搜索： a307824-编号：a307825
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1, 1, 2, 3, 4, 4, 7, 5, 7, 9, 9, 7, 14, 8, 11, 16, 13, 10, 20, 11, 17, 21, 16, 13, 27, 17, 18, 26, 22, 16, 35, 17, 23, 31, 23, 25, 41, 20, 25, 36, 33, 22, 46, 23, 31, 48, 30, 25, 52, 29, 38, 47, 36, 28, 57, 37, 41, 52, 37, 31, 71, 32, 39, 62, 44, 43, 69, 35, 45, 62, 57, 37, 79, 38
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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a（n）是n个具有相等差值的整数分区数。这些分区的Heinz数由下式给出A325328型例如，a（1）=1到a（9）=9分区是：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
11 21 22 32 33 43 44 54
111 31 41 42 52 53 63
1111 11111 51 61 62 72
222 1111111 71 81
321 2222 333
111111 11111111 432
531
111111111
（结束）
我们展示了如何勒罗伊·奎特下面公式部分中的g.f.求和{n>=0}a（n）*x^n=1/（1-x）+求和{k>=2}x^k/（1-x^（k*（k-1）/2））/（1-x^k）可以从格雷姆·麦克雷的g.f.用于A049982号（请参阅下面的链接之一）。
自a（n）-b（n）=A000005美元（n） 对于n>=1，为了完成证明，我们只需要证明K（x）：=1+Sum{n>=1}a（n）*x^n-Sum{n>=1}b（n）*x^n是A000005美元（=除数）。但很容易证明K（x）=1+Sum_{K>=1}x^K/（1-x^K）=1+Sum_{n>=1}A000005美元（n） *x^n（除数函数的Lambert级数）。（结束）
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链接
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Sadek Bouroubi和Nesrine Benyahia Tani，将整数划分为算术级数罗斯托克。数学。科洛克。64 (2009), 11-16.
F.哈维尔·德维加，关于数的抛物线分划，阿尔及利亚法学杂志。，Theor编号。，和应用程序。（2023）第61卷，第2期，135-169。
Augustine O.Munagi和Temba Shonhiwa，关于将数划分为算术级数《整数序列杂志》11（2008），第08.5.4条。
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配方奶粉
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通用系数：1/（1-x）+和{k>=2}x^k/（1-x^（k*（k-1）/2））/（1-x ^k）-勒罗伊·奎特2010年4月8日。[编辑：古斯·怀斯曼2019年5月3日]
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数学
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a[n_]：=如果[n==0，1，Block[{i，c=Floor[（n-1）/2]+DivisorSigma[0，n]}，Do[i=1；当[i*k<n时，如果[Mod[2*（n-i*k），k*（k-1）]==0，c++]；i++]，{k，3，（平方[1+8*n]-1）/2}]；c] ]；a/@Range[0，73]（*Giovanni Resta，2013年2月16日。编辑人古斯·怀斯曼2019年5月7日*）
表[Length[Select[Integer Partitions[n]，SameQ@@Differences[#]&]]，{n，0，30}](*古斯·怀斯曼2019年5月3日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）序列（n）={Vec（1/（1-x）+和（k=2，n，x^k/（1-x^（k*（k-1）/2））/（1-x ^ k）+O（x*x^n））}\\安德鲁·霍罗伊德2019年9月28日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000005美元,A000217号,A007862号,A047966号,A049982号,A049983号,A049986号,A049987号,A129654号,A240026型,A240027型,A307824型,A320466型,A325325型,A325328型.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A325328型
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| 有限算术级数的Heinz数（具有等差的整数分区）。 |
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26
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1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 46, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 64, 65, 67, 69, 71, 73, 74, 77, 79, 81, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 93, 94, 95, 97
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1, 2
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评论
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整数分区的Heinz数（y_1，…，y_k）是素数（y_1）**质数（yk）。
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链接
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例子
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大多数小数字都在序列中。然而，非项序列及其质数指数开始于：
12: {1,1,2}
18: {1,2,2}
20: {1,1,3}
24: {1,1,1,2}
28: {1,1,4}
36: {1,1,2,2}
40: {1,1,1,3}
42: {1,2,4}
44: {1,1,5}
45: {2,2,3}
48: {1,1,1,1,2}
50: {1,3,3}
52: {1,1,6}
54: {1,2,2,2}
56: {1,1,1,4}
60: {1,1,2,3}
63: {2,2,4}
66: {1,2,5}
68: {1,1,7}
70: {1,3,4}
例如，60是（3,2,1,1）的Heinz数，它有差异（-1，-1,0），它们不相等，因此60不属于序列。
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数学
