%I#16 2016年5月1日13:29:51

%S 1,2,2,1,2,2,2,2,1,4,1,3,3,2,1,1,3,6,3,4,1,1,2,3,4,3,5,4,2,1,3，

%温度3,3,5,1,5,4,2,6,3,2,5,3,3,1,8,3,6,4,4,2,4,6,3,15,5,4，

%U 2,6,1,6,2,4,7,4,3,5,7,3

%N用（x+2*y）^2+8*z^2+40*w^2平方写N为x^2+y^2+z^2+w^2的有序方式的数量，其中x是正整数，y、z、w是非负整数。

%C猜想：（i）a（n）>0表示所有n>0，而a（n）=1仅表示n=9，11，15，23，33，71，129，167，187，473，4^k*m（k=0,1,2，…和m=1，22，38，278）。此外，任何正整数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中9*（x+2*y）^2+16*z^2+24*w^2是正数，y、z、w是非负整数。

%C（ii）任何自然数都可以用x，y，z，w非负整数和（a*x-b*y）^2+C*z^2+d*w^2a平方写成x^2+y^2+z^2+w^2，前提是（a，b，C，d）是四元组（4,8,1,8），（12,24,1,24），（2,4,5,40），（3,6,7,9），8,40），（2,6,9,12），（3,5,9,15），（4,8,9,16），（12,24,9,17），（3,6,15,25），（3,6，16，24），（3，12，16，二十四），（6,9,16,24）。

%C（iii）设a和为正整数，a<=b，gcd（a，b）无平方。那么任何自然数都可以用x，y，z，w非负整数和（a*x+b*y）*z平方写为x^2+y^2+z^2+w^2，当且仅当（a，b）在有序对（1,1），（1,2），（1.3），（2,5），（3,3）。

%C（iv）设a和b是a<=b且gcd（a，b）无平方的正整数。然后，任何自然数都可以用x，y，z，w非负整数和（a*x^2+b*y^2）*z平方写成x^2+y^2+z^2+w^2，当且仅当（a，b）在有序对（3,13）、（5,11）、（15,57）、（15165）和（138150）之间。

%有许多有序的整数对（a，b）与gcd（a，b）平方无关，因此任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2与x，y，z，w整数和a*x^2+b*y^2a平方。例如，我们已经证明（1，-1），（2，-2），（3，-3）和（1,2）确实是这样的有序对。

%C参见A271510、A271513、A2715128、A271665、A271714、A271721、A27172、A271775和A271778，了解其他完善拉格朗日四平方定理的猜想。

%孙志伟，n的表，n的a（n）=1..10000</a>

%孙志伟，<a href=“http://arxiv.org/abs/1604.06723“>精炼拉格朗日四平方定理，arXiv:1604.067232016。

%e a（9）=1，因为9=3^2+0^2+0 ^2+0^2，其中（3+2*0）^2+8*0^2+40*02=3^2。

%e a（11）=1，因为11=1^2+1^2+3^2+0^2，其中（1+2*1）^2+8*3^2+40*0^2=9^2。

%e a（15）=1，因为15=1^2+3^2+2^2+1^2，其中（1+2*3）^2+8*2^2+40*1^2=11^2。

%e a（22）=1，因为22=3^2+2^2+3^2+0^2，其中（3+2*2）^2+8*3^2+40*0^2=11^2。

%e a（23）=1，因为23=1^2+3^2+2^2+3 ^2，其中（1+2*3）^2+8*2^2+40*3^2=21 ^2。

%e a（33）=1，因为33=4^2+1^2+0^2+4^2，其中（4+2*1）^2+8*0^2+40*4^2=26^2。

%e a（38）=1，因为38=5^2+2^2+0^2+3^2与（5+2*2）^2+8*0^2+40*3^2=21^2。

%e a（71）=1，因为71=1^2+6^2+5^2+3^2，因为（1+2*6）^2+8*5^2+40*3^2=27^2。

%e a（129）=1，因为129=5^2+6^2+8^2+2^2，其中（5+2*6）^2+8*8^2+40*2^2=31^2。

%e a（167）=1，因为167=11^2+1^2+3^2+6^2与（11+2*1）^2+8*3^2+40*6^2=41^2。

%e a（187）=1，自187年以来=3^2+5^2+12^2+3^2，其中（3+2*5）^2+8*12^2+40*3^2=41^2。

%e a（278）=1，因为278=3^2+0^2+10^2+13^2，其中（3+2*0）^2+8*10^2+40*13^2=87^2。

%e a（473）=1，因为473=7 ^2+10 ^2+0 ^2+18 ^2与（7+2*10）^2+8*0 ^2+40*18 ^2=117 ^2。

%t SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]]

%t Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[（x+2y）^2+8z^2+40（n-x^2-y^2-z ^2；打印[n，“”，r]；继续，{n，1,80}]

%Y参见A000118、A000290、A271510、A271513、A2715128、A271608、A271 665、A271714、A271721、A27172、A271775、A271 778。

%K nonn公司

%O 1,2号机组

%A _孙志伟，2016年4月14日