32,14),(16,18,16),(30,32,30),(31,32,31),(48,49,48),(48121,48)。

(v) 设a,b,c是b<=c且gcd(a,b,c)为无平方的正整数。那么,任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2,其中w,x,y,z非负整数和a*x-b*y-c*z是一个平方,当且仅当(a,b,c)在三元组(1,1,1),(2,1,2),(3,1,2)和(4,1,2)之间。

(vi)设a,b,c,d为正整数,a<=b,c<=d,gcd(a,b,c,d)无平方。那么,任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2,其中w,x,y,z非负整数和a*x+b*y-(c*z+d*w)是一个平方,当且仅当(a,b,c,d)是四个四元组(1,2,1,1),(1,3,1,2),(1,3,1,3),(2,4,1,2),(2,4,2,4),(8,16,7,8),(9,11,2,9)和(9,16,2,7)之间。

(vii)设a,b,c,d为a<=b<=c且gcd(a,b,c,d)为无平方的正整数。那么,任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2+w^2+w^2加w、x、y、y、z非负整数和a*x x+b*y+c*c*z-d*w一方的平方,只要且仅当(a、b、c、d)是四四四(1,1,1,2,2,3,1)、(1,2,3,1),(1,2,3,3,3),(1,2,4,2),(1,2,4,4),(1,2,4,4),(1,2,2,5,5,5),(1,2,2,6,2,2,8,1),(2,2,2,4,4,4,4,4,2,4,4,4,6,4)、(2,4,6,6)和(2,4,8,2)。

众所周知,任何形式不是4^k*(16*m+14)(k,m=0,1,2,…)的自然数都可以写成x^2+y^2+2*z^2=x^2+y^2+z^2+z^2,其中x,y,z非负整数。

另请参见A271510号,A271513号,A271518号,A2714年,A271665号,邮编:A2714,A271721号A271724号对于其他的猜想,拉格朗日的四平方定理。

参考文献

五十、 狄克森:《现代数论》,芝加哥大学出版社,1939年,第112-113页。

链接

孙志伟,n=0..10000时的n,a(n)表

Z、 -W.孙,关于多边形数的泛和,科学。中国数学。58(2015年),1367-1396年。

孙伟:,拉格朗日四次方定理的改进,arXiv:1604.06723[math.GM],2016年。

例子

a(3)=1,因为3=1^2+1^2+0^2+1^2,1=1>0<1,1-1=0^2。

a(7)=1,因为7=1^2+1^2+1^2+2^2,1=1=1<2,1-1=0^2。

a(8)=1,因为8=2^2+2^2+0^2+0^2,2=2>0=0,2-2=0^2。

a(11)=1,因为11=1^2+1^2+0^2+3^2,1=1>0<3,1-1=0^2。

a(24)=1,因为24=2^2+2^2+0^2+4^2,2=2>0<4,2-2=0^2。

a(47)=1,因为47=3^2+3^2+2^2+5^2,3=3>2<5,3-3=0^2。

a(53)=2,因为53=3^2+2^2+2^2+6^2,3>2=2<6,3-2=1^2,53=6^2+2^2+2^2+3^2,6>2=2<3,6-2=2^2。

a(56)=1,因为56=6^2+2^2+0^2+4^2,6>2>0<4,6-2=2^2。

a(120)=1,因为120=8^2+4^2+2^2+6^2,8>4>2<6,8-4=2^2。

a(632)=1,因为632=16^2+12^2+6^2+14^2,16>12>6<14,16-12=2^2。

数学

SQ[n_x]:=SQ[n]=整数q[Sqrt[n]]

Do[r=0;Do[If[SQ[x-y]&&SQ[n-x^2-y^2-z^2],r=r+1],{z,0,Sqrt[n/4]},{y,z,Sqrt[(n-z^2)/2]},{x,y,Sqrt[(n-y^2-z^2)]}];打印[n,“”,r];继续,{n,0,70}]

交叉引用

囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A259789号,A271510号,A271513号,A271518号,A271608号,A271644号,A271665号,邮编:A2714,A271721号,A271724号.

上下文顺序:A321347飞机 A324383飞机 A050333号*A14399 A137419号 A057536号

相邻序列:A271772号 A271773号 A271774号*A271776号 A271777号 A271778号

关键字

作者

孙志伟2016年4月13日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年9月23日22:32。包含337315个序列。(运行在oeis4上。)