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primeptn[n_]：=如果[n==1，{}，Reverse[Flatten[Cases[FactorInteger[n]，{p_，k_}:>表[PrimePi[p]，{k}]]]；
选择[Range[100]，SameQ@@Differences[primeptn[#]]&]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000961号,A007862号,A049988号,A056239号,A112798号,A130091型,A240026型,A289509型,A307824型,A325327型,A325352型,A325368型,A325405型,A325407型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A129654号
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| 将n表示为一般多边形数P（m，r）=1/2*r*（（m-2）*r-（m-4））=n>1的不同方法的数量，对于m，r>1。 |
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+10
22
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1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 4, 3, 2, 3, 2, 2, 4, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 4, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 2, 2, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 5, 3, 2, 3, 3, 2, 4, 3, 2, 3, 4, 2, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 4, 3, 5, 2, 2, 3, 4, 2, 3, 2, 2, 4, 3, 2, 4, 2, 2, 5, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 2, 3, 2, 2, 5, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,2
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评论
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a（k）中数字n第一次出现的索引k列在A063778号（n） ={2,3,6,15,36225，…}=最小数k>1，使得k可以用n种不同的方式表示为一般的m角数P（m，r）=1/2*r*（（m-2）*r-（m-4））。
如果i<k且aug（y）_k=y_k，则长度为k的整数分区y的增广差aug（y）由aug（y_i）_=y_i-y_{i+1}+1给出，其中n的整数分区的增广差值都相等；例如aug（6,5,5,3,3,3）=（2,1,3,1,3）。等价地，a（n）是n的整数分区数，其差值均等于最后一部分减去1。这些分区的Heinz数由下式给出A307824型例如，a（35）=5个分区是：
(35)
(23,12)
(11,9,7,5,3)
(8,7,6,5,4,3,2)
(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)
（结束）
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链接
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E.Deza和M.Deza，计算数字《世界科学》，2012年；见第45页。
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配方奶粉
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通用公式：x*Sum_{k>=1}x^k/（1-x^（k*（k+1）/2））（猜想）-伊利亚·古特科夫斯基2020年4月9日
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例子
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a（6）=3，因为6=P（2,6）=P（3,3）=P。
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MAPLE公司
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dvs:=numtheory[除数]（2*n）；
结果：=0；
对于i从1到nops（dvs）do
r：=op（i，dvs）；
如果r>1，则
m：=（2*n/r-4+2*r）/（r-1）；
如果是（m，整数），则
结果：=结果+1；
fi；
fi；
od；
返回（结果）；
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数学
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a[n_]：=（dvs=Divisors[2*n]；resul=0；对于[i=1，i<=长度[dvs]，i++，r=dvs[[i]]；如果[r>1，m=（2*n/r-4+2*r）/（r-1）；如果[IntegerQ[m]，resul=resul+1]]；结果）；表[a[n]，{n，2，106}](*Jean-François Alcover公司，2012年9月13日，翻译自R.J.马塔尔的Maple程序*）
表[长度[交集[除数[2n-2]+1，除数[2n]]，{n，2，106}](*乔纳森·桑多2014年5月9日*）
atpms[n_]：=选择[Join@@Table[i*Range[k，1，-1]，{k，n}，{i，0，n}]，总计[#+1]==n&]；
表[长度[atpms[n]]，{n，100}](*古斯·怀斯曼2019年5月3日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（2*n，d，（d>1）&&（2*n/d+2*d-4）%（d-1）==0）\\丹尼尔·苏图2018年12月22日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 3, 0, 1, 5, 1, 0, 6, 0, 2, 7, 2, 0, 8, 2, 2, 9, 3, 0, 13, 0, 2, 11, 3, 4, 15, 0, 3, 13, 6, 0, 18, 0, 4, 20, 4, 0, 19, 2, 8, 18, 5, 0, 23, 6, 6, 20, 5, 0, 30, 0, 5, 25, 6, 7, 29, 0, 6, 24, 15, 0, 32, 0, 6, 34, 7, 4, 34, 0, 14, 31, 7, 0, 39, 9, 7, 31, 9, 0, 49, 5, 9, 33, 8, 10, 42, 0, 12
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,9
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链接
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Sadek Bouroubi和Nesrine Benyahia Tani，将整数划分为算术级数罗斯托克。数学。科洛克。64 (2009), 11-16.
