搜索： a271714-编号：a271714
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A271724型
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| 将n写成w^2+x^2+y^2+z^2并带有w*（x+2*y+3*z）正方形的有序方式的数量，其中w、x、y、z是x>0的非负整数。 |
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1, 3, 2, 1, 4, 4, 1, 3, 4, 6, 4, 2, 4, 7, 1, 1, 10, 8, 5, 6, 8, 5, 1, 4, 7, 10, 7, 2, 11, 13, 2, 3, 8, 9, 8, 6, 7, 13, 3, 6, 15, 8, 4, 4, 13, 8, 1, 2, 8, 15, 11, 4, 14, 18, 5, 7, 6, 6, 12, 5, 12, 17, 5, 1, 16, 21, 3, 11, 16, 12, 1, 8, 8, 18, 16, 5, 16, 12, 4, 6
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1、2
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评论
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猜想：（i）a（n）>0表示所有n>0，而a（n）=1仅表示n=7，15，47，151，4^k*q（k=0,1,2，…和q=1，23，71）。
（ii）对于gcd（a，b，c）为无平方的正整数a，b和c，任何自然数都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中w，x，y，z为非负整数，w*（a*x+b*y+c*z）是一个平方，当且仅当{a，b、c}位于{1,2,3}，{1,3,6}，}1,6,9}，[5,6,9]，{18,3014}之间。
（iii）对于每个四元组（a，b，c，d）=（1,1,2,12），（1,2,7,60），10,15,24），（6,9,15,20），（7,14,28,60），（3,21，33,80），（4,5，9120），（4，12，16105），任何自然数都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中w，x，y，z为非负整数，这样（a*x+b*y+c*z）^2+（d*w）^2就是一个正方形。
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链接
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例子
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a（1）=1，因为1=0^2+1^2+0^2+0 ^2，1>0，0*（1+2*0+3*0）=0^2。
a（3）=2，因为3=1^2+1^2+0^2+1 ^2带有1*（1+2*0+3*1）=2^2，3=0^2+1*2+1^2带有0*（1+2*1+3*1”）=0^2。
a（7）=1，因为7=1^2+1^2+1 ^2+2^2，其中1*（1+2*1+3*2）=3^2。
a（15）=1，因为15=2^2+3^2+1^2+1 ^2，其中2*（3+2*1+3*1）=4^2。
a（23）=1，因为23=1^2+3^2+2^2+3 ^2，其中1*（3+2*2+3*3）=4^2。
a（31）=2，因为31=2^2+1^2+1^2+5^2，其中2*（1+2*1+3*5）=6^2，并且31=2^2+3^2+3^2+3^2，其中2*（3+2*3+3*3）=6^2。
a（47）=1，因为47=1^2+1^2+3^2+6^2，其中1*（1+2*3+3*6）=5^2。
a（71）=1，因为71=1^2+6^2+5^2+3^2，其中1*（6+2*5+3*3）=5^2。
a（151）=1，因为151=9^2+6^2+5^2+3^2，9*（6+2*5+3*3）=15^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[Sqrt[n-x*2-y^2-z^2]（x+2y+3z）]，r=r+1]，{x，1，Sqrt[n]}，{y，0，Sqrt[n-x_2]}、{z，0，Sqrt[n-x^2-y^2]}]；打印[n，“”，r]；标签[aa]；继续，{n，1，80}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A259789型,1971年2月,A271513型,A271518型,A271608型,A271644型,A271665型,A271714型,2017年2月21日.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A271775型
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| 将n写成x^2+y^2+z^2+w^2（x>=y>=z<=w）的有序方式的数量，其中w、x、y、z是非负整数。 |
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1, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 4, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 5, 5, 3, 2, 3, 4, 3, 1, 4, 6, 5, 4, 3, 5, 3, 2, 5, 4, 3, 5, 4, 5, 2, 2, 8, 9, 5, 4, 8, 2, 1, 3, 5, 9, 7, 6, 2, 7, 4, 1, 5, 6, 6, 4, 5, 7, 8, 2, 6, 12, 7, 5, 4, 7
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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猜想：（i）对于所有n=0,1,2，…，a（n）>0，。。。，a（n）=1仅适用于n=0，3，11，47，2^{4k+3}*m（k=0，1，2，…和m=1，3，7，15，79）。
（ii）设a和b是a≤b且gcd（a，b）无平方的正整数。那么任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中包含w，x，y，z非负整数和a*x-b*y平方，当且仅当（a，b）在有序对（1,1），（2,1），，（2,2），（4,3），（6,2）之间。
（iii）设a和b是gcd（a，b）无平方的正整数。那么任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中包含x，y，z，w非负整数和a*x+b*y正方形，当且仅当{a，b}位于{1,2}，{1,3}和{1,24}之间。
（iv）设a，b，c是a≤b且gcd（a，b、c）无平方的正整数。然后，任何自然数都可以用w，x，y，z非负整数和a*x+b*y-c*z平方写为x^2+y^2+z^2+w^2，当且仅当（a，b，c）是三元组（1,1,1），（1,1,2），（1.2,2），1），（1,18,1），（2,2,2），（2.2,4），（2.3,2）， (2,4,1), (2,4,2), (2,6,1), (2,6,2), (2,6,6), (2,7,4), (2,7,7), (2,8,2), (2,9,2), (2,32,2), (3,3,3), (3,4,2), (3,4,3), (3,8,3), (4,5,4), (4,8,3), (4,9,4), (4,14,14), (5,8,5), (6,8,6), (6,10,8), (7,9,7), (7,18,7), (7,18,12), (8,9,8), (8,14,14), (8,18,8), (14,32,14), (16,18,16), (30,32,30), (31,32,31), (48,49,48), (48,121,48).
