搜索： a273622-编号：a273622
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2, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 2, 0, 4, 0, 1, 0, 5, 0, 5, 0, 1, 2, 0, 9, 0, 6, 0, 1, 0, 7, 0, 14, 0, 7, 0, 1, 2, 0, 16, 0, 20, 0, 8, 0, 1, 0, 9, 0, 30, 0, 27, 0, 9, 0, 1, 2, 0, 25, 0, 50, 0, 35, 0, 10, 0, 1, 0, 11, 0, 55, 0, 77, 0, 44, 0, 11, 0, 1, 2, 0, 36, 0, 105, 0, 112, 0, 54, 0, 12, 0, 1, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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链接
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公式
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Lucas多项式L（n，x）满足递归L（n+1，x）=x*L（n，x）+L（n-1，x），其中L（0，x）=2并且L（1，x）=x。
O.g.f.：和{n>=0}L（n，x）*t^n=（2-x*t）/（1-t^2-x*t）=2+x*t+（x^2+2）*t*2+（3*x+x^3）*t|3+。。。。
L（n，x）=跟踪（[x，1；1，0]^n）。
exp（Sum_{n>=1}L（n，x）*t^n/n）=Sum_}n>=0}F（n+1，x）*t^n，其中F（n，x）表示第n个斐波那契多项式。（见约翰逊的附录A3）。
exp（和{n>=1}L（n，x）*L（2*n，x。
exp（总和n>=1}L（3*n，x）/L（n，x，*t^n/n）=总和n>=0}L（2*n+1，x）*t^n。
读作三角形T（n，k），n>=0，n>=k>=0、T（n、k）=（二项式（（n+k）/2，k）+二项式，（n+k-2）/2，k））*（1+（-1）^（n-k））/2。
T（n，k）是长度为n的二进制字符串的数量，正好有k对连续的0，没有一对连续的1，其中第一位和最后一位被认为是连续的。（完）
L（n，x）=2*（i）^n*T（n，-i*x/2），其中i=sqrt（-1），T（n，x）是第一类第n个切比雪夫多项式。
d/dx（L（n，x））=n*F（n，x），其中F（n、x）表示第n个斐波那契多项式。
设P_n（x，y）=（L（n，x）-L（n，y））/（x-y）。那么{P_n（x，y）：n>=1}是环Z[x，y]中多项式的四阶线性可除序列：如果m在Z中除n，那么P_m。
L（2*n，x）^2-L（2*n-1，x）*L（2*n+1，x）=x^2+4对于n>=1。
和{n>=1}L（2*n，x）/（L（2*1，x）*L（2xn+1，x））=1/x^2和
求和{n>=1}（-1）^（n+1）/（L（2*n，x）+x^2/L（2xn，x
L（n，x）=和{k=0..floor（n/2）}（n/（n-k））*二项式（n-k，k）*x^（n-2*k），对于n>=1。
对于奇数m，L（n，L（m，x））=L（n*m，x。
对于积分x，序列{u（n）}:={L（n，x）}满足高斯同余：u（m*p^r）==u（m*p^（r-1））（mod p^r，对于所有正整数m和r以及所有素数p。
设p是奇素数，设0≤k≤p-1。设alpha_k=p-adic极限{n->oo}L（p^n，k）。那么alpha_k是一个定义良好的p-adic积分，p次多项式L（p，x）-x分解为L（p、x）-x=Product_{k=0..p-1}（x-alpha_k）。例如，L（5，x）-x=x^5+5*x^3+4*x=x*（x-A269591型)*（x）-A210850型)*（x）-A210851型)*（x）-A269592型)在5-adic整数环中。（完）
上一节第一行中给出的L（n，x）的公式，其中L（0，x）=2，被重写为L（n、x）=Sum_{k=0..floor（n/2）}A034807号（n，k）*x^（n-2*k）。参见Alexander Elkins的公式A034807号. -沃尔夫迪特·朗，2023年2月10日
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例子
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2，x，2+x^2，3*x+x^3，2+4*x^2+x^4，5*x+5*x^3+x^5。。。给出三角形
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 2
1: 0 1
2: 2 0 1
3: 0 3 0 1
4: 2 0 4 0 1
5: 0 5 0 5 0 1
6: 2 0 9 0 6 0 1
7: 0 7 0 14 0 7 0 1
8: 2 0 16 0 20 0 8 0 1
9: 0 9 0 30 0 27 0 9 0 1
10: 2 0 25 0 50 0 35 0 10 0 1
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
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MAPLE公司
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卢卡斯：=进程（n，x）
选项记忆；
如果n=0，则
2;
elif n=1，则
x；
其他的
x*进程名（n-1，x）+进程名（n-2，x）；
结束条件：；
结束进程：
coeftayl（Lucas（n，x），x=0，k）；
结束进程：
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数学
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行[n_]：=系数列表[LucasL[n，x]，x]；
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A215465型
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| a（n）=（卢卡斯（4n）-Lucas（2n））/4。 |
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0, 1, 10, 76, 540, 3751, 25840, 177451, 1217160, 8344876, 57202750, 392089501, 2687463360, 18420257701, 126254611990, 865362736876, 5931286406640, 40653646980451, 278644255208560, 1909856172864751, 13090349042248500
