搜索： a000517-编号：a0005127
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A008303号
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| 行读取的三角形：T（n，k）（n>=1，0<=k<=上限（n/2）-1）=具有k个峰值的[n]排列数。 |
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18
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1, 2, 4, 2, 8, 16, 16, 88, 16, 32, 416, 272, 64, 1824, 2880, 272, 128, 7680, 24576, 7936, 256, 31616, 185856, 137216, 7936, 512, 128512, 1304832, 1841152, 353792, 1024, 518656, 8728576, 21253376, 9061376, 353792, 2048, 2084864, 56520704, 222398464, 175627264, 22368256
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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安德烈（1895）首次定义了这些数字。在他的符号中，T（n，k）=Q（n+1，2*（k+1））表示n>=1和0<=k<=上限（n/2）-1。
他的三角形如下（第148页）：
Q_{2,2}
问题{3,2}
Q_{4,2}Q_{4，4}
Q_{5,2}Q_{4}
Q_{6,2}
Q_{7,2}Q_{7.4}Q_}7,6}
...
当s为奇数，或n<=1，或s>n时，他的Q（n，s）=0。此外，当n>=2时，Q_{n，2}=2^（n-2）。
对于n>=3和s>=2，他的复发率是Q（n，s）=s*Q（n-1，s）+（n-s+1）*Q（n-1，s-2）。（显然，对于s奇数，我们得到Q（n，s）=0+0=0。）
就当前数组而言，Andrés（1895）递归变为T（n，k）=（2*k+2）*T（n-1，k）+（n-2*k）*T。在这种情况下，我们假设T（n，k）=0，k>=上限（n/2）或k<0。
（结束）
我们进一步澄清了安德烈（1895）定义的Q（n，s）量。在他的论文中，安德烈考虑了[n]的循环置换，并讨论了置换中的极大值、极小值和所谓的“序列”。
安德烈在19世纪的几篇论文中使用的排列中的“序列”一词是指排列中从最大值到最小值的连续数字列表，反之亦然，并且不包含任何内部最小值或最大值。Comtet在Ex.13（第260-261页）中也重复了这一术语（尽管他指的是相应的指数，而不是排列本身中的数字）。
一些作者将这些所谓的“序列”（由André和Comtet定义）称为“交替运行”（或只是“运行”）。如果我们在一个圆上的两个方向之一以升序阅读这些所谓的“序列”，那么我们实际上是在处理“循环运行”。
Q（n，s）是[n]（在（n-1）中）的循环置换数！总共）正好有这些所谓的“序列”（“交替运行”）中的s。
安德烈（1895）证明，在[n]的循环置换中，最大值的数目等于最小值的数目，并且他所谓的“序列”（“交替运行”）的数目总是偶数（即Q（n，s）=0表示s奇数）。
他还表明，如果v=floor（n/2），那么在[n]的循环排列中，所谓“序列”（“交替运行”）的长度的唯一可能值是2，4。。。，2*v.这就是为什么当s是奇数，或n<=1，或s>n时Q（n，s）=0。
注意，求和{t=1..floor（n/2）}Q_{n，2*t}=求和{t=1..flower（n/2”）}t（n-1，t-1）=（n-1）！=[n]的循环置换总数。
由于T（n，k）=Q（n+1，2*（k+1））对于n>=1和0<=k<=上限（n/2）-1，我们得出结论：具有k个峰值的[n]的（线性）排列数等于具有这些所谓“序列”（“交替运行”）的2*（k+1）的[n+1]的循环排列数。
（结束）
这个数组的作者间接地假设[n]的（线性）排列的“峰值”是排列的内部最大值；即，我们忽略了置换端点处的极大值。
类似地，[n]的（线性）置换的“谷”是该置换的内部极小值；即，我们忽略了置换端点处的极小值。
由于置换a_1a_2的补码。。。a_n（使用单行符号，而不是循环符号）是（n+1-a_1）（n+1-a_2）。。。（n+1-a_n），因此，对于n>=2和0<=k<=上限（n/2）-1，T（n，k）也是[n]的（线性）置换数，正好有k个谷。
（结束）
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参考文献
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弗洛伦斯·南丁格尔·大卫和D.E.巴顿，《组合机会》，查尔斯·格里芬，1962年；见表10.6，第163页。[他们使用符号T_{N，T^*}^{**}，其中N是置换的长度，T^*是置换中的峰数。他们还给出了André的递归。因此，这里N=N，k=T^*-Petros Hadjicostas公司，2019年8月9日]
佛罗伦斯·南丁格尔·大卫、莫里斯·乔治·肯德尔和D.E.巴顿，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第261页，表7.3。
I.P.Goulden和D.M.Jackson，《组合计数》，John Wiley and Sons，纽约，1983年，示例3.3.46-Emeric Deutsch公司2009年7月26日
T.K.Petersen，《欧拉数字》，Birkhäuser，2015年，第4章。
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链接
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S.Billey、K.Burdzy和B.E.Sagan，给定峰值集的排列，arXiv:1209.0693[math.CO]，2012年。
S.Billey、K.Burdzy和B.E.Sagan，给定峰值集的排列，J.国际顺序。16 (2013), #13.6.1.