（v） 设a，b，c是b<=c且gcd（a，b、c）无平方的正整数。然后，任何自然数都可以用w，x，y，z非负整数和a*x-b*y-c*z平方写为x^2+y^2+z^2+w^2，当且仅当（a，b，c）是三元组（1,1,1），（2,1,2），（3,1,2）和（4,1,2。
（vi）设a、b、c、d为正整数，a<=b、c<=d和gcd（a、b，c、d）不平方。然后，任何自然数都可以用w，x，y，z非负整数和a*x+b*y-（c*z+d*w）写成x^2+y^2+z^2+w^2，当且仅当（a，b，c，d）是四元组（1,2,1,1），（1,2,1）。
（vii）设a、b、c、d为正整数，a≤b≤c，gcd（a，b，c，d）无平方。然后，任何自然数都可以用w，x，y，z非负整数和a*x+b*y+c*z-d*w平方写为x^2+y^2+z^2+w^2，当且仅当（a，b，c，d）是四元组（1,1,2,1），（1,2,3,1），（1,2,3,3），（1.2,4,2），和（2,4,8,2）。
众所周知，任何非4^k*（16*m+14）形式的自然数（k，m=0,1,2，…）都可以用x，y，z非负整数写成x^2+y^2+2*z^2=x^2+y^2+z^2+z ^2。
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参考文献
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L.E.Dickson，《现代基本数论》，芝加哥大学出版社，芝加哥，1939年，第112-113页。
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链接
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Z.-W.孙，关于多边形数的泛和，科学。中国数学。58(2015), 1367-1396.
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例子
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a（3）=1，因为3=1^2+1^2+0^2+1 ^2，其中1=1>0<1和1-1=0^2。
a（7）=1，因为7=1^2+1^2+1 ^2+2^2，1=1=1<2和1-1=0^2。
a（8）=1，因为8=2^2+2^2+0^2+0 ^2，2=2>0=0，2-2=0 ^2。
a（11）=1，因为11=1^2+1^2+0^2+3^2，其中1=1>0<3和1-1=0^2。
a（24）=1，因为24=2^2+2^2+0^2+4^2，其中2=2>0<4和2-2=0^2。
a（47）=1，因为47=3^2+3^2+2^2+5^2，其中3=3>2<5和3-3=0 ^2。
a（53）=2，因为53=3^2+2^2+2 ^2+6^2，其中3>2=2<6和3-2=1^2，以及53=6^2+2^2+2 ^2+3^2，中6>2=2<3和6-2=2^2。
a（56）=1，因为56=6^2+2^2+0^2+4^2，其中6>2>0<4和6-2=2^2。
a（120）=1，因为120=8^2+4^2+2^2+6^2，8>4>2<6和8-4=2^2。
a（632）=1，因为632=16^2+12^2+6^2+14^2，16>12>6<14和16-12=2^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
做[r=0；做[If[SQ[x-y]&&SQ[n-x^2-y^2-z^2]，r=r+1]，{z，0，Sqrt[n/4]}，{y，z，Sqrt[（n-z^2）/2]}；打印[n，“”，r]；继续，{n，0，70}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A259789型,1971年2月,A271513型,A271518型,A271608型,A271644型,A271665型,A271714型,A271721型,A271724型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A271721型
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| 将n写成x^2+y^2+z^2+w^2的有序方式的数量，其中x>=y>=z>=0，x>0和w>=z使得（x-y）*（w-z）是一个正方形。 |
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1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 4, 5, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 5, 4, 5, 2, 2, 4, 2, 3, 5, 1, 4, 4, 5, 3, 3, 4, 5, 4, 3, 4, 2, 2, 3, 3, 5, 3, 8, 4, 6, 3, 2, 4, 6, 3, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 7, 6, 7, 2, 3, 2, 5, 6, 8, 3, 7, 3, 2, 2, 3, 6, 11, 5, 8, 5, 8, 4, 2, 3, 8, 4, 5, 5, 3, 1, 2, 9, 10, 5, 8
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1、2
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评论
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猜想：（i）a（n）>0表示所有n>0，而a（n）=1仅表示n=1，3，5，11，15，23，35，95，4^k*190（k=0,1,2，…）。
（ii）对于每个k=4、5、6、7、8、11、12、13、15、17、18、20、22、25、27、29、33、37、38、41、50、61，任何自然数都可以用x、y、z、w非负整数写成x^2+y^2+z^2+w^2，这样（x-y）*（w-k*z）就是一个正方形。
（iii）对于每个三元组（a，b，c）=（3,1,1），（1,2,1），（2,2,1）1,8,1）、（1,8,5）、（3,9,1），（1,10,1，（1,20,2），（1,21,1），（3,21,1），（1,23,1），（1,24,1），（1,24,1），（1,27,1），（3,27,1），（1,34,1），（1,45,1），（3,48,1），（1,5,1），（1,60,1），（5,60,1），任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中x，y，z，w为非负整数，使得a*（x+b*y）*（w-c*z）为平方。