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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这是一个可除序列，也就是说，如果n|m，那么a（n）|a（m）。然而，它不是一个强可分性序列。这是一个具有o.g.f.x*（1-x^2）/（（1-k*x+x^2，）*（1-（k^2-2）*x+x2））的4阶线性可除序列的1参数族的情形k=3。与进行比较A000290型（情况k=2）和A085695号（情况k=-3）-彼得·巴拉2014年1月17日
一般来说，对于r=s（mod 2）的不同整数r和s，序列Lucas（r*n）-Lucas（s*n）是一个四阶可除序列。请参见A273622型对于r=3，s=1-彼得·巴拉2016年5月27日
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链接
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E.L.Roettger和H.C.Williams，四阶奇可除序列中素数的出现，J.国际顺序。，第24卷（2021年），第21.7.5条。
休·威廉姆斯和R.K.盖伊，一些四阶线性可除序列，国际数论杂志第7卷（5）（2011）1255-1277
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公式
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G.f.:-x*（x-1）*（1+x）/（（x^2-7*x+1）*（x^2-3*x1））。
a（n）=10*a（n-1）-23*a（n-2）+10*a（n-3）-a（n-4）-G.C.格鲁贝尔2016年6月2日
a（n）=2^（-2-n）*（（7-3*sqrt（5））^n-（3-sqert（5）-科林·巴克2016年6月2日
对于Z中的所有n，a（n）=a（-n）-迈克尔·索莫斯2022年12月29日
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例子
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a（3）=76，因为第12（4*3）个卢卡斯数是22，第6（2*3）个子卢卡斯数是18，并且（322-18）/4=304/4=76。
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MAPLE公司
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结束进程：
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数学
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表[（LucasL[4n]-LucasL[2n]）/4，{n，0，19}](*阿隆索·德尔·阿特2012年8月11日*）
系数列表[级数[-x*（x-1）*（1+x）/（（x^2-7*x+1）*（x^2-3*x+1，）），{x，0，40}]，x](*文森佐·利班迪2012年12月23日*）
线性递归[{10，-23，10，-1}，{0，1，10，76}，50](*G.C.格鲁贝尔2016年6月2日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（卢卡斯（4*n）-Lucas（2*n））/4:n in[0.20]]//文森佐·利班迪2012年12月23日
（PARI）{a（n）=my（w=quadgen（5）^（2*n））；（2*real（w^2-w）+imag（w^2-w））/4}/*迈克尔·索莫斯2022年12月29日*/
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A273623型
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| a（n）=斐波那契（3*n）-（2+（-1）^n）*斐波那奇（n）。 |
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+10
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1, 5, 32, 135, 605, 2560, 10933, 46305, 196384, 831875, 3524489, 14929920, 63245753, 267913165, 1134902560, 4807524015, 20365009477, 86267563520, 365435291981, 1548008735625, 6557470308896, 27777889982155, 117669030432337, 498454011740160, 2111485077903025
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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这是一个可除序列：如果n除以m，则a（n）除以a（m）。序列满足6阶线性递归。一般来说，对于整数r和s，序列斐波那契（r*n）-2*Fibonacci（（r-2*s）*n）+斐波那奇（（r-4*s）*n）是一个六阶可除序列。这是r=3，s=1的情况。请参见A127595号（情况r=4，s=1）。
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链接
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公式
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a（n）=斐波那契（3*n）-2*Fibonacci（n）+斐波那奇（-n）。
a（2*n）=5*Fibonacci（2*n）^3；
a（2n+1）=斐波那契（2*n+1）*（5*Fibonacci（2*n+1）^2-4）=斐波那契（2*n+1）*Lucas（2*n+1）^2。
O.g.f.x*（x^4-x^3+8*x^2+x+1）/（（1+x-x^2）*（1-x-x^1）*（1-4*x-x^ 2））。
a（n）=4*a（n-1）+4*a（n-2）-12*a（n3）-4*a（4-4）+4*a（n-5）+a（n-6）-G.C.格鲁贝尔2016年6月2日
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MAPLE公司
