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| A134264号 |
| 函数或生成级数的拉格朗日合成反演的分区变换系数T（j，k），根据幂级数的倒数系数。非交叉分区和基本停车功能的枚举。对于n>=1和1<=k，T（n，k）<=A000041号（n-1），按行读取的不规则三角形。 |
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36
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1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 4, 2, 6, 1, 1, 5, 5, 10, 10, 10, 1, 1, 6, 6, 3, 15, 30, 5, 20, 30, 15, 1, 1, 7, 7, 7, 21, 42, 21, 21, 35, 105, 35, 35, 70, 21, 1, 1, 8, 8, 8, 4, 28, 56, 56, 28, 28, 56, 168, 84, 168, 14, 70, 280, 140, 56, 140, 28, 1, 1, 9, 9, 9, 9, 36, 72
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,6
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评论
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给定一个关于t=0（或形式幂级数）的可逆函数f（t），f（0）=0，Df（0。
拉格朗日反演给出了关于t=0的组成逆，即g（t）=Sum{j>=1}（t^j*（1/j）*Sum{置换s与s（1）+s（2）+…+s（j）=j-1}hs（1）*h_s（2）*…*h_s（j））=t*t（1,1）*h_0+和{j>=2}（t^j*Sum_{k=1..（j-1的分区数+1米）附加到A&S的n和m下的每个分区。
用（n’）表示h_n以表示简洁性，以t表示为8阶，
g（t）=t*（0'）
+t^2*[（0'）（1'）]
+t^3*[（0'）^2（2'）+（0'（1'）^2]
+t^4*[（0'）^3（3'）+3（0'
+t^5*[（0'）^4（4'）+4（0'
+t^6*[（0'）^5（5'）+5（0'
+t^7*[（0'）^6（6'）+6（0'^2+15（0'）^2（1'）^4（2'）+（0'”）（1'）^6]
+t^8*[（0'）^7（7'）+7（0'）^3（4'）+105（0）^4（1'）^2（2'）（3'）+35（0'）^4^7 ]
+ ..., 其中，从公式部分来看，例如，T（8,1'，2'，…，7'）=7！/((8 - (1'+ 2' + ... + 7'))! * 1'！*2'! * ... * 7'!) 是整数分区（1'）^1'（2'）^2'的系数。。。在t^8期限内为（7'）^7'。
A125181号是上述序列的一个扩展的、重新排序的版本，省略了前导的1，具有其他解释。
根据对反演元素与Ardila等人链接第25页上的元素的识别，不规则表的系数列举了[n]上的非交叉分区-汤姆·科普兰2014年10月13日
在与t^（n+1）相关联的上方括号中的第n个分划多项式Prt（n；h_0，h_1，..，h_n）上以d/d（1'）=d/d；因此，当h0=1时，多项式是不定h1中多项式的Appell序列（Sheffer序列的一种特殊类型）。
因此，本影上，[Prt（.；1，x，h2，..）+y]^n=Prt（n；1，x+y，h2…）；也就是说，求和{k=0..n}二项式（n，k）*Prt（k；1，x，h2，..）*y^（n-k）=Prt（n；1，x+y，h2…）。
或者，e^（x*z）*exp[Prt（.；1,0，h2，..）*z]=exp[Port（.；1，x，h2…）*z]。然后，在t=0处计算x=h_1=-（1/2）*d^2[f（t）]/dt^2，该表达式从z到1/t的形式拉普拉斯变换生成g（t），即比较。f（t）的逆函数，当h0=1=df（t）/dt eval时。t=0时。
