%I#19 2017年1月9日02:56:50

%S 1,2,2,1,2,2,3,2,1,4,3,1,2,3,2,3,3,5,3,2,3,1,4,4,3,4,1,4,6,5,4,5,5,2,5，

%第4,3,5,5,2,2,2,8,9,5,4,8,2,1,3,5,9,7,6,2,7,4,1,5,6,4,4,5,7,8,2,6,12,7页，

%U 5、4、7

%N将N写成x^2+y^2+z^2+w^2（x>=y>=z<=w）的有序方式的数量，其中w、x、y、z是非负整数。

%C猜想：（i）对于所有n=0,1,2，…，a（n）>0，。。。，a（n）=1仅适用于n=0，3，11，47，2^{4k+3}*m（k=0，1，2，…和m=1，3，7，15，79）。

%C（ii）设a和b是a<=b且gcd（a，b）无平方的正整数。那么任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中包含w，x，y，z非负整数和a*x-b*y平方，当且仅当（a，b）在有序对（1,1），（2,1），，（2,2），（4,3），（6,2）之间。

%C（iii）设a和b是gcd（a，b）无平方的正整数。那么任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中包含x，y，z，w非负整数和a*x+b*y正方形，当且仅当{a，b}位于{1,2}，{1,3}和{1,24}之间。

%C（iv）设a，b，C为正整数，a<=b，gcd（a，b、C）无平方。然后，任何自然数都可以用w，x，y，z非负整数和a*x+b*y-c*z平方写为x^2+y^2+z^2+w^2，当且仅当（a，b，c）是三元组（1,1,1），（1,1,2），（1.2,2），1），（1,18,1），（2,2,2），（2.2,4），（2.3,2）， (2,4,1), (2,4,2), (2,6,1), (2,6,2), (2,6,6), (2,7,4), (2,7,7), (2,8,2), (2,9,2), (2,32,2), (3,3,3), (3,4,2), (3,4,3), (3,8,3), (4,5,4), (4,8,3), (4,9,4), (4,14,14), (5,8,5), (6,8,6), (6,10,8), (7,9,7), (7,18,7), (7,18,12), (8,9,8), (8,14,14), (8,18,8), (14,32,14), (16,18,16), (30,32,30), (31,32,31), (48,49,48), (48,121,48).

%C（v）设a，b，C是b<=C且gcd（a，b、C）无平方的正整数。然后，任何自然数都可以用w，x，y，z非负整数和a*x-b*y-c*z平方写为x^2+y^2+z^2+w^2，当且仅当（a，b，c）是三元组（1,1,1），（2,1,2），（3,1,2）和（4,1,2。

%C（vi）设a，b，C，d为正整数，a<=b，C<=d，gcd（a，b、C、d）不平方。然后，任何自然数都可以用w，x，y，z非负整数和a*x+b*y-（c*z+d*w）写成x^2+y^2+z^2+w^2，当且仅当（a，b，c，d）是四元组（1,2,1,1），（1,2,1）。

%C（vii）设a、b、C、d为正整数，a≤b≤C，gcd（a，b，C，d）无平方。然后，任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中w，x，y，z为非负整数，a*x+b*y+c*z-d*w为平方，当且仅当（a，b，c，d）在四元组（1,1,2,1）、（1,2,3,1）、（1,2,3,3,3）、（1,2,4,2）、（1,2,4,4,4,4）、（1,2,5,5,5）、（1,2,6,2）、（1,2,8,1）、（2,2,4,4,4）、（2,4,6,4）、（2,4,6,6,6）和（2,4,8,2）中。

%C众所周知，任何非4^k*（16*m+14）形式的自然数（k，m=0,1,2，…）都可以用x，y，z非负整数写成x^2+y^2+2*z^2=x^2+y^2+z^2+z ^2。

%C参见A271510、A271513、A2715128、A271644、A271665、A271714、A2171721和A271724，了解拉格朗日四平方定理的其他猜想。

%D L.E.Dickson，《现代基本数论》，芝加哥大学出版社，芝加哥，1939年，第112-113页。

%孙志伟，n的表，n=0..10000的a（n）</a>

%H Z.-W.Sun，<a href=“http://math.scichina.com:8081/sciAe/EN/abstract/abstract517007.shtml“>关于多边形数的泛和</a>，《科学与中国数学》58（2015），1367-1396。

%孙志伟，<a href=“http://arxiv.org/abs/1604.06723“>精炼拉格朗日四平方定理，arXiv:1604.06723[math.GM]，2016。

%e a（3）=1，因为3=1^2+1^2+0^2+1 ^2，1=1>0<1，1-1=0^2。

%e a（7）=1，因为7=1^2+1^2+1^2+2^2，1=1=1<2，1-1=0^2。

%e a（8）=1，因为8=2^2+2^2+0^2+0 ^2，其中2=2>0=0，2-2=0^2。

%e a（11）=1，因为11=1^2+1^2+0^2+3^2，1=1>0<3和1-1=0^2。

%e a（24）=1，因为24=2^2+2^2+0^2+4^2，其中2=2>0<4和2-2=0^2。

%e a（47）=1，因为47=3^2+3^2+2^2+5^2，其中3=3>2<5和3-3=0^2。

%e a（53）=2，因为53=3^2+2^2+2 ^2+6^2，其中3>2=2<6和3-2=1 ^2，并且53=6^2+2+2^2+3^2，中6>2=2<3和6-2=2 ^2。

%e a（56）=1，因为56=6^2+2^2+0^2+4^2，其中6>2>0<4和6-2=2^2。

%e a（120）=1，因为120=8^2+4^2+2^2+6^2，8>4>2<6和8-4=2^2。

%e a（632）=1，因为632=16^2+12^2+6^2+14^2，16>12>6<14和16-12=2^2。

%t SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]]

%t Do[r=0；Do[如果[SQ[x-y]和&SQ[n-x^2-y^2-z^2]，r=r+1]，{z，0，Sqrt[n/4]}，{y，z，Sqrt[（n-z^2）/2]}，{x，y，Sqrt[（n-y^2-z^2）]}]；打印[n，“”，r]；继续，{n，0,70}]

%Y参见A000118、A000290、A259789、A271510、A271513、A2715128、A271608、A2171644、A271665、A271714、A2171721、A271724。

%K nonn公司

%0、2

%A _孙志伟_，2016年4月13日