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A271724型 将n写成w^2+x^2+y^2+z^2并带有w*(x+2*y+3*z)正方形的有序方式的数量,其中w、x、y、z是x>0的非负整数。 38

%I#17 2016年5月1日13:28:18

%S 1,3,2,1,4,4,1,3,4,6,4,2,4,7,1,10,8,5,6,8,1,4,7,7,2,11,13,2,3,

%第8,9,8,6,7,3,6,15,8,4,13,8,1,2,8,15,11,4,14,18,5,7,6,12,5,12页,

%U 17,5,1,16,21,3,11,16,12,1,8,8,18,16,5,16,12,4,6

%N将N写成w^2+x^2+y^2+z^2的有序方式的数量,其中w*(x+2*y+3*z)是一个正方形,其中w、x、y、z是x>0的非负整数。

%C猜想:(i)a(n)>0表示所有n>0,而a(n)=1仅表示n=7,15,47,151,4^k*q(k=0,1,2,…和q=1,23,71)。

%C(ii)对于gcd(a,b,C)不平方的正整数a,b和C,任何自然数都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2,其中w,x,y,z为非负整数,w*(a*x+b*y+C*z)是一个平方,当且仅当{a,b、C}在{1,2,3},{1,3,6},},1,6,9},5,6,9{,{18,3014}之间。

%C(iii)对于每个四元组(a,b,C,d)=(1,1,2,12),(1,2,7,60),(1.3,9,48),(1.4,11,48),5,10,15,24),(6,9,15,20),(7,14,28,60),(3,9,18112),(3,21,33,80),(4,5,9120),(4,12,16105),任何自然数都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2,其中包含w,x,y,z非负整数,这样(a*x+b*y+c*z)^2+(d*w)^2就是一个正方形。

%C关于改进拉格朗日四平方定理的其他猜想,请参见A271510、A271513、A271518、A271644、A271665、A271714和A271721。

%孙志伟,n的表,n的a(n)=1..10000</a>

%孙志伟,<a href=“http://arxiv.org/abs/1604.06723“>精炼拉格朗日四平方定理,arXiv:1604.067232016。

%e a(1)=1,因为1=0^2+1^2+0^2+0 ^2,1>0,0*(1+2*0+3*0)=0^2。

%e a(3)=2,因为3=1^2+1^2+0^2+1 ^2,其中1*(1+2*0+3*1)=2 ^2,并且3=0^2+1^2+1^2+1 ^2,中0*(1+2*1+3*1”)=0 ^2。

%e a(7)=1,因为7=1^2+1^2+1 ^2+2^2,其中1*(1+2*1+3*2)=3^2。

%e a(15)=1,因为15=2^2+3^2+1^2+1 ^2,其中2*(3+2*1+3*1)=4^2。

%e a(23)=1,因为23=1^2+3^2+2^2+3 ^2,其中1*(3+2*2+3*3)=4^2。

%e a(31)=2,因为31=2^2+1^2+1 ^2+5^2,其中2*(1+2*1+3*5)=6^2,31=2*2+3^2+3^2+3^2,以及2*(3+2*3+3*3)=6*2。

%e a(47)=1,因为47=1^2+1^2+3^2+6^2,其中1*(1+2*3+3*6)=5^2。

%e a(71)=1,因为71=1^2+6^2+5^2+3^2,其中1*(6+2*5+3*3)=5^2。

%e a(151)=1,因为151=9^2+6^2+5^2+3^2,其中9*(6+2*5+3*3)=15^2。

%t SQ[n_]:=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]]

%t Do[r=0;Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[Sqrt[n-x*2-y^2-z^2](x+2y+3z)],r=r+1],{x,1,Sqrt[n]},{y,0,Sqrt[n-x|2]},[z,0,Sqrt[n-x^2-y ^2]}];打印[n,“”,r];标签[aa];继续,{n,1,80}]

%Y参见A000118、A000290、A259789、A271510、A271513、A2715128、A271608、A271 644、A271665、A271714、A271 721。

%K nonn公司

%O 1,2号机组

%A _孙志伟_,2016年4月13日

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