C.-O.Chow、S.-M.Ma、T.Mansour和M.Shattuck，按循环峰谷计算排列《数学与信息年鉴》第43期（2014年），第43-54页。
S.Elizalde和M.Noy，排列中的连续模式，高级申请。数学。30（2003），110-125；见第5节。
R.C.Entringer，（1，…，n）置换的极大数计数杜克大学数学系。《J·36》（1969年），第575-579页Ira M.Gessel，2013年10月23日
C.J.Fewster和D.Siemssen，按运行结构枚举排列，arXiv预印本arXiv:1403.1723[math.CO]，2014。
马仕美、马骏、叶让和叶荣南，B型1/k-欧拉多项式，arXiv:2001.07833[math.CO]，2020年。
Louis W.Shapiro、Wen-Jin Woan和Seyoum Getu，跑步、滑梯和精彩瞬间，SIAM J.代数与离散方法4（1983），459-466；见第461页。
闫庄，按运行计数排列，J.Comb。理论Ser。A 142（2016），第147-176页。
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公式
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例如：g（t，z）=[exp（bz）-exp（az）]/[b*exp-
求和{k>=0}k*T（n，k）=n*（n-2）/3=A090672号（n-1）。
第n行有上限（n/2）条款。（结束）
例如：tan（t*sqrt（x-1））/（sqrtt+2*t^2/2！+（4+2*x）*t^3/3！+（8+16*x）*t^4/4！+。。。。行生成多项式P（n，x）满足x^（n-1）*P（n、1+1/x^2）=R（n-1，x），其中R（n，x）是A185896号.A000670号（n） =（3/2）^（n-1）*P（n，8/9）-彼得·巴拉2011年10月14日
对于n>1和k>1，T（n，k）=（n-2*k+2）*T（n-1，k-1）+2*k*T（n-1，k）；T（n，1）=2^（n-1）；当k>1时，T（1，k）=0。
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例子
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三角形T（n，k）（行n>=1，列k>=0）的起始位置如下：
[ 1] 1;
[ 2] 2;
[ 3] 4, 2;
[ 4] 8, 16;
[ 5] 16, 88, 16;
[6]32416272；
[ 7] 64, 1824, 2880, 272;
[ 8] 128, 7680, 24576, 7936;
[ 9] 256, 31616, 185856, 137216, 7936;
[10] 512, 128512, 1304832, 1841152, 353792;
T（3,1）=2，因为我们有132和231。
根据安德烈（1895）的符号（见上面的注释），我们有Q（4,2）=T（3,0）=4和Q（4,1）=T（3,1）=2。
在（4-1）中！=[4]的6个循环排列，排列1324和1423中的每个排列正好有4个所谓的“序列”（“交替运行”），而其余的每个排列（1234、1243、1342和1432）正好有2个所谓的序列（“交替循环”）。
具体来说，我们列出了上述循环排列的所谓“序列”（“交替运行”）：
1234-->1234和41（最多4个，最少1个）。
1243-->124和431（最多4个，最少1个）。
1324-->13、32、24和41（最大值3、4和最小值1、2）。
1342-->134和421（最多4个，最少1个）。
1423-->14、42、23和31（最大值3、4和最小值1、2），
1432-->14和4321（最多4个，最少1个）。
（结束）
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MAPLE公司
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#Maple程序生成（通过直接计数）程序中指定的行n的生成多项式。
n:=8：使用（组合）：P:=置换（n）：st:=proc（P）局部ct，j:ct:=0：对于j从2到nops（P）-1 do，如果P[j-1]<P[j]和P[j+1]<P[j]，那么ct:=ct+1 else end if end do:ct end proc:sort（add（t^st（P[j]），j=1。。阶乘（n））#Emeric Deutsch公司2009年7月26日
#第二届枫叶计划：
a:=1+sqrt（1-t）：b:=1-sqrt（1-t）：G:=（exp（b*z）-exp（a*z））/（b*exp（a**）-a*exp。。ceil（（1/2）*n）-1）结束do；#以三角形形式生成序列-Emeric Deutsch公司2009年7月26日
#第三届枫叶计划：
b： =proc（u，o，t）选项记忆；展开（`if`（u+o=0，1，
加（b（u-j，o+j-1，0）*x^t，j=1..u）+
加（b（u+j-1，o-j，1），j=1..o））
结束：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p））（b（n，0$2））：
#D.André的复发（1895年）。
T:=proc（n，k）选项记忆；
如果n<1或2*k>（n-1），则返回0 fi；
如果k=0，则返回2^（n-1）fi；
（2*k+2）*T（n-1，k）+（n-2*k）*T
seq（seq（T（n，k），k=0..（n-1）/2），n=1..12）#彼得·卢什尼2019年8月6日
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数学
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来自Luc Roy，2010年7月8日：（开始）