这比拉格朗日的四平方定理更强。注意，对于k=2或3，任何自然数n都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中w，x，y，z为非负整数，（x-y）*（w-k*z）=0，因为，如果n不能用x^2+y^2+2*z^2表示，那么它的形式是4^k*（16*m+14）（k，m=0,1,2，…），因此可以用x^2+y^2+（k^2+1）*z^2。众所周知，没有用x^2+y^2+5*z^2表示的自然数的形式是4^k*（8*m+3），没有用x^2+y ^2+10*z^ 2表示的正偶数的形式则是4^k*（16*m+6）（由S.Ramanujan推测，由L.E.Dickson证明）。
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参考文献
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L.E.Dickson，正三元二次型表示的整数，布尔。阿默尔。数学。《社会学》第33卷（1927年），第63-70页。
L.E.Dickson，《现代基本数论》，芝加哥大学出版社，芝加哥，1939年，第112-113页。
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链接
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例子
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a（3）=1，因为3=1^2+1^2+0^2+0 ^2，1=1>0=0和（1-1）*（0-0）=0^2。
a（5）=1，因为5=2^2+1^2+0^2+0^2，2>1>0=0和（2-1）*（0-0）=0^2。
a（11）=1，因为11=1^2+1^2+0^2+3^2，1=1>0<3和（1-1）*（3-0）=0^2。
a（14）=2，因为14=3^2+1^2+0^2+2^2，其中3>1>0<2和（3-1）*（2-0）=2^2，以及14=3^2+2^2+0 ^2+1 ^2，中3>2>0<1和（3-2）*。
a（15）=1，因为15=3^2+2^2+1^2+1 ^2，其中3>2>1=1和（3-2）*（1-1）=0^2。
a（23）=1，因为23=3^2+3^2+1^2+2^2，其中3=3>1<2和（3-3）*（2-1）=0^2。
a（35）=1，因为35=3^2+3^2+1^2+4^2，其中3=3>1<4和（3-3）*（4-1）=0^2。
a（95）=1，因为95=5^2+5^2+3^2+6^2，其中5=5>3<6和（5-5）*（6-3）=0^2。
a（190）=1，因为190=13^2+4^2+1^2+2^2，13>4>1<2和（13-4）*（2-1）=3^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[（Sqrt[n-x^2-y^2-z ^2]-z）*（x-y）]，r=r+1]，{z，0，Sqrt[n/4]}，{y，z，Sqrt[（n-z^2）/2]}；打印[n，“”，r]；继续，{n，1100}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A259789型,1971年2月,A271513型,A271518型,A271608型,A271644型,A271665型,A271714型,A271719型,A271724型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A271778型
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| 用x，y，z，w非负整数和x^2+3*y^2+5*z^2-8*w^2写n为x^2+y^2+z^2+w^2的有序方式的数量。 |
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1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 4, 2, 4, 1, 2, 3, 4, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 4, 4, 4, 5, 1, 2, 4, 1, 1, 5, 4, 6, 3, 2, 4, 2, 2, 3, 3, 6, 5, 3, 1, 4, 5, 4, 4, 4, 1, 6, 7, 4, 4, 1, 3, 4, 6, 5, 5, 2, 1, 8, 7, 6, 7, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.4
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评论
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猜想：（i）对于所有n=0,1,2，…，a（n）>0，。。。，a（n）=1仅适用于n=0，1，15，29，33，47，53，65，89，129，689，1553，2^（2k+1）*m（k=0，1，2，…和m=1，29）。
（ii）任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中包含w，x，y，z非负整数和a*x^2+b*y^2+c*z^2-d*w^2平方，如果（a，b，c，d）是以下四元组中的一个：（1,3,6,3），（1,3,12,3），，（4,5,16,4），（4,11,33,11），（4-12,16,7），（5,16,10,20）， (5,25,36,5), (6,10,25,10), (9,12,28,12), (9,21,28,21), (15,21,25,15), (15,24,25,15), (1,5,60,5), (1,20,60,20), (9, 28,63,63), (9,28,84,84), (12,33,64,12), (16,21,105,21), (16,33,64,16), (21,25,45,45), (24,25,75,75), (24,25,96,96), (25,40,96,40), (25,48,96,48), (25,60,84,60), (25,60,96,60), (25,75,126,75), (32,64,105,32).
（iii）任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中包含w，x，y，z非负整数和a*x^2+b*y^2-c*z^2-d*w^2平方，只要（a，b，c，d）是四元组（3,9,3,20）、（5,9,5,20），（5,25,4,5）、6,64,15,30），（32,64,15-32），（48,64,15.48），（60,64,15.60）， (60,81,20,60), (64,80,15,80).