也就是说，t/（1-t*（x+Prt（.；1,0，h2，..））=t/（1-t*Prt（..；1，x，h2…））=g（t），当h_0=1时，进行阴影解释。
（结束）
与Catalan关联的阵列之间的连接(A000108美元和A007317号)，里奥丹(A005043号)，斐波那契(A000045号)、和罚款(A000957号)通过考虑o.g.f.的x中的倒数，可以明确数字和到晶格的路径，例如Motzkin、Dyck和ŁukasiewiczA104597号（x，-t），即f（x）=P（Cinv（x），t-1）=Cinv（x）/（1+（t-1）*Cinv（x））=x*（1-x）/（1+（t-1）*x*（1-x））=（x-x^2）/（1+（t-1）*（x-x^2）），其中Cinv（x）=x*（1-x）是C（x）=（1-sqrt（1-4*x）））/2的倒数，C（x）=（1-sqrt（1-4*x））/2是加泰罗尼亚数的偏移o.g.f.，P（x，t）=x/（1+t*x）的逆Pinv（x，t）=-P（-x，t）=x/（1-t*x）。则h（x，t）=x/f（x，t）=x*（1+（t-1）Cinv（x））/Cinv（x）=1+t*x+x^2+x^3+。。。，即，h1=t，所有其他系数都是1，因此x中f（x，t）的逆函数（显式地以闭形式finv（x，t）=C（Pinv（x、t-1）））由下式给出091867加元，其系数是通过将分区多项式中的h1=（1'）=t和所有其他系数设置为1而获得的上述精炼Narayana数的和。群生成器C（x）和P（x，t）及其倒数可以很容易地在这些经典数字数组之间建立关联-汤姆·科普兰2014年11月3日
用参数t在x中反转，设F（x；t，n）=x-t*x^（n+1）。则h（x）=x/F（x；t，n）=1/（1-t*x^n）=1+t*x*n+t^2*x^（2n）+t^3*x^1（3n）+。。。，所以hk消失，除非k=m*n和m是整数，在这种情况下hk=t^m。
Finv（x；t，n）=Sum_{j>=0}{二项式（（n+1）*j，j）/（n*j+1）}*t^j*x^（n*j+1），它给出了n=1的加泰罗尼亚数，以及n>1的Fuss-Catalan序列（参见A001764号，n=2）。[添加大括号以消除公式的歧义-N.J.A.斯隆2015年10月20日]
这个关系揭示了数组系数的分区和和的属性。对于n=1，h_k=t^k表示所有k，这意味着行和是加泰罗尼亚数字。对于n=2，k的奇数h_k为零，这意味着在偶数行上没有只包含偶数诱导h_k的块，并且只有包含偶数大小箱子的块才有助于得到n=2的Fuss-Catalan数的奇数和。对于n>2，依此类推。
这些关系反映在该数组和分区列举的任何组合结构中，例如维基百科中描述的五元素集（五边形）的非交叉分区。
（结束）
Appell序列具有本影反转序列（参见。249548英镑). 这里的划分多项式Prt（n；1，h_1，…）是一个不定h_1=u的Appell序列，因此有一个例如f.exp[Prt（.；1，u，h2…）*t]=e^（u*t）*exp[Prt（.，1,0，h2。这与A133314号（参见A049019号和A019538年)以及置换面体（或它们的对偶）的有符号、精细的面划分多项式，其确定exp[Prt（.，0，u，h2…）*t]的倒数（参见。A249548号)或exp[Prt（.；1，u，h2，…）*t]，在置换面体组合与非交叉分区、Dyck路径和树之间形成连接（参见。A125181号)，以及许多其他与此条目的分区同构的重要结构，以及通过127671英镑李代数的代数结构。（参见排列面体与欧拉的关系A008292号.)
（结束）
第n行乘以n给出了[x（1）+x（2）+…+x（n+1）]^n在本影映射x（m）^j=hj下生成的齐次对称单项式中对于任意m的项数。例如，[a+b+c]^2=[a^2+b^2+c^2]+2*[a*b+a*c+b*c]被映射到[3*h2]+2*[3*h_1^2]，和3*A134264号（3） =3*（1,1）=（3,3）方括号内两个齐次多项式的和数。对于n=3，[a+b+c+d]^3=[a^3+b^3+…]+3[a*b^2+a*c^2+…]+6[a*b*c+a*c*d+…]映射到[4*h3]+3[12*h1*h2]+6[4*（h1）^3]，括号中的项数由4给出*A134264号(4) = 4 * (1,3,1) = (4,12,4).
