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2006年2月 将n写成w^2+x^2+y^2+z^2且w>0,w>=x<=y<=z的有序方式的数量,使得x^2*y^2+y^2*z^2*x^2是一个正方形,其中w,x,y,z是非负整数。 31

%I#30 2021年1月1日03:17:10

%S 1,1,1,1,2,2,1,1,3,3,2,1,2,3,2,4,2,2,3,3,1,2,3,1,2,3,1,3,5,4,1,5,1,1,5,4,

%温度4,3,2,5,1,3,7,6,3,2,5,4,1,5,7,2,5,8,1,3,1,4,4,5,5,8,3,4,

%U 6,6,1,4,6,9,5,2,6,7,1,2

%N将N写成w^2+x^2+y^2+z^2,其中w>0,w>=x<=y<=z,使得x^2*y^2+y^2*z^2+z ^2*x^2是一个正方形,其中w,x,y,z是非负整数。

%C猜想:(i)a(n)>0表示所有n>0,a(n)=1仅表示n=2^k,4^k*m(k=0,1,2,…和m=3,7,23,31,39,47,55,71,79,151,191,551)。

%C(ii)对于每个三元组(a,b,C)=(1,4,4),(1,4,16),(4,19,29),(5,9,25),(7,9,33)(9,30,40),(9,32,64),(9.34,36),(9.44,61),(14,25,40)、(16,17,36)、(16.20,25),(24,36,39),(25,40,64)、(25,45,51),(27,36,37),(28,44,49),(32,49,64)y^2+b*y^2*z^2+c*z^2*x^2是一个正方形。

%C参见A269400、A271510、A271513、A2715128、A271665、A271714、A271721、A27172、A271775、A271 778和A271824,了解拉格朗日四平方定理的其他猜想。

%C作者在arXiv:1604.06723中证明了任何正整数n的a(n)>0。-孙志伟,2016年5月9日

%孙志伟,n的表,n的a(n)=1..10000</a>

%孙志伟,<a href=“http://arxiv.org/abs/1604.06723“>精炼拉格朗日四平方定理,arXiv:1604.06723[math.NT],2016-2017。

%e 3、7、23、31、39、47、55、71、79、151、191、551)。

%e a(2)=1,因为2=1 ^2+0 ^2+0^2+1 ^2,1>0=0<1,0 ^2*0 ^2+0 ^2*1 ^2+1^2*0^2=0 ^2。

%e a(3)=1,因为3=1 ^2+0 ^2+1 ^2+1^2,其中1>0<1=1和0 ^2*1 ^2+1 ^2*1^2+1^2*0^2=1^2。

%e a(7)=1,因为7=1^2+1^2+1 ^2+2^2,1=1=1<2和1 ^2*1^2+1 ^2*2 ^2+2 ^2*1 ^2=3^2。

%e a(23)=1,因为23=3^2+1^2+2^2+3^2,其中3>1<2<3和1^2*2^2+2^2*3^2+3^2*1^2=7^2。

%e a(31)=1,因为31=5^2+1^2+1 ^2+2 ^2,其中5>1=1<2和1 ^2*1 ^2+2 ^2*1^2=3 ^2。

%e a(39)=1,因为39=5^2+1^2+2^2+3^2,其中5>1<2<3和1^2*2^2+2 ^2*3^2+3 ^2*1^2=7^2。

%e a(47)=1,因为47=3^2+2^2+3^2+5^2,其中3>2<3<5和2^2*3^2+3 ^2*5^2+5 ^2x2=19^2。

%e a(55)=1,因为55=7^2+1^2+1 ^2+2 ^2,其中7>1=1<2和1 ^2*1 ^2+2 ^2*1^2=3 ^2。

%e a(71)=1,因为71=3^2+1^2+5^2+6^2,其中3>1<5<6和1^2*5^2+5 ^2*6^2+6 ^2*1^2=31^2。

%e a(79)=1,因为79=5^2+3^2+3 ^2+6^2,其中5>3=3<6和3 ^2*3^2+3 ^2*6^2+6 ^2*3 ^2=27^2。

%e a(151)=1,因为151=5^2+3^2+6^2+9^2,其中5>3<6<9和3^2*6^2+6 ^2*9^2+9 ^2*3^2=63^2。

%e a(191)=1,因为191=3^2+1^2+9^2+10^2,其中3>1<9<10和1^2*9^2+9 ^2*10^2+10 ^2*1^2=91^2。

%e a(551)=1,因为551=15 ^2+3 ^2+11 ^2+14 ^2,其中15>3<11<14和3 ^2*11 ^2+11 ^2*14 ^2+14 ^2*3 ^2=163 ^2。

%t SQ[n_]:=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]]

%t TQ[n]:=TQ[n]=n>0&&SQ[n

%t Do[r=0;Do[If[TQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[x^2*y^2+y^2*z^2+z^2*x^2],r=r+1],{x,0,Sqrt[n/4]},{y,x,Sqrt[(n-2x^2)/2]}、{z,y,Sqart[n-2x*y^2]};打印[n,“”,r];继续,{n,1,80}]

%Y参见A000118、A000290、A269400、A271510、A271513、A2715128、A271608、A2171665、A271714、A271721、A27172、A271775、A271 778、A271 824。

%K nonn公司

%O 1,5型

%A _孙志伟_,2016年4月16日

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