（iv）对于每个三元组（a，b，c）=（21,5,15），（36,3,8），（48,8,39），（64,7,8）、（40,15144），（45,20144），（69,20,60），任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中w，x，y，z是非负整数，a*x^2-b*y^2-c*z^2是平方。
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链接
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例子
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a（2）=1，因为2=1^2+1^2+0^2+0 ^2，1 ^2+3*1^2+5*0^2-8*0^2=2^2。
a（15）=1，因为15=1^2+3^2+1^2+2^2，其中1^2+3*3^2+5*1^2-8*2^2=1^2。
a（29）=1，因为29=3^2+4^2+0^2+2^2，其中3^2+3*4^2+5*0^2-8*2^2=5^2。
a（33）=1，因为33=2^2+4^2+2^2+3^2，2^2+3*4^2+5*2^2-8*3^2=0。
a（47）=1，因为47=5^2+3^2+2^2+3 ^2，其中5^2+2*3^2+5*2^2-8*3^2=0^2。
a（53）=1，因为53=3^2+2^2+6^2+2 ^2，其中3^2+3*2^2+5*6^2-8*2^2=13^2。
a（58）=1，因为58=4^2+1^2+5^2+4^2，4^2+3*1^2+5*5^2-8*4^2=4^2。
a（65）=1，因为65=3^2+6^2+2^2+4^2，其中3^2+3*6^2+5*2^2-8*4^2=3^2。
a（89）=1，因为89=6^2+4^2+6^2+1^2，其中6^2+3*4^2+5*6^2-8*1^2=16^2。
a（129）=1，因为129=9^2+4^2+4 ^2+4^2，9^2+3*4^2+5*4^2-8*4^2=9^2。
a（689）=1，因为689=11^2+18^2+10^2+12^2，11^2+3*18^2+5*10^2-8*12^2=21^2。
a（1553）=1，自1553年起=21^2+6^2+26^2+20^2，其中21^2+3*6^2+5*26^2-8*20^2=27^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[x^2+3*y^2+5*z^2-8*（n-x^2-y^2-z ^2；打印[n，“”，r]；继续，{n，0，70}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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A271824型
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| 用（x+2*y）^2+8*z^2+40*w^2平方将n写成x^2+y^2+z^2+w^2的有序方式的数量，其中x是正整数，y、z、w是非负整数。 |
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32
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1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 4, 1, 3, 3, 2, 1, 1, 3, 6, 3, 3, 4, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 3, 2, 5, 4, 2, 1, 3, 3, 3, 5, 1, 5, 4, 2, 6, 3, 2, 5, 3, 3, 3, 2, 8, 3, 6, 6, 4, 4, 2, 4, 6, 3, 3, 5, 3, 4, 1, 5, 5, 4, 4, 2, 6, 1, 6, 2, 4, 7, 4, 3, 5, 7, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1、2
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评论
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猜想：（i）a（n）>0表示所有n>0，而a（n）=1仅表示n=9，11，15，23，33，71，129，167，187，473，4^k*m（k=0,1,2，…和m=1，22，38，278）。此外，任何正整数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中9*（x+2*y）^2+16*z^2+24*w^2是正数，y、z、w是非负整数。
（ii）任何自然数都可以用x，y，z，w非负整数和（a*x-b*y）^2+c*z^2+d*w^2a平方写成x^2+y^2+z^2+w^2，前提是（a，b，c，d）是四元组（4,8,1,8），（12,24,1,24），（2,4,5,40），40），（2,6,9,12），（3,5,9,15），（4,8,9,16），（12,24,9,17），（3,6,15,25），（3,6，16，24），（3，12，16，二十四），（6,9,16,24）。
（iii）设a和为正整数，a<=b，gcd（a，b）不平方。那么任何自然数都可以用x，y，z，w非负整数和（a*x+b*y）*z平方写为x^2+y^2+z^2+w^2，当且仅当（a，b）在有序对（1,1），（1,2），（1.3），（2,5），（3,3）。
（iv）设a和b是a<=b且gcd（a，b）无平方的正整数。然后，任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中x，y，z，w为非负整数，（a*x^2+b*y^2）*z为平方，当且仅当（a，b）在有序对（3,13）、（5,11）、（15,57）、（15165）和（138150）中。
有许多有序的整数对（a，b）与gcd（a，b）平方无关，因此任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2与x，y，z，w整数和a*x^2+b*y^2a平方。例如，我们已经证明（1，-1），（2，-2），（3，-3）和（1,2）确实是这样的有序对。
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链接
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例子
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a（9）=1，因为9=3^2+0^2+0 ^2+0^2，其中（3+2*0）^2+8*0^2+40*02=3^2。
a（11）=1，因为11=1^2+1^2+3^2+0^2，其中（1+2*1）^2+8*3^2+40*0^2=9^2。
a（15）=1，因为15=1^2+3^2+2^2+1^2，其中（1+2*3）^2+8*2^2+40*1^2=11^2。
a（22）=1，因为22=3^2+2^2+3^2+0^2，其中（3+2*2）^2+8*3^2+40*0^2=11^2。
a（23）=1，因为23=1^2+3^2+2^2+3 ^2，其中（1+2*3）^2+8*2^2+40*3^2=21 ^2。
a（33）=1，因为33=4^2+1^2+0^2+4^2，其中（4+2*1）^2+8*0^2+40*4^2=26^2。
a（38）=1，因为38=5^2+2^2+0^2+3^2，其中（5+2*2）^2+8*0^2+40*3^2=21^2。
a（71）=1，因为71=1^2+6^2+5^2+3^2，因为（1+2*6）^2+8*5^2+40*3^2=27^2。
a（129）=1，因为129=5^2+6^2+8^2+2^2与（5+2*6）^2+8*8^2+40*2^2=31^2。
a（167）=1，因为167=11^2+1^2+3^2+6^2，其中（11+2*1）^2+8*3^2+40*6^2=41^2。
a（187）=1，自187=3^2+5^2+12^2+3^2起，其中（3+2*5）^2+8*12^2+40*3^2=41^2。
a（278）=1，因为278=3^2+0^2+10^2+13^2，其中（3+2*0）^2+8*10^2+40*13^2=87^2。