这也可能与Appell序列和拓扑的重复本影合成有关，Bernoulli数起着特殊的作用。请参阅Todd类链接。
（结束）
这些划分多项式在He和Jejjala链接的第11页上被称为Voiculescu多项式-汤姆·科普兰2015年1月16日
参见Josuat-Verges等人参考文献第5页，将这些分区多项式细化为由非递减停车函数组成的非对易版本-汤姆·科普兰2016年10月5日
（Per Copeland 2014年10月13日的评论）块大小是第n个整数分区的部分的非交叉集分区的数量，其中整数分区的顺序首先是按总数排序，然后是按长度排序，最后是按相反的部分顺序排序-古斯·怀斯曼2019年2月15日
与n的每个分区相关的原始停车功能的数量。参见《藤蔓》第28页的引理3.8-汤姆·科普兰2019年9月10日
当h_n=n+1时，d_k(A006013号)通过计算量子场论中的n点关联函数，获得了Jong等人的表2第18页中的-汤姆·科普兰2019年12月25日
通过查看Robert Dickau网站上的图表，可以看到该条目的单项式与非交叉分区线段的连通性之间的关系-汤姆·科普兰2019年12月25日
Speicher在第22页和第23页上有前四个逆变分多项式的例子，他的k_n等价于h_n=（n'），这里h_0=1。识别z=t，C（z）=t/f（t）=h（t），M（z）=f^（-1）-汤姆·科普兰2021年12月8日
给定一个形式为f（z）=1/z+h1+h2z+h3z^2+…的Laurent级数。。。，组成逆函数为f^（-1）（z）=1/z+Prt（1；1，h1）/z^2+Prt1/z+h1/z^2+（h1^2+h2）/z^3+。。。其中分子中的多项式是该项的划分多项式。例如，这个公式适用于系数为的克莱因j变量/函数的q展开A000521号，与巨大的月光有关，给出了系数的成分反演A091406年（见He和Jejjala）-汤姆·科普兰2021年12月18日
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参考文献
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A.Nica和R.Speicher（编辑），《自由概率组合数学讲座》，伦敦数学学会讲座笔记系列：335，剑桥大学出版社，2006年（特别参见第141页的等式9.14，列举非交叉分区）。
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链接
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M.Ashelevich和W.Mlotkowski，具有线性Jacobi参数的分布半群，arxiv.org/abs/1001.1540v3[math.CO]，第9页，2011年。
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T.Banica、S.Belinschi、M.Capitaine和B.Collins，自由贝塞尔定律，arXiv预印本arXiv:0710.5931[math.PR]，2008。
Freddy Cachazo和Bruno Giménez Umbert，用正热带格拉斯曼函数连接标量振幅，arXiv:2205.02722[hep-th]，2022年。
David Callan，集合、列表和非交叉分区，arXiv:0711.4841[math.CO]，2008年。
R.Dickau，非交叉隔墙Robert Dickau的网站，2012年。
K.Ebrahimi-Fard和F.Patras，累积量、自由累积量和半洗牌，arXiv:1409.5664v2[math.CO]，2015年，第12页。
K.Ebrahimi-Fard和F.Patras，自由概率论中的分裂过程，arXiv:1502.02748[math.CO]，2015年，第3页。
Y.He和V.Jejjala，模块化矩阵模型，arXiv:hep-th/03072932003年。
M.Josuat-Verges、F.Menous、J.Novelli和J.Thibon，非交换自由累积量，arxiv.org/abs/1604.04759[math.CO]，2016年。
C.Lenart，拉格朗日反演和舒尔函数《代数组合数学杂志》，第11卷，第1期，第69-78页，2000年（见第70页，等式1.2）。
A.Schuetz和G.Whieldon，多边形剖切和级数反转，arXiv:1401.7194[math.CO]，2014年。
R.西蒙，非交叉隔墙《离散数学》，第217卷，第1-3期，第367-4092000页。
R.Speicher，“自由概率论”课堂讲稿，arXiv:1908.08125[math.OA]，2019年。
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配方奶粉
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对于j>1，有P（j，m；a…）=j！/h0到h（j-1）的置换，其中h0重复（j-m）次；h1，重复a1次；以此类推a_1+a_2+…+a（j-1）=米。
此外，如果a_1+2*a_2+…+（j-1）*a（j-1=j-1），则这些排列的每个不同组合都与j-1的分区相关。
注释中描述的j-1的第k分区的T（j，k）是[P（j，m；a…）/j]。
例如，从上面的g（t）来看，t（5,4）=（5！/（5-3）！*2!)) / n=5-1=4时，第四个隔墙为5=6，A&S中m=3部分。
设W（x）=1/（df（x）/dx）=1/{d[x/h（x，x）]/dx}
=[（h0）-1+：1/（1-h.*x）：]^2/{（h0
=[（h0）+（h1）x+（h2）x ^2+…]^2/[（h0-（h2”）x ^2-2（h3）x ^3-3（h4）x ^4-…]，其中：“”：表示冒号内表达式的本影计算，h是本影系数。
Poly[n；h_0，…，h（n-1）]=（1/n！）（W（x）*d/dx）^n x，在x=0时求值，f（t）的成分逆函数为g（t）=exp（t*W（x。此外，dg（t）/dt=W（g（tA001263号当n>0时，（h0）=u和（hn）=1A000108美元其中u＝1。
（结束）
exp（x*PS（.，t））=exp（t*g（x））=exp（x*W（y）d/dy）exp（t*y）eval。在y=0时，由R PS（n，t）=PS（n+1，t）和L PS（n、t）=n*PS（n-1，t）定义的升高（生成）和降低（湮没）算子为
