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A27 1824 以n(x+2×y)^ 2+8×z ^ 2+40*^ ^ 2为正方形,x为正整数,y,z,w为非负整数,写出n为x^ 2+y^ 2+z+2+w ^ 2的有序方式数。 三十二
1, 2, 2、1, 2, 2、2, 2, 1、4, 1, 3、3, 2, 1、1, 3, 6、3, 3, 4、1, 1, 2、3, 4, 3、3, 2, 5、4, 2, 1、3, 3, 3、3, 3, 3、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,2

评论

猜想:(i)a(n)>0,n=0,a(n)=1,仅n=9, 11, 15,23, 33, 71,129, 167, 187,473, 4 ^ k*m(k=0,1,2,…)m=1, 22, 38,278)。此外,任何正整数都可以写成x^ 2+y^ 2+z ^ 2+w ^ 2,其中9×(x+2 *y)^ 2+16×z ^ 2+24×w ^ 2是正方形,其中x是正整数,y,z,w是非负整数。

*z ^ 2 +d*w ^ 2为正方形,假设(a,b,c,d)为四元组(4,8,1,8),(12,24,1,24),(2,4,5,40),(3,6,7,9),(3,9,7,9),(3,6,7,63),(1,2,8,16),(1,2,8,40),(3,6,8,40),(2,6,9,12),(3,5,9,15),(4,8,9,16),(12,24,9,16),(3)(ii)任何自然数都可以用x,y,z,w,非负整数和(a*x b*y)^ 2+c写成x^ 2+y^ 2+z ^ 2+w ^ 2。(6,15,25),(3,6,16,24),(3,12,16,24),(6,9,16,24),(9,12,16,24),(4,8,16,41),(8,12,16,41),(3,6,16,48),(6,9,16,48),(2,3,16,56),(3,6,28,63),(2,4,36,45),(6,12,40,45),(7,14,56,64)和(2,6,57,60)。

(iii)设A为正整数,具有<= b和gCD(a,b)无平方。然后,任何自然数可以被写为x ^ 2 +y ^ 2 +z ^ 2 +w ^ 2,其中x,y,z,w非负整数和(a*x+b*y)*z为正方形,当且仅当(a,b)在有序对(1,1),(1,2),(1,3),(3,3),(3,6),(3,15),(5,6),(5,11),(5,13),(6,15),(8,46)和(9,23)之间。

(iv)a和b为正整数,具有<= b和gCD(a,b)无平方。然后,任何自然数可以被写为x ^ 2 +y^ 2 +z ^ 2 +w ^ 2,其中x,y,z,w非负整数和(a*x^ 2 +b*y^ 2)*z为正方形,当且仅当(a,b)在有序对(3,13),(5,11),(15,57),(15165)和(138150)之间时。

对于GCD(a,b)无平方的整数有许多有序对(a,b),使得任何自然数都可以被写为x^ 2+y^ 2+z ^ 2+w ^ 2,其中x,y,z,w整数和a*x^ 2 +b*y^ 2为正方形。例如,我们已经证明(1,-1),(2,-2),(3,-3)和(1,2)确实是这样的有序对。

也见A71510A71513A71518A71665A171714A171721A171724A171775A171778对于其他猜想,精炼拉格朗日的四平方定理。

链接

支伟隼n,a(n)n=1…10000的表

支伟隼拉格朗日四方定理的改进,阿西夫:1604.06723,2016。

例子

A(9)=1,因为9=3 ^ 2+0 ^ 2+0 ^ 2+0 ^ 2与(3+3*^)^ ++**^ ^+***=^ ^。

A(11)=1,因为11=1 ^ 2+1 ^ 2+3 ^ 2+0 ^ 2与(1+* * *)^ + + * * ^ ^ + + * * ^ ^ ^=^ ^。

A(15)=1,因为15=1 ^ 2+3 ^ 2+2 ^ 2+1 ^ 2与(1+* * *)^ + + * * ^ ^ + + * * ^ ^ ^=^ ^。

A(22)=1,因为22=3 ^ 2+2 ^ 2+3 ^ 2+0 ^ 2与(3+* * *)^ + + * * ^ ^ + + * * ^ ^ ^=^ ^。

A(23)=1,因为23=1 ^ 2+3 ^ 2+2 ^ 2+3 ^ 2与(1+* * *)^ + + * * ^ ^ + + * * ^ ^ ^=^ ^。

A(33)=1,因为33=4 ^ 2+1 ^ 2+0 ^ 2+4 ^ 2与(4+* * *)^ + + * * ^ ^ + + * * ^ ^ ^=^ ^。

A(38)=1,因为38=5 ^ 2+2 ^ 2+0 ^ 2+3 ^ 2与(5+* * *)^ + + * * ^ ^ + + * * ^ ^ ^=^ ^。

A(71)=1,因为71=1 ^ 2+6 ^ 2+5 ^ 2+3 ^ 2,因为(1+* * *)^ + + * * ^ ^ + + * * ^ ^ ^=^ ^。

A(129)=1,因为129=5 ^ 2+6 ^ 2+8 ^ 2+2 ^ 2与(5+* * *)^ + + * * ^ ^ + + * * ^ ^ ^=^ ^。

A(167)=1,因为167=11 ^ 2+1 ^ 2+3 ^ 2+6 ^ 2与(11+* * *)^ + + * * ^ ^ + + * * ^ ^ ^=^ ^。

A(187)=1,因为187=3 ^ 2+5 ^ 2+12 ^ 2+3 ^ 2与(3+* * *)^ + + * * ^ ^ + + * * ^ ^ ^=^ ^。

A(278)=1,因为278=3 ^ 2+0 ^ 2+10 ^ 2+13 ^ 2与(3+* * *)^ + + * * ^ ^ + + * * ^ ^ ^=^ ^。

A(473)=1,因为473=7 ^ 2+10 ^ 2+0 ^ 2+18 ^ 2与(7+* * *)^ + + * * ^ ^ + + * * ^ ^ ^=^ ^。

Mathematica

Sq[n]:= Sq[n]=整数,[qRT[n] ]

do[r=0;do[[sq[n+x^ 2-z ^ 2 ] & & [s](x+2y)^ 2 +8z ^ 2+40(n x^ 2-y^ 2-z ^ 2)],r x,1,qrt[n] },{y,0,qrt[nx^ 2 ] },{z,0,qrt[nx^ 2-y^ 2 ] };打印[n,],r];继续,{n,1, 80 }

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 0118A000 0290A71510A71513A71518A27 1608A71665A171714A171721A171724A171775A171778.

语境中的顺序:A304092 A259527 A27 599*A253589A A023 568 A081753

相邻序列:γA27 1821 A27 1822 A27 1823*A27 1825 A27 1826 A27 1827

关键词

诺恩

作者

孙志伟4月14日2016

地位

经核准的

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最后修改1月29日14:51 EST 2020。包含331346个序列。(在OEIS4上运行)