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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A271824号 将n写成x^2+y^2+z^2+w^2的有序方法数,其中x是正整数,y,z,w是非负整数。 32
1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、1、3、3、1、3、1、3、3、1、3、1、3、1、3、1、3、3、1、3、1、3、3、1、3、3、1、3、1、3、3、3 3,7,3,4 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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1,2

评论

猜想:(i)a(n)>0表示所有n>0,a(n)=1仅适用于n=9,11,15,23,33,71,129,167,187,473,4^k*m(k=0,1,2,。。。m=1,22,38,278)。同样,任何正整数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2,其中9*(x+2*y)^2+16*z^2+24*w^2是一个正方形,其中x是正整数,y,z,w是非负整数。

(ii)任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2+w^2+w^2加x、y、z、z、w非负整数和(a*x x-b*y)^2+c*z^2+d*w^2一方方阵,前提是(a、b、c、d)是四四(4,8,1,8),(12,24,1,24,24,1,24),(2,4,5,40),(3,6,7,9),(3,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,3,6,7,7,9),(3,6,7,7,63),(1,2,8,16),(1,2,2,8,8,8,4,8,(40),(2,6,9,12),(3,5,9,15),(4,8,9,16),(12,24,9,16),(3,6,15,25),(3,6,16,24),(3,12,16,24),(6,9,16,24),(9,12,16,24),(4,8,16,41),(8,12,16,41),(3,6,16,48),(6,9,16,48),(2,3,16,56),(3,6,28,63),(2,4,36,45),(6,12,40,45),(7,14,56,64)和(2,6,57,60)。

(iii)设a和是a<=b且gcd(a,b)无平方的正整数。那么任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2+x,y,z,w非负整数和(a*x+b*y)*za平方,当且仅当(a,b)在有序对(1,1),(1,2),(1,3),(3,6),(3,15),(5,6),(5,11),(5,13),(6,15),(8,46)和(9,23)之间。

(iv)设a和b为a<=b且gcd(a,b)为无平方的正整数。那么,任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2,x,y,z,w非负整数和(a*x^2+b*y^2)*za平方,当且仅当(a,b)在有序对(3,13)、(5,11)、(15,57)、(15165)和(138150)之间。

有许多有序的整数对(a,b),gcd(a,b)无平方,因此任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2,其中x,y,z,w整数和a*x^2+b*y^2是一个平方。例如,我们已经证明了(1,-1),(2,-2),(3,-3)和(1,2)确实是这样的有序对。

另请参见A271510号,A271513号,A271518号,A271665号,邮编:A2714,A271721号,A271724号,A271775号A271778号对于其他的猜想,拉格朗日的四平方定理。

链接

孙伟:,n=1..10000的n,a(n)表

孙伟:,拉格朗日四次方定理的改进,arXiv:1604.06723,2016年。

例子

a(9)=1,因为9=3^2+0^2+0^2+0^2和(3+2*0)^2+8*0^2+40*02=3^2。

a(11)=1,因为11=1^2+1^2+3^2+0^2,其中(1+2*1)^2+8*3^2+40*0^2=9^2。

a(15)=1,因为15=1^2+3^2+2^2+1^2,其中(1+2*3)^2+8*2^2+40*1^2=11^2。

a(22)=1,因为22=3^2+2^2+3^2+0^2,其中(3+2*2)^2+8*3^2+40*0^2=11^2。

a(23)=1,因为23=1^2+3^2+2^2+3^2和(1+2*3)^2+8*2^2+40*3^2=21^2。

a(33)=1,因为33=4^2+1^2+0^2+4^2,其中(4+2*1)^2+8*0^2+40*4^2=26^2。

a(38)=1,因为38=5^2+2^2+0^2+3^2,其中(5+2*2)^2+8*0^2+40*3^2=21^2。

a(71)=1自71=1^2+6^2+5^2+3^2自(1+2*6)^2+8*5^2+40*3^2=27^2。

a(129)=1,因为129=5^2+6^2+8^2+2^2,其中(5+2*6)^2+8*8^2+40*2^2=31^2。

a(167)=1,因为167=11^2+1^2+3^2+6^2,其中(11+2*1)^2+8*3^2+40*6^2=41^2。

a(187)=1,自187年起=3^2+5^2+12^2+3^2,其中(3+2*5)^2+8*12^2+40*3^2=41^2。

a(278)=1,因为278=3^2+0^2+10^2+13^2,其中(3+2*0)^2+8*10^2+40*13^2=87^2。

a(473)=1,因为473=7^2+10^2+0^2+18^2,其中(7+2*10)^2+8*0^2+40*18^2=117^2。

数学

SQ[n_x]:=SQ[n]=整数q[Sqrt[n]]

Do[r=0;Do[如果[SQ[n-x^2-y^2-z^2]&&SQ[(x+2y)^2+8z^2+40(n-x^2-y^2-z^2)],r=r+1],{x,1,Sqrt[n]},{y,0,Sqrt[n-x^2]},{z,0,Sqrt[n-x^2-y^2]};打印[n,”,r];继续,{n,1,80}]

交叉引用

囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A271510号,A271513号,A271518号,A271608号,A271665号,邮编:A2714,A271721号,A271724号,A271775号,A271778号.

上下文顺序:A304094飞机 邮编:A259527 A275992年*A253589号 A332992型 A023568号

相邻序列:A271821号 A271822号 A271823号*A271825年 A271826号 邮编:A271827

关键字

作者

孙志伟2016年4月14日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年9月24日01:21。包含337315个序列。(运行在oeis4上。)