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使用（组合）：
seq（斐波那契（3*n）-（2+（-1）^n）*fibonacci（n），n=1..25）；
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数学
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线性递归[{4，4，-12，-4，4，1}，{1，5，32，135，605，2560}，100](*G.C.格鲁贝尔2016年6月2日*）
表[Fibonacci[3 n]-（2+（-1）^n）Fibonaci[n]，{n，1，30}](*文森佐·利班迪2016年6月2日*）
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黄体脂酮素
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（Magma）[斐波那契（3*n）-（2+（-1）^n）*斐波那契（n）：[1.25]]中的n//文森佐·利班迪2016年6月2日
（PARI）a（n）=斐波那契（3*n）-（2+（-1）^n）*斐波那奇（n）\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年6月8日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A273624型
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| a（n）=（1/11）*（斐波那契（4*n）+斐波那奇（6*n））。 |
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+10
4
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1, 15, 248, 4305, 76255, 1361520, 24384737, 437245935, 7843863784, 140737371825, 2525326494911, 45314438127840, 813129752279233, 14590988151618255, 261824431125415640, 4698247224097107345, 84306614992412658847, 1512820749915870503760, 27146466385039244529569
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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这是一个可除序列：如果n除以m，则a（n）除以a（m）。更一般地说，如果r是一个偶数，那么序列斐波那契（r*n）+斐波那奇（（r+2）*n）是一个可除序列。请参见A215466号对于r=2的情况。
此外，序列s（n）：=斐波那契（4*n）+斐波那奇（6*n）＋…+当k是不是3的倍数的正整数时，斐波那契（（2*k+2）*n）是一个可除序列。
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链接
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公式
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a（n）=-a（-n）。
a（n）=25*a（n-1）-128*a（n-2）+25*a（n3）-a（n-4）。
O.g.f.（x^2-10*x+1）/（（x^2-7*x+1）*（x^2-18*x+1。
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MAPLE公司
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使用（组合）：
seq（1/11*（斐波那契（4n）+斐波那奇（6n）），n=1..20）；
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数学
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线性递归[{25，-128，25，-1}，{1，15，248，4305}，100](*G.C.格鲁贝尔2016年6月2日*）
表[1/11（斐波那契[4 n]+斐波那奇[6 n]），{n，1，30}](*文森佐·利班迪2016年6月2日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[1/11*（斐波那契（4*n）+斐波那奇（6*n））：n in[1..25]]//文森佐·利班迪2016年6月2日
（PARI）a（n）=（斐波那契（4*n）+斐波那奇（6*n））/11\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年6月8日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A273625型
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| a（n）=（1/12）*（斐波那契（2*n）+斐波那契（4*n）+斐波那契（6*n））。 |
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+10
4
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1, 14, 228, 3948, 69905, 1248072, 22352707, 400808856, 7190208684, 129009258070, 2314882621811, 41538234954384, 745368939599413, 13375072472343218, 240005728531700340, 4306726622089196592, 77281063743045412517, 1386752354089549205976, 24884260852952644076119
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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这是一个可除序列，也就是说，如果n除以m，那么a（n）除以a（m）。序列满足六阶线性递归。更一般地说，序列s（n）：=斐波那契（2*n）+斐波那奇（4*n）＋…+斐波那契（2*k*n）是k=1,2,3，…的可除序列，。。。。请参见A215466号对于k=2的情况。囊性纤维变性。A273623型,A273624型.