展开[CoefficientList[Simplify[Inverse Series[Integrate[
序列[（1+m正弦[x]^2）^（-1），{x，0，15}，{m，0，15}]，x]]，x]
分母[系数列表[系列[Exp[x]，{x，0，15}]，x]]]
（*Luc Roy程序的Mathematica输出*）
{0，1，0，2 m，0，8 m+16 m^2，0，32 m+416 m^2+272 m^3，0，128 m+7680 m^2+44576 m^3+7936 m^4，0，512 m+128512 m^2+1304832 m^3+1841152 m^4+353792 m^5，0，2048 m+2084864 m^2+56520704 m^3+222398464 m^4+175627264 m^5+22368256 m^6，0，8192 m+33497088 m^2+2230947840平方米3+20261765120平方米4+41731645440平方米5+21016670208平方米^6+1903757312平方米7}
（结束）
（*另一个Mathematica程序*）
m=14；a=1+Sqrt[1-t]；b=1-平方[1-t]；
g[z_]=（E^（b*z）-E^（a*z））/（b*E^（a*z）-a*E^（b*z））；
gser=序列[g[z]，{z，0，m}]；
做[p[n]=n*系数[gser，z，n]//简化，{n，0，m}]；
扁平[表[系数[p[n]，t，j]，{n，0，m}，{j，0，天花板[n/2]-1}]]
表[表[系数[p[n]，t，j]，{n，0，m}，{j，0，上限[n/2]-1}]]
gf:=平方[x-1]Cot[y平方[x-1]]-1；ser:=系列[1/gf，{y，0，16}]；
cy[n]：=n！系数[ser，y，n]；行[n_]：=系数列表[cy[n]，x]；
表[行[n]，{n，1，12}]//展平(*彼得·卢什尼2019年8月6日*）
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黄体脂酮素
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（C++）
#包含<矢量>
#包括<iostream>
使用命名空间标准；
int峰值（常数向量<int>&perm）{
整数pks=0；
for（int i=1；i<perm.size（）-1；i++）
如果（perm[i]>perm[i+1]&&perm[i]>perm[i-1]）pks++；
返回pks；
}
int main（int argc，char*argv[]）{
整数n=1；
如果（argc>1）n=atoi（argv[1]）；
int nmax=n+12；
如果（argc>2）nmax=atoi（argv[2]）；
对于（；n<nmax；n++）{
常数整型kmax=（n+1）/2；
向量<int>Tnk（kmax）；
向量<int>perm（n）；
对于（int i=0；i<n；i++）perm[i]=i+1；
int pks=峰值（perm）；
Tnk[pks]++；
while（next_premotion（perm.begin（），perm.end（））{
pks=峰值（perm）；
Tnk[pks]++；
}
for（int i=0；i<Tnk.size（）；i++）cout<<Tnk[i]<<“，”；
}
}
（PARI）{T（n，k）=如果（n<1，0，my（z=sqrt（1-y+y*O（y^（n\2）））；n！*polcoef（polcoif（z/（z-tanh（x*z）），n，x），k））}/*迈克尔·索莫斯2023年5月24日*/
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交叉参考
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T（2n，n-1）=T（2n+1，n）=A000182号（n+1）（正切数）。（结束）
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关键字
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非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000431号
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| 2*x^3/（（1-2*x）^2*（1-4*x））的展开。
（原M2089 N0824）
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+10
8
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0, 0, 0, 2, 16, 88, 416, 1824, 7680, 31616, 128512, 518656, 2084864, 8361984, 33497088, 134094848, 536608768, 2146926592, 8588754944, 34357248000, 137433710592, 549744803840, 2199000186880, 8796044787712, 35184271425536, 140737278640128, 562949517213696
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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长度为n且正好有一个谷的排列数。此外（对于n>0），还表示拾取n-1立方体中未通过边连接的两个2^（n-1）顶点的方法数-阿伦·梅耶洛维茨2014年4月21日
显然，通过说[n]排列的“谷”，阿伦·梅耶洛维茨间接假设“谷”是置换的内部最小值（即，我们忽略端点处可能的最小值）。由于置换b_1b_2的补码。。。b_n（使用单线表示法，而不是循环表示法）是（n+1-b_1）（n+1-b_2）。。。（n+1-bn），当前序列也是[n]的排列数，正好有一个峰值（即恰好有一个内部最大值）。