a（473）=1，因为473=7^2+10^2+0^2+18^2，其中（7+2*10）^2+8*0^2+40*18^2=117^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]&&SQ[（x+2y）^2+8z^2+40（n-x^2-y^2-z ^2；打印[n，“”，r]；继续，{n，1，80}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000118号,A000290型,1971年2月,A271513型,A271518型,A271608型,A271665型,A271714型,2017年2月21日,A271724型,A271775型,A271778型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A262357型
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| 将n写成w^2+x^2+y^2+z^2的有序方式的数量，其中w是正整数，x，y，z是非负整数。 |
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1, 2, 1, 1, 4, 3, 2, 2, 4, 5, 1, 1, 6, 3, 2, 1, 6, 7, 2, 4, 8, 6, 2, 3, 8, 9, 3, 2, 8, 5, 2, 2, 6, 6, 2, 4, 9, 5, 4, 5, 8, 5, 1, 1, 10, 5, 3, 1, 5, 9, 3, 6, 10, 10, 6, 3, 5, 5, 2, 2, 12, 3, 5, 1, 13, 9, 3, 6, 10, 9
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1、2
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评论
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猜想：（i）a（n）>0表示所有n>0，而a（n）=1仅表示n=4^k*m（k=0,1,2，…和m=1，3，11，43，547，763，1739，6783）。
（ii）对于每个四元组（a，b，c，d）=（1,3,78,27），（1,3222,75），（4,12,81108），（6,27,25,75）和（7,2112,32），任何正整数都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中w是正整数，x，y，z是整数。
（iii）每个n=0,1,2，。。。。可以用w，x，y，z整数写为w^2+x^2+y^2+z^2，例如w^2*x^2+4*x^2*y^2+44*y^2*z^2+16*z^2*w^2=5*t^2。
另请参见A268507型,A269400型,1971年2月,A271513型,A271518型,A271665型,A271714型,A271721型,A271724型,217175英镑,A271778型和A271824型对于其他猜想，完善了拉格朗日的四平方定理。
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链接
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例子
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a（1）=1，因为1=1 ^2+0 ^2+0^2+0 ^2，1>0，1 ^2*0 ^2+5*0 ^2*0 ^2+0 ^2+80*0 ^2*0^2+20*0 ^ 2*1 ^2=0 ^2。
a（2）=2，因为2=1^2+0^2+1^2+0 ^2，1>0，1 ^2*0^2+5*0^2*1^2+80*1^2*0 ^2+20*0 ^2*1 ^2=0^2，还有2=1*2+1^2+0^2+0 ^2，其中1>0和1 ^2*1^2+2+5*1^2+0^2+80*0 ^ 2*0*0 ^2+20*0 ^1*1^2=1 ^2。
a（3）=1，因为3=1 ^2+0 ^2+1 ^2+1^2，其中1>0和1 ^2*0 ^2+5*0 ^2*1 ^2+80*1 ^2*1^2+20*1 ^ 2*1=10 ^2。
a（11）=1，因为11=1^2+0^2+1^2+3^2，其中1>0和
1^2*0^2 + 5*0^2*1^2 + 80*1^2*3^2 + 20*3^2*1^2 = 30^2.
a（43）=1，因为43=3^2+0^2+3^2+5^2，其中3>0和3*0^2+5*0^2*3^2+80*3^2*5^2+20*5^2*3^2]=150^2。
a（547）=1，因为547=3^2+0^2+3^2+23^2，其中3>0和3^2*0^2+5*0^2*3^2+80*3^2*23^2+20*23^2*3^2=690^2。
a（763）=1，因为763=13^2+20^2+13^2+5^2，13>0和13^2*20^2+5*20^2*13^2+80*13^2*5^2+20*5^2*13 ^2=910^2。
a（1739）=1自1739年起=15^2+16^2+27^2+23^2，其中15>0和15^2*16^2+5*16^2*27^2+80*27^2*23^2+20*23^2*15^2=5850^2。
a（6783）=1，因为6783=17^2+73^2+18^2+29^2，17>0和17^2*73^2+5*73^2*18^2+80*18^2*29^2+20*29^2*17^2=6069^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[（n-x^2-y^2-z ^2）*x^2+5*x^2*y^2+80*y^2*z ^2+20*z ^2*（n-x ^2-y ^2）]，r=r+1]，{x，0，Sqrt[n-1]}，{y，0，Sqrt[n-1-x^2]}，}，rz，0，r[n-1-x^2-y-y^2]}]；打印[n，“”，r]；继续，{n，1，70}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A268507型,A269400型,1971年2月,A271513型,A271518型,A271608型,A271665型,A271714型,A271721型,A271724型,A271775型,A271778型,A271824型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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2006年2月
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| 将n写成w^2+x^2+y^2+z^2的有序方式数，其中w>0，w>=x<=y<=z，使得x^2*y^2+y^2*z^2+z^2*x^2是一个正方形，其中w，x，y，z是非负整数。 |
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31
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1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 4, 4, 2, 2, 3, 3, 1, 2, 3, 5, 4, 1, 5, 5, 1, 1, 5, 4, 4, 3, 2, 5, 1, 3, 7, 6, 3, 2, 5, 4, 1, 1, 5, 7, 6, 2, 5, 8, 1, 3, 4, 3, 5, 2, 5, 7, 4, 1, 8, 8, 3, 4, 6, 6, 1, 4, 6, 9, 5, 2, 6, 7, 1, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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猜想：（i）a（n）>0表示所有n>0，而a（n）=1仅表示n=2^k，4^k*m（k=0,1,2，…和m=3，7，23，31，39，47，55，71，79，151，191，551）。
（ii）对于每个三元组（a，b，c）=（1,4,4），（1,4,16），4,19,29），（5,9,25），（7,9,33），（7.25,49），（9,10,45），（9,30,40），（9,32,64），（9-34,36），（9.44,61），（14,25,40）^2+b*y^2*z^2+c*z^2*x^2是一个正方形。
作者在arXiv:1604.06723中证明了对于任何正整数n，a（n）>0-孙志伟2016年5月9日
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链接
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例子
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3, 7, 23, 31, 39, 47, 55, 71, 79, 151, 191, 551).