Augustine O.Munagi和Temba Shonhiwa，关于将数划分为算术级数《整数序列杂志》11（2008），第08.5.4条。
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配方奶粉
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例子
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例如，15=1+2+3+4+5=1+5+9=2+5+8=3+5+7=4+5+6。
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=t=0；st=0；对于步骤（s=（n-3）\3，1，-1，st++；对于（c=1，st，m=3；w=m*（s+c）；而（w<n，w=w+s+m*c；m++）；如果（w==n，t++））；t吨\\里克·L·谢泼德2006年8月30日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000217号,A007862号,A014406号,A014407号,A023645美元,A047966号,A049982号,A049983号,A049986号,A049987号,A049992美元,A129654号,240026英镑,A240027型,A307824型,A320466型,A325325型,A325328型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A355534型
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| 行读取的不规则三角形，其中第n行列出了n的反向素数指数的增广差异。 |
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+10
18
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1, 2, 1, 1, 3, 2, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 2, 1, 1, 6, 4, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 7, 1, 2, 1, 8, 3, 1, 1, 3, 2, 5, 1, 9, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 6, 1, 1, 1, 2, 4, 1, 1, 10, 2, 2, 1, 11, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 2, 7, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 12, 8, 1, 5, 2, 3, 1, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,2
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评论
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n的素数指数是一个数m，使得素数（m）除以n。n的多素数指数集是A112798号.
如果i<k且aug（q）_k=q_k，则长度为k的序列q（通常为弱递减）的增广差分aug（q）由aug（g）_i=q_i-q_{i+1}+1给出。例如，我们有aug（6,5,5,3,3,3）=（2,1,3,1,3）。
有人可能会认为n=1行是空的，但添加它只会更改偏移量，而不会更改数据。
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链接
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例子
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三角形开始：
2: 1
3: 2
4: 1 1
5: 3
6: 2 1
7: 4
8: 1 1 1
9: 1 2
10: 3 1
11: 5
12: 2 1 1
13: 6
14: 4 1
15: 2 2
16: 1 1 1 1
例如，825的反向素数指数为（5,3,3,2），其差异增大（3,1,2,2）。
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数学
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素数MS[n_]：=如果[n==1，{}，扁平[Cases[FactorInteger[n]，{p_，k_}:>表[PrimePi[p]，{k}]]]；
aug[y_]：=表[If[i<长度[y]，y[[i]]-y[i+1]]+1，y[i]]，{i，长度[y]}]；
表[aug[Reverse[primeMS[n]]]，{n，30}]
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交叉参考
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此处不重复链接中的交叉引用。
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关键词
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A014406号
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| 具有至少3项且和<=n的正整数的严格递增算术级数的个数。 |
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+10
14
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0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 3, 4, 4, 7, 7, 8, 13, 14, 14, 20, 20, 22, 29, 31, 31, 39, 41, 43, 52, 55, 55, 68, 68, 70, 81, 84, 88, 103, 103, 106, 119, 125, 125, 143, 143, 147, 167, 171, 171, 190, 192, 200, 218, 223, 223, 246, 252, 258, 278, 283, 283, 313, 313, 318, 343, 349, 356, 385, 385
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,9
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链接
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Sadek Bouroubi和Nesrine Benyahia Tani，将整数划分为算术级数罗斯托克。数学。科洛克。64 (2009), 11-16.
Augustine O.Munagi和Temba Shonhiwa，关于将数划分为算术级数《整数序列杂志》11（2008），第08.5.4条。
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配方奶粉
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例子
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a（8）=1，因为我们只有以下至少有3个项且总和<=8:1+2+3的正整数的严格递增算术级数。
a（9）=3，因为我们有以下至少3项和<=9的正整数的严格递增算术级数：1+2+3、1+3+5和2+3+4。
a（10）=4，因为我们有以下至少有3个项且总和<=10的正整数的严格递增算术级数：1+2+3、1+3+5、2+3+4和1+2+3+4。
（结束）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A007862号,A014405号,A047966号,A049982号,A049983号,A049986号,A049987号,A049988号,A049989号,A049990型,A049991号,A129654号,A240026型,A240027型,A307824型,A320466型,A325325型,A325328型.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A325327
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| 三角形分区的倍数的Heinz数，或偏移量为0的有限算术级数。 |
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+10
14
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1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 29, 30, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 65, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 133, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 210, 211, 223, 227, 229, 233, 239
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1, 2
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评论
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整数分区的Heinz数（y_1，…，y_k）是素数（y_1）**质数（yk）。
还有一些b>=0和c>0的形式为乘积_{k=1..b}素数（k*c）的数。
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链接
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例子
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术语序列及其基本指数开始于：
1: {}
2: {1}
3: {2}
5: {3}
6: {1,2}
7: {4}
11: {5}
13: {6}
17: {7}
19: {8}
21: {2,4}
23: {9}
29: {10}
30: {1,2,3}
31: {11}
37: {12}
41: {13}
43: {14}
47: {15}
53: {16}
|
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数学
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primeptn[n_]：=如果[n==1，{}，Reverse[Flatten[Cases[FactorInteger[n]，{p_，k_}:>表[PrimePi[p]，{k}]]]；
选择[Range[100]，SameQ@@Differences[Append[primeptn[#]，0]]&]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000961号,A007294号,A007862号,A049988号,A056239号,A112798号,A130091型,A289509型,A307824型,A325328型,A325367,A325390美元,A325407型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 6, 10, 14, 21, 26, 33, 42, 51, 58, 72, 80, 91, 107, 120, 130, 150, 161, 178, 199, 215, 228, 255, 272, 290, 316, 338, 354, 389, 406, 429, 460, 483, 508, 549, 569, 594, 630, 663, 685, 731, 754, 785, 833, 863, 888, 940, 969, 1007, 1054, 1090, 1118, 1175, 1212, 1253, 1305, 1342, 1373, 1444, 1476, 1515, 1577, 1621
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1, 2
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链接
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Sadek Bouroubi和Nesrine Benyahia Tani，将整数划分为算术级数罗斯托克。数学。科洛克。64 (2009), 11-16.