Comtet（他的书中第260-261页）将这些峰称为“中间峰”，以区别于“左峰”和“右峰”（即端点处的最大值）。
（结束）
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参考文献
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F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第261页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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S.Billey、K.Burdzy和B.E.Sagan，给定峰值集的排列，arXiv预印本arXiv:1209.0693[math.CO]，2012。
S.Billey、K.Burdzy和B.E.Sagan，给定峰值集的排列，J.国际顺序。16 (2013), #13.6.1.
C.J.Fewster、D.Siemsen等人，按运行结构枚举排列，arXiv预印本arXiv:1403.1723[math.CO]，2014。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近，魁北克蒙特利尔大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
R.G.Rieper和M.Zeleke，无谷序列，arXiv:math/0005180[math.CO]，2000年。
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公式
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对于n>=1，a（n）=（4^n-n2^（n+1））/8。
（结束）
a（n）=2^（n-2）*（2^（n-1）-n），n>=1-丹尼尔·福格斯2015年2月24日
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例子
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我们有一个（3）=2，因为置换123、132、213、231、312和321分别有0、1、0、1，0和0个峰值。此外，它们分别有0、0、1、0、0和0个山谷。
请注意，排列132和231（每一个都有一个峰值）分别是排列312和213的补充（每个都有1个谷）。
此外，a（4）=16，因为
1234->0峰值和0谷（4321的补码）；
1243->1个峰值和0个谷值（补充4312）；
1324->1峰1谷（4231的补充）；
1342->1个峰值和0个谷值（4213的补码）；
1423->1峰1谷（补充4132）；
1432->1个峰和0个谷（4123的补充）；
2134->0个峰和1个谷（3421的补充）；
2143->1峰1谷（补足3412）；
2314->1峰1谷（补足3241）；
2341->1个峰和0个谷（3214的补码）；
2413->1峰1谷（3142的补充）；
2431->1个峰值和0个谷值（3124的补码）；
3124->0峰1谷（补足2431）；
3142->1峰1谷（补充2413）；
3214->0个峰和1个谷（补足2341）；
3241->1峰1谷（补足2314）；
3412->1峰1谷（2143的补充）；
3421->1个峰值和0个谷值（2134的补码）；
4123->0峰1谷（补足1432）；
4132个->1个波峰和1个波谷（1423个的补充）；
4213->0个峰和1个谷（补充1342）；
4231->1个峰值和1个谷值（补充1324）；
4312->0峰1谷（补充1243）；
4321->0峰值和0谷（1234的补码）。
（结束）
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MAPLE公司
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a： =n->如果n=0，则为0（矩阵（[2，0，0]]）。矩阵（3，（i，j）->如果（i=j-1），则1 elif j=1，然后[8，-20，16][i]else 0 fi）^（n-1））[1，3]fi:seq（a（n），n=0..30）#阿洛伊斯·海因茨2008年8月26日
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数学
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nn=30；系数列表[级数[2*x^3/（（1-2*x）^2*（1-4*x）），{x，0，nn}]，x](*T.D.诺伊2012年6月20日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0]cat[（4^n-n*2^（n+1））/8:n in[1..30]]//文森佐·利班迪2015年2月18日
（PARI）concat（向量（3），Vec（2*x^3/（（1-2*x）^2*（1-4*x））+O（x^40））\\米歇尔·马库斯2016年1月31日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A000487号
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| 长度为n且正好有两个谷的排列数。
（原名M5022 N2165）
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6