设U（n；P，Q），其中P和Q是整数参数，表示第一类Lucas序列。那么，除去P=-1和P=0的情况，序列（U（n；P，1）+U（2*n；P、1）+U（3*n；P，1））/（P^2+P）是一个具有o.g.f.x*（1-2*（P^2-2）*x+（3*P^3-3*P*2-8*P+10）*x^2-2*（P^2-2）*x*x^3+x^4）/（1-P*x+x^2）*（1-（P^2）-2）*x+x^2）*（1-P*（P^2-3）*x+x^2））。这是P=3的情况。
更一般地说，序列U（n；P，1）+U（2*n；P、1）+…+U（k*n；P，1）是一个2*k阶的线性可除序列，A215466号P=3，k=2。（完）
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链接
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公式
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a（n）=-a（-n）。
外径：x*（x^4-14*x^3+40*x^2-14*x+1）/。
a（n）=28*a（n-1）-204*a（n-2）+434*a（n3）-204*a（n-4）+28*a（-n5）-a（n-6）-G.C.格鲁贝尔2016年6月2日
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MAPLE公司
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使用（组合）：
seq（1/12*（斐波那契（2*n）+斐波那奇（4*n）+fibonacci（6*n）），n=1..20）；
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数学
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线性递归[{28，-204，434，-204、28，-1}，{1，14，228，3948，69905，1248072}，100](*G.C.格鲁贝尔2016年6月2日*）
表[1/12（斐波那契[2]+斐波那奇[4 n]+斐波纳契[6 n]），{n，1，30}](*文森佐·利班迪2016年6月2日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[1/12*（斐波那契（2*n）+斐波那奇（4*n）+斐波那齐（6*n））：n in[1..25]]//文森佐·利班迪2016年6月2日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 3, 16, 63, 275, 1152, 4901, 20727, 87856, 372075, 1576279, 6676992, 28284569, 119814747, 507544400, 2149990983, 9107510539, 38580029568, 163427634589, 692290558575, 2932589884016, 12422650070163, 52623190204271, 222915410823168, 944284833600625, 4000054745057907, 16944503814103696, 71778070001033487
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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设F（n）=斐波那契（n），则abs（det（[F（n，F（n+k）；F（n+2k），F（n+3k）]）=a（k），与n无关-R.M.Welukar先生2014年8月26日
这是约翰逊身份的特例（数学世界链接中的关系32）。
F（a）*F（b）-F（c）*F（d）=（-1）^r*（F（a-r）*F。
这里a=n，b=n+3*k，c=n+k，d=n+2*k，r=c，所以
（-1）^r*（F（a-r）*F（b-r）-F（c-r）*F（d-r））=
（-1）^c*（F（a-c）*F（b-c）-F（c-c）*F（d-c））=
（-1）^c*（F（a-c）*F（b-c）-0）=
（-1）^c*（F（-k）*F（-2*k）），取绝对值即为a（k）。
（完）
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链接
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Eric Weisstein，斐波那契数（数学世界）。
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公式
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总尺寸：（x+x ^3）/（1-3 x-6 x ^2+3 x ^3+x ^4）。
a（n+4）=3*a（n+3）+6*a（n+2）-3*a（n+1）-a（n）。
（完）
通用格式：x*（1+x^2）/（1+x-x^2，*（1-4*x-x2））-约尔格·阿恩特2014年8月26日
a（n）=（1/5）*（卢卡斯（3*n）-（-1）^n*卢卡斯。一般来说，对于r=s（mod 2），序列Lucas（r*n）-Lucas（s*n）是可除序列。囊性纤维变性。A273622型. -彼得·巴拉2016年5月27日
a（n）=（-（1/2*（-1-sqrt（5）））^n+（2-sqrt-科林·巴克2016年6月3日
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MAPLE公司
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seq（（斐波那契（2*n）*fibonacci（n）），n=0..25）#零入侵拉霍斯2006年6月24日
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数学
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表[Fibonacci[n]斐波那契[2n]，{n，0，40}](*哈维·P·戴尔2011年3月13日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[斐波那契（n）*Fibonacci（2*n）：n in[0.30]]//文森佐·利班迪2011年4月18日
（PARI）连接（[0]，Vec（x*（1+x^2）/（（1+x-x^2\\约尔格·阿恩特，2014年8月26日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 3, 12, 49, 205, 864, 3653, 15463, 65484, 277365, 1174889, 4976832, 21082073, 89304891, 378301260, 1602509321, 6788337557, 28755857952, 121811766781, 516002920895, 2185823443596, 9259296684333, 39223010163217, 166151337308544, 703828359351025
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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这是一个奇数可除序列，也就是说，如果n除以m，n/m是奇数，那么a（n）除以a（m）。更一般地说，如果r和s是正整数，使得r=s（mod 2），那么序列Fibonacci（r*n）+Fibonaci（s*n）是奇数可除序列。在特殊情况下，r是偶数，s=r+2，那么斐波那契（r*n）+斐波那奇（s*n）实际上是一个可除序列。参见示例A215466号和A273624型. -彼得·巴拉2016年5月29日
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链接
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公式
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通用格式：x*（1-2*x-x^2）/（（x^2+4*x-1）*（x^2+x-1））-R.J.马塔尔2015年10月26日