a（2）=1，因为2=1 ^2+0 ^2+0^2+1 ^2，1>0=0<1和0 ^2*0 ^2+0 ^2*1 ^2+1^2*0^2=0 ^2。
a（3）=1，因为3=1^2+0^2+1^2+1^2，其中1>0<1=1和0^2*1^2+1 ^2*1 ^2+1^2*0^2=1^2。
a（7）=1，因为7=1^2+1^2+1 ^2+2^2，其中1=1=1<2和1^2*1^2+1*2^2+2*1^2=3^2。
a（23）=1，因为23=3^2+1^2+2^2+3^2，其中3>1<2<3和1^2*2^2+2 ^2*3^2+3 ^2*1^2=7^2。
a（31）=1，因为31=5^2+1^2+1 ^2+2 ^2，其中5>1=1<2和1 ^2*1 ^2+2 ^2*1^2=3 ^2。
a（39）=1，因为39=5^2+1^2+2^2+3^2，其中5>1<2<3和1^2*2^2+2*3^2+3*1^2=7^2。
a（47）=1，因为47=3^2+2^2+3^2+5^2，其中3>2<3<5和2^2*3^2+3 ^2*5^2+5 ^2x2=19^2。
a（55）=1，因为55=7^2+1^2+1 ^2+2 ^2，7>1=1<2和1 ^2*1 ^2+2 ^2*1^2=3 ^2。
a（71）=1，因为71=3^2+1^2+5^2+6^2，其中3>1<5<6和1^2*5^2+5 ^2*6^2+6 ^2*1^2=31 ^2。
a（79）=1，因为79=5^2+3^2+3 ^2+6^2，其中5>3=3<6和3^2*3^2+3*6^2+6 ^2*3 ^2=27^2。
a（151）=1，因为151=5^2+3^2+6^2+9^2，其中5>3<6<9和3^2*6^2+6 ^2*9^2+9 ^2*3^2=63^2。
a（191）=1，因为191=3^2+1^2+9^2+10^2，其中3>1<9<10和1^2*9^2+9 ^2*10^2+10 ^2*1^2=91^2。
a（551）=1，因为551=15^2+3^2+11^2+14^2，其中15>3<11<14和3^2*11^2+24^2*3^2=163^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
TQ[n]：=TQ[n]=n>0&&SQ[n]
Do[r=0；Do[If[TQ[n-x^2-^2-z^2]&&SQ[x^2*y^2+y^2*z^2+z^2*x^2]，r=r+1]，{x，0，Sqrt[n/4]｝，{y，x，Sqrt[（n-2x^2）/2]｝，{z，y，Sqrt[n-2x^2]｝]；打印[n，“”，r]；继续，{n，1，80}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A269400型,1971年2月,A271513型,A271518型,A271608型,A271665型,A271714型,A271721型,A271724型,A271775型,A271778型,A271824型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A269400型
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| 将n写为w^2+x^2+y^2+z^2的有序方式的数量，其中w、x、y是非负整数，z是正整数。 |
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1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 3, 2, 3, 4, 3, 1, 1, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 4, 2, 5, 5, 2, 5, 5, 2, 1, 1, 3, 6, 2, 3, 4, 8, 1, 3, 8, 7, 3, 3, 4, 5, 2, 3, 6, 9, 4, 6, 10, 4, 3, 3, 3, 8, 5, 4, 5, 5, 5, 1, 7, 4, 2, 7, 4, 5, 1, 5, 7, 5, 2, 4, 8, 1, 1, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,5
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评论
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猜想：（i）a（n）>0表示所有n>0，而a（n）=1仅表示n=3、15、31、39、71、79、195、311、319、403、559、591、683、719、1031、1439、1643、2519、6879、2^k、2^（2k+1）*39（k=0,1,2，…）。此外，任何正整数都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中x是正整数，w，y，z是非负整数，这样6*w^2*x^2*y^2+52*y*2*z^2+27*z^2*w^2就是一个正方形。
（ii）对于每个三元组（a，b，c）=（1,3,2），（1,11,9），（1.14,4），（1.20,25），（1,27,18），（1.36,9）a*w^2*x^2+b*x^2%y^2+c*y^2*z^2是一个正方形。
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链接
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例子
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a（1）=1，因为1=0^2+0^2+0 ^2+1^2，1>0和6*0^2*0^2+12*0^2\0^2+52*0 ^2*1 ^2+27*1 ^2*0 ^2=0 ^2。
a（2）=1，因为2=0^2+1^2+0^2+1^2，1>0和6*0^2*1^2+12*1^2*0^2+52*0^2%1^2+27*1^2*0^2=0^2。
a（3）=1，因为3=0^2+1^2+1*2+1^2，1>0和6*0^2*1^2+12*1^2*1^2+52*1^1*1^2+27*1^2*0^2=8^2。
a（15）=1，因为15=2^2+3^2+1^2+1 ^2，1>0和6*2^2*3^2+12*3*2*1^2+52*1^2*1^2=22^2。
a（31）=1，因为31=1^2+1^2+2^2+5^2，其中5>0和6*1^2*1^2+12*1^2*2^2+52*2*5^2+27*5^2*1^2=77^2。
a（39）=1，因为39=2^2+1^2+5^2+3^2，3>0和6*2^2*1^2+12*1^2*5^2+52*5^2*3^2+27*3^2*2^2=114^2。
a（71）=1，因为71=3^2+1^2+6^2+5^2，其中5>0和6*3^2*1^2+12*1^2*6^2+52*6^2+27*5^2*3^2=231^2。
a（78）=1，因为78=2^2+7^2+4^2+3^2，其中3>0和6*2^2*7^2+12*7*4^2+52*7|2*4^2+27*3^2*2^2=138^2。
a（79）=1，因为79=2^2+5^2+7^2+1^2，1>0和6*2^2*5^2+12*5*7^2+52*7^2*1^2+27*1^2*2^2=134^2。
a（195）=1，自195年以来=3^2+7^2+4^2+11^2，11>0和6*3^2*7^2+12*7|2*4^2+52*4|2*11^2+27*11^2*3^2=377^2。