R=t*W（d/dt）=t*（（h0）+（h1）d/dt+（h2）（d/dt^2+…）^2/（（h0）-（h2）（d/dt）^2-（h3）（d/dt）^3-（h4）（d.dt）^4+…），和
L=（d/dt）/h（d/dt=（d/dt）1/（（h_0）+（h_1）*d/dt+（h2）*（d/dt%）^2+…）
（结束）
使用形式主义A263634型，h0=1的这个数组的分块多项式的提升算子开始于R=h1+h2D+h3D^2/2！+（h4-h2^2）D^3/3！+（h5-5 h2 h3）D^4/4！+（h6+5 h2^3-7 h3^2-9 h2 h4）D^5/5！+（h7-14 h2 h5+56 h2^2 h3）D^6/6！+。。。D=D/D（h_1）-汤姆·科普兰2016年9月9日
设h（x）=x/f^{-1}（x）=1/[1-（c2*x+c3*x^2+…）]，其中cn都大于零。那么h_n都大于零，h_0=1。从exp[t*f^{-1}（x）]=exp[x*P.（t）]确定P_n（t。A133314号和A263633型). 然后P_n（b.）=0给出了该项a_n=b_n/n！根据低阶反演多项式，P_j（b.）P_k（b.）=P_j（t）P_k（t）|_{t^n=b_n}=d_{j，k}>=0是x^j/j的系数*y^k/k！形式群定律FGL（x，y）=f[f^{-1}（x）+f^{-1-}（y）]的泰勒级数展开式-汤姆·科普兰2018年2月9日
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例子
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1） 如果f（t）=t/（t-1），则h（t）=-（1-t），对于n>1，给出h_0=-1，h_1=1和h_n=0。那么g（t）=-t-t^2-t^3-…=t/（t-1）。
2） 如果f（t）=t*（1-t），则h（t）=1/（1-t；因此T（j，k）的k上的和，即行和，是加泰罗尼亚数A000108美元（j-1）。
3） 对于f（t）=（e^（-a*t）-1）/（-a），h（t）=Sum_{n>=0｝伯努利（n）*（-a*t）^n/n！且g（t）=log（1-a*t）/（-a）=Sum_{n>=1}a^（n-1）*t^n/n！，{置换s与s（1）+s（2）+…+s（j）=j-1}h_s（1）*hs（2）*…*的和h_s（j）=j*总和{k=1..（j-1的分区数）}T（j，k）*h（j-1，k；h_0，h_1，…）=a^（j-1）。依次注意，对于伯努利多项式和数，当j>1时，求和{a=1..m}a^（j-1）=（伯努利（j，m+1）-Bernoulli（j））/j。
4） 如果f（t，x）=t/（x-1+1/（1-t）），则h。则g（t，x）=（1-（1-x）*t-sqrt（1-2*（1+x）*t+（（x-1）*t）^2）/2，对于x中的Narayana多项式A001263号.
5） h（t）=o.g.fA075834号，但有A075834号（1） =2而不是1，这是[n]上连接正电子阵数量的o.g.f.（参见Ardila等人，第25页），g（t）是A000522号，这是[n]上正电子数的o.g.f。（作者于2014年10月13日添加）
6） 当f（t，x）=x/（（1-t*x）*（1-（1+t）*x））时A074909号，单纯形的反面多项式h（t，x）=（1-t*x）*（1-（1+t）*x），其中h0=1，h1=-（1+2*t），h2=t*（1+t），给出了符号的o.g.f.（1+（1+2*1*t）*x-sqrt（1+A033282号Stasheff多面体或结合面体的反面多项式。囊性纤维变性。A248727号（作者于2015年1月21日添加）
三角形开始：
1
1
1 1
1 3 1
1 4 2 6 1
1 5 5 10 10 10 1
1 6 6 3 15 30 5 20 30 15 1
1 7 7 7 21 42 21 21 35 105 35 35 70 21 1
第5行统计以下非交叉集分区：
{{1234}} {{1}{234}} {{12}{34}} {{1}{2}{34}} {{1}{2}{3}{4}}
{{123}{4}} {{14}{23}} {{1}{23}{4}}
｛｛124｝｛3｝｝｛12｝｛3｝｛4｝｝
{{134}{2}} {{1}{24}{3}}
{{13}{2}{4}}
{{14}{2}{3}}
（结束）
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数学
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表[二项式[总计[y]，长度[y]-1]*（长度[y]-1）/产品[计数[y，i]！，{i，Max@@y}]，{n，7}，{y，排序[Sort/@IntegerPartitions[n]]}](*古斯·怀斯曼2019年2月15日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
C（v）={my（n=vecsum（v），S=Set（v））；n！/（（n-#v+1）！*prod（i=1，#S，my（x=S[i]）；（#select（y->y==x，v））}
行（n）=[C（Vec（p））|p<-分区（n-1）]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A119900个（例如，对于约化W（x），（h_0）=t，（h_n）=1，n>0）。
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关键词
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非n，标签
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作者
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扩展
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添加了显式t^6、t^7和t^8多项式，并扩展了初始表以包含t^8的系数-汤姆·科普兰2016年9月14日
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状态
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经核准的
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