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16, 272, 2880, 24576, 185856, 1304832, 8728576, 56520704, 357888000, 2230947840, 13754155008, 84134068224, 511780323328, 3100738912256, 18733264797696, 112949304754176, 680032201605120, 4090088616099840, 24582312700149760, 147669797096652800
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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5,1
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参考文献
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F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第261页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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C.J.Fewster、D.Siemsen等人，按运行结构枚举排列，arXiv预印本arXiv:1403.1723[math.CO]，2014。
R.G.Rieper和M.Zeleke，无谷序列，arXiv:math/0005180[math.CO]，2000年。
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公式
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总尺寸：16x^5（1-3x）/（1-2x）^3*（1-4x）^2*（1-6x））-拉尔夫·斯蒂芬2003年9月18日【德西雷·安德烈证明，1895年，第154页，用于圆形排列（见A008303号).彼得·卢什尼，2019年8月7日]
a（n）=（6^n+（2-2n）4^n+（2n^2-4n-1）2^n）/32。-米切尔·哈里斯，2004年4月2日
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数学
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nn=30；Drop[系数列表[系列[16 x ^5（1-3 x）/（（1-2 x）^3*（1-4 x）^2*（1-6 x）），｛x，0，nn｝]，x]，5](*T.D.诺伊2012年6月20日*）
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 7936, 353792, 9061376, 175627264, 2868264960, 41731645440, 559148810240, 7048869314560, 84842998005760, 985278548541440, 11124607890751488, 122829335169859584, 1332091026832097280, 14238886515777208320, 150420440721496473600, 1573853022795658690560
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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8、2
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评论
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长度为n且正好有四个谷的排列数。
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链接
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R.G.Rieper和M.Zeleke，无谷序列，arXiv:math/0005180[math.CO]，2000年。
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公式
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通用编号：256*x^9*（31-788*x+8096*x^2-43132*x^3+126072*x^4-192672*x*^5+120960*x^6）/（（1-2*x）^5*（1-4*x）*^4*（1-6*x）-雷·钱德勒2011年12月6日
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 17, 496, 8576, 115072, 1328336, 13899904, 135927040, 1266360320, 11385790720, 99682672640, 855303553024, 7226263666688, 60329459699712, 499027284295680
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,7
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链接
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公式
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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