a（311）=1，因为311=14^2+9^2+3^2+5^2，其中5>0和6*14^2*9^2+12*9*2*3^2+52*5^2+27*5^2*14^2=498^2。
a（319）=1，因为319=6^2+3^2+7^2+15^2，其中15>0和6*6^2*3^2+12*3^2*7^2+52*7^2*15^2+27*15^2*6^2=894^2。
a（403）=1，因为403=3^2+13^2+12^2+9^2，9>0和6*3^2*13^2+12*13^2*12^2+52*12^2*9^2+27*9^2*3^2=963^2。
a（559）=1，因为559=5^2+23^2+2^2+1^2，1>0和6*5^2*23^2+12*23|2*2^2+52*2*1^2+27*1^2*5^2=325^2。
a（591）=1，因为591=21^2+11^2+2^2+5^2，其中5>0和6*21^2*11^2+12*11^2*2^2+52*2^2*5^2+27*5^2*21^2=793^2。
a（683）=1，因为683=0^2+11^2+21^2+11 ^2，11>0和6*0^2*11^2+12*11^2*21^2+52*21^2*11 ^2+27*11 ^2*0^2=1848^2。
a（719）=1，因为719=10^2+3^2+21^2+13^2，13>0和6*10^2*3^2+12*3*2^2+52*21^2*13^2+27*13^2*10^2=2094^2。
a（1031）=1自1031=26^2+15^2+9^2+7^2起，7>0和6*26^2*15^2+12*15*9^2+52*9^2+27*7^2*26^2=1494^2。
a（1439）=1，自1439年起=13^2+27^2+10^2+21^2，其中21>0和6*13^2*27^2+12*27 ^2*10^2+52*10^2*21 ^2+27*21 ^2*13^2=2433^2。
a（1643）=1自1643年以来=36^2+17^2+3^2+7^2，其中7>0和6*36^2*17^2+12*17*3^2+52*3^2*7^2+27*7^2*36^2=2004^2。
a（2519）=1，自2519=27^2+7^2+30^2+29^2起，其中29>0和6*27^2*7^2+12*7|2*30^2+52*30|2*29^2+27*29^2*27^2=7527^2。
a（6879）=1，因为6879=38^2+53^2+49^2+15^2，其中15>0和6*38^2*53^2+12*53^2*49^2+52*49^2*15^2+27*15^2*38^2=11922^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[6*（n-x^2-y^2-z ^2）*x^2+12*x^2*y^2*z^2+27*z^2*（n-x ^2-y ^2-z平方）]，r=r+1]，{x，0，Sqrt[n-1]}，{y，0，Sqrt[n-1-x^2]}，}，[z，1，Sqrt[n-x|y^2]}]；打印[n，“”，r]；继续，{n，1，80}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A268507型,1971年2月,A271513型,A271518型,A271608型,A271665型,A271714型,A271721型,A271724型,217175英镑,A271778型,A271824型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A272084型
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| 用4*x^2+5*y^2+20*z*w平方将n写成x^2+y^2+z^2+w^2的有序方式的数量，其中x，y，z，w是z<w的非负整数。 |
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+10
28
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 3, 4, 4, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 5, 4, 2, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 6, 6, 2, 3, 2, 2, 1, 3, 4, 4, 2, 3, 1, 6, 1, 5, 3, 4, 3, 4, 1, 4, 3, 4, 8, 4, 2, 1, 3, 2, 2, 5, 4, 4, 1, 6, 3, 6, 2, 5, 6, 7, 3, 2, 2, 2, 1, 3, 5, 9, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,5
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评论
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推测：（i）对于所有n>0，a（n）>0，并且a（n）=1仅对于n=2^k*q（k=0,1,2，…和q=1，3，7），4^k*m（k=0,1,2，…和m=21，30，38，62，70，77142217237302382406453670）。
（ii）对于每个三元组（a，b，c）=（1,8,8），（7,9，-12），（9,40，-24），（9，40，-60），任何正整数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中，w是正整数，x，y，z是非负整数。
（iii）任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中（3*x+5*y）^2-24*z*w是一个正方形，其中x，y，z，w是非负整数。此外，对于每个有序对（a，b）=（1,4），（1,8），（1.12），（1.24）。
（iv）任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中（x^2-y^2）*（w^2-2*z^2）（或（x^2-y^2）*（2*w^2-z^2）或（x^2-y^2）*（w^2-5*z^2））是一个正方形，其中w、x、y、z是整数。
另请参见A262357型,A268507型,A269400型,1971年2月,A271513型,A271518型,A271665型,A271714型,A271721型,A271724型,A271775型,A271778型和A271824型对于其他猜想，完善了拉格朗日的四平方定理。
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链接
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例子
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a（1）=1，因为1=0^2+0^2+0^2+1^2，0<1和4*0^2+5*0^2+20*0*1=0^2。
a（2）=1，因为2=1 ^2+0 ^2+0^2+1 ^2，0<1和4*1^2+5*0^2+20*0*1=2^2。
a（3）=1，因为3=1^2+1^2+0^2+1 ^2，0<1和4*1^2+5*1^2+20*0*1=3^2。
a（6）=1，因为6=1^2+1^2+0^2+2^2，其中0<2和4*1^2+5*1^2+20*0*2=3^2。