当n>3时，a（n）=5*a（n-1）-2*a（n2）-5*a（n-3）-a（n-4）-韦斯利·伊万·赫特2016年6月1日
a（n）=（（-（1/2*（1-sqrt（5）））^n-（2-sqrt-科林·巴克2016年6月2日
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MAPLE公司
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数学
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表[（斐波那契[3n]+斐波那奇[n]）/3，{n，0，30}](*韦斯利·伊万·赫特2016年6月1日*）
线性递归[{5，-2，-5，-1}，{0，1，3，12}，30](*哈维·P·戴尔2022年9月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）连接（0，Vec（x*（1-2*x-x^2）/（（x^2+4*x-1）*（x^2+x-1））+O（x^30））\\科林·巴克2016年6月2日
（Magma）[（斐波那契（3*n）+斐波那契（n））/3:n在[0.30]]中//文森佐·利班迪2016年6月4日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A273626型
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| 四阶可除序列：A（n）=（1/14）*（Pell（4*n）+Pell（2*n））。 |
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+10
2
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1, 30, 995, 33660, 1142629, 38810970, 1318402631, 44786716920, 1521429030985, 51683794848150, 1755727563817259, 59643053188493940, 2026108079758297261, 68828031652259981010, 2338126968060165944975, 79427488882178225107440, 2698196495024745460575889
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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这是一个可除数列，即当n除以m时，a（n）除以a（m）。数列满足4阶线性递归。
A000129号（n） =Pell（n）是Lucas序列U_n（2，-1）。一般来说，如果U（n）=U_n（P，Q）是具有整数参数P和Q的Lucas序列，那么当Q=1或Q=-1时，U（4*n）+U（2*n）和U（4*n）-2*U（2*n）都是四阶可除序列。囊性纤维变性。A127595号,A215466号和A273627型.
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链接
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公式
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a（n）=平方（2）/56*（（平方（2。
a（n）=-a（-n）。
当n>4时，a（n）=40*a（n-1）-206*a（n-2）+40*a（n-3）-a（n-4）。
外径：x*（x^2-10*x+1）/（（x^2-6*x+1，x^2-34*x+1。）。
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MAPLE公司
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结束进程：
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数学
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线性递归[{40，-206，40，-1}，{1，30，995，33660}，100](*G.C.格鲁贝尔2016年6月2日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）I:=[1,3099533660]；[n le 4选择I[n]else 40*Self（n-1）-206*Self2（n-2）+40*Self3（n-3）-Self（n-4）：[1..30]]中的n//文森佐·利班迪2016年6月4日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A273627型
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| 可除序列：（1/8）*（Pell（4*n）-2*Pell（2*n））。 |
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+10
2
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1, 48, 1715, 58752, 1998709, 67914000, 2307174311, 78376578048, 2662499775145, 90446634986352, 3072523201721819, 104375342876112000, 3545689138389464221, 120449055384533383248, 4091722194064948458575, 138998105543576763850752, 4721843866291934117429329
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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Pell数的序列A000129号是一个众所周知的2阶可除序列，即该序列满足2阶线性递归，每当n除以m时，Pell（n）就除以Pell（m）。线性组合Pell（4*n）-2*Pell（2*n）和Pell（4*n）+Pell（2*n）也是4阶可除数列。囊性纤维变性。A127595号和A273626型.
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链接
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公式
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a（n）=-a（-n）。
当n>4时，a（n）=40*a（n-1）-206*a（n-2）+40*a（n-3）-a（n-4）。
外径：x*（x^2+8*x+1）/。
a（n）=（（17+12*sqrt（2））^（1-n）*（-1+2*（3+2*squart（2-科林·巴克2016年6月2日
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MAPLE公司
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结束进程：
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数学
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系数列表[级数[（x^2+8*x+1）/（（x^2-6*x+1(*韦斯利·伊万·赫特2016年6月1日*）
线性递归[{40，-206，40，-1}，{1，48，1715，58752}，20](*文森佐·利班迪2016年6月2日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）I：=[1，48，1715，58752]；[n le 4选择I[n]else 40*Self（n-1）-206*Self2（n-2）+40*Self3（n-3）-Self（n-4）：[1..30]]中的n//文森佐·利班迪2016年6月2日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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