Augustine O.Munagi和Temba Shonhiwa，关于将数划分为算术级数《整数序列杂志》11（2008），第08.5.4条。
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配方奶粉
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黄体脂酮素
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（PARI）seq（n）={my（w=（平方（8*n+1）-1）\2+1）；Vec（x/（1-x）^2+和（k=2，n，x^k/（1-如果（k<=w，x^（k*（k-1）/2）））/（1-x^k）+O（x*x^n））/\\安德鲁·霍罗伊德，2019年9月28日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A047966号,A049982号,A049983号,A049984号,A049986号,A049987号,A129654号,A240026型,A240027型,A307824型,A320466型,A325325型,A325328型.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A355531型
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| n的相邻反素数索引之间的最小增广差；a（1）=0。 |
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+10
10
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0, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 1, 6, 1, 2, 1, 7, 1, 8, 1, 2, 1, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 1, 11, 1, 2, 1, 2, 1, 12, 1, 2, 1, 13, 1, 14, 1, 1, 1, 15, 1, 1, 1, 2, 1, 16, 1, 3, 1, 2, 1, 17, 1, 18, 1, 1, 1, 3, 1, 19, 1, 2, 1, 20, 1, 21, 1, 1, 1, 2, 1, 22, 1, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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n的素数指数是一个数m，使得素数（m）除以n。n的多素数指数集是A112798号.
如果i<k且aug（q）_k=q_k，则长度为k的序列q（通常为弱递减）的增广差分aug（q）由aug（g）_i=q_i-q_{i+1}+1给出。例如，我们有aug（6,5,5,3,3,3）=（2,1,3,1,3）。
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链接
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例子
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825的反向素数指数为（5,3,3,2），带有扩大的差异（3,1,2,2），因此a（825）=1。
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数学
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素数MS[n_]：=如果[n==1，{}，扁平[Cases[FactorInteger[n]，{p_，k_}:>表[PrimePi[p]，{k}]]]；
aug[y_]：=表[If[i<长度[y]，y[[i]]-y[i+1]]+1，y[i]]，{i，长度[y]}]；
表[If[n==1，0，Min@@aug[Reverse[primeMS[n]]]，{n，100}]
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交叉参考
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此处不重复链接中的交叉引用。
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 4, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 9, 8, 9, 9, 11, 10, 13, 11, 12, 12, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 18, 16, 17, 17, 19, 18, 20, 20, 22, 21, 21, 23, 23, 22, 24, 23, 24, 24, 27, 25, 26, 27, 27, 27, 28, 29, 31, 29, 30, 31, 32, 33, 35, 32, 35, 33, 35, 34, 35
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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还有n的第一商为常数（相等）的反向严格分区数。
序列的第一个商被定义为序列是一个递增的除数链，因此例如（6,3,1）的商是（1/2,1/3）。
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链接
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例子
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a（1）=1到a（15）=9个分区（a.F=10..15）：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
21 31 32 42 43 53 54 64 65 75 76 86 87
41 51 52 62 63 73 74 84 85 95 96
61 71 72 82 83 93 94 A4 A5
421 81 91 92 A2 A3 B3 B4
A1 B1 B2 C2 C3
C1 D1 D2
931 842 E1
8421
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数学
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表[Length[Select[Integer Partitions[n]，UnsameQ@@#&SameQ@@Divide@@@Partition[#，2，1]&]]，{n，0，30}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A003242号,A005117号,A049988号,A057567号,A067824号,A253249号,A307824型,A318991型,A318992型,A325328型,A342086型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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