a（14）=1，因为14=1^2+3^2+0^2+2^2，其中0<2和4*1^2+5*3^2+20*0*2=7^2。
a（21）=1，因为21=0^2+2^2+1^2+4^2，1<4和4*0^2+5*2^2+20*1*4=10^2。
a（30）=1，因为30=4^2+2^2+1^2+3^2，1<3和4*4^2+5*2^2+20*1*3=12^2。
a（38）=1，因为38=1^2+1^2+0^2+6^2，0<6和4*1^2+5*1^2+20*0*6=3^2。
a（62）=1，因为62=1^2+3^2+4^2+6^2，4<6和4*1^2+5*3^2+20*4*6=23^2。
a（70）=1，因为70=7^2+1^2+2^2+4^2，2<4和4*7^2+5*1^2+20*2*4=19^2。
a（77）=1，因为77=4^2+6^2+3^2+4^2，其中3<4和4*4^2+5*6^2+20*3*4=22^2。
a（142）=1，因为142=4^2+6^2+3^2+9^2，其中3<9和4*4^2+5*6^2+20*3*9=28^2。
a（217）=1，因为217=6^2+6^2+8^2+9^2，其中8<9和4*6^2+5*6^2+20*8*9=42^2。
a（237）=1，因为237=5^2+8^2+2^2+12^2，2<12和4*5^2+5*8^2+20*2*12=30^2。
a（302）=1，因为302=11^2+9^2+6^2+8^2，其中6<8和4*11^2+5*9^2+20*6*8=43^2。
a（382）=1，因为382=11^2+7^2+4^2+14^2，4<14和4*11^2+5*4^2+20*4*14=43^2。
a（406）=1，因为406=8^2+6^2+9^2+15^2，9<15和4*8^2+5*6^2+20*9*15=56^2。
a（453）=1，因为453=8^2+14^2+7^2+12^2，其中7<12和4*8^2+5*14^2+20*7*12=54^2。
a（670）=1，因为670=17^2+11^2+2^2+16^2，其中2<16和4*17^2+5*11^2+20*2*16=49^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[4x^2+5y^2+20*z*Sqrt[n-x|2-y^2-z^2]]，r=r+1]，{x，0，Sqrt[n-1]}，{y，0，Sqrt[n-1-x^2]}，[{z，0，Siqrt[（n-1-x^2-y ^2）/2]}]；打印[n，“”，r]；继续，{n，1100}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A262357型,A268507型,A269400型,1971年2月,A271513型,A271518型,A271608型,A271665型,A271714型,A271721型,A271724型,A271775型,A271778型,A271824型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A272332美元
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| 将n写成w^2+x^2+y^2+z^2的有序方式数，其中36*x^2*y+12*y^2*z+z^2*x为正方形，其中w为正整数，x，y，z为非负整数。 |
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+10
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1, 3, 2, 2, 6, 4, 3, 3, 3, 8, 5, 2, 6, 6, 4, 1, 7, 10, 6, 8, 8, 5, 2, 2, 7, 16, 8, 3, 12, 6, 4, 3, 6, 13, 8, 8, 8, 6, 5, 7, 15, 14, 4, 2, 12, 7, 3, 2, 5, 18, 8, 12, 14, 8, 7, 4, 6, 8, 7, 5, 14, 8, 5, 2, 12, 18, 8, 12, 10, 6, 3, 5, 10, 19, 10, 3, 8, 3, 1, 6
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1、2
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评论
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猜想：a（n）>0表示所有n>0，a（n”）=1仅表示n=16^k*m（k=0,1,2，…和m=1，79，591，599，1752，1839，10264）。
我们已经验证了所有n=1，…，的a（n）>0，。。。，400000
有关拉格朗日四平方定理的更多改进，请参见arXiv:1604.06723。
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链接
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例子
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a（1）=1，因为1=1 ^2+0 ^2+0^2+0-0 ^2，1>0和36*0 ^2*0+12*0 ^ 2*0+0 ^2*0=0 ^2。
a（79）=1，因为79=7^2+1^2+5^2+2^2，7>0和36*1^2*5+12*5^2*2+2^2*1=28^2。
a（591）=1，因为591=23^2+1^2+6^2+5^2，其中23>0和36*1^2*6+12*6^2*5+5^2*1=49^2。
a（599）=1，因为599=6^2+1^2+11^2+21^2，其中6>0和36*1^2*11+12*11^2*21+21^2*1=177^2。
a（1752）=1，因为1752=10^2+4^2+40^2+6^2，10>0和36*4^2*40+12*40^2*6+6^2*10=372^2。
a（1839）=1自1839年起=17^2+37^2+9^2+10^2，17>0和36*37^2*9+12*9^2*10+10^2*37=676^2。
a（10264）=1，因为10264=96^2+30^2+2^2+12^2，96>0和36*30^2*2+12*2^2*12+12^2*30=264^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[36*x^2*y+12*y^2*z+z^2*x]，r=r+1]，{x，0，Sqrt[n-1]}，{y，0，Sqrt[n-1-x^2]}，}，rz[n-1-x^2-y ^2]}]；打印[n，“”，r]；继续，{n，1，80}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A262357型,A268507型,A269400型,1971年2月,A271513型,A271518型,A271608型,A271665型,A271714型,A271721型,A271724型,A271775型,A271778型,A271824型,1984年2月,A272336型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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