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Farey树分数的分母（即[0,1]范围内的Stern-Brocot子树）。
（原名M0437）
+10
95
1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 4, 5, 7, 8, 7, 7, 8, 7, 5, 6, 9, 11, 10, 11, 13, 12, 9, 9, 12, 13, 11, 10, 11, 9, 6, 7, 11, 14, 13, 15, 18, 17, 13, 14, 19, 21, 18, 17, 19, 16, 11, 11, 16, 19, 17, 18, 21, 19, 14, 13, 17, 18, 15, 13, 14, 11, 7, 8, 13, 17, 16, 19, 23, 22, 17, 19, 26, 29, 25, 24
评论
显然（除了第一项外），帕斯卡三角形在45度斜率的交替对角线中的奇数条目数哈维尔·托雷斯（adaycalledzero（AT）hotmail.com），2009年7月26日
如果将术语（n>1）写入数组：
2,
3, 3,
4, 5, 5, 4,
5, 7, 8, 7, 7, 8, 7, 5,
6, 9, 11, 10, 11, 13, 12, 9, 9, 12, 13, 11, 10, 11, 9, 6,
7, 11, 14, 13, 15, 18, 17, 13, 14, 19, 21, 18, 17, 19, 16, 11, 11, 16, 19,17,18,
那么第k行的和是2*3^（k-2），每列是一个算术级数。算术级数的差异给出了序列本身（a（2^（m+1）+1+k）-a（2^m+1+k）=a（k+1），m>=1，1<=k<=2^m），因为a（n）=A002487号（2*n-1）和A002487号具有这些属性。A071585号也具有这些属性。每行是一个回文：a（2^（m+1）+1-k）=a（2m+k），m>=0，1<=k<=2^m。
如果术语（n>0）是这样写的：
1,
2, 3,
3, 4, 5, 5,
4, 5, 7, 8, 7, 7, 8, 7,
5, 6, 9, 11, 10, 11, 13, 12, 9, 9, 12, 13, 11, 10, 11, 9,
6, 7, 11, 14, 13, 15, 18, 17, 13, 14, 19, 21, 18, 17, 19, 16, 11, 11, 16, 19,
每列是一个算术级数，这些步骤也给出了序列本身（a（2^（m+1）+k）-a（2^m+k）=a（k），m>=0，0<=k<2^m）。此外，通过删除每列的第一项：
a（2^（m+1）+k）=A049448号（2^m+k+1），m>=0，0<=k<2^m。
（结束）
对于所有m>=0，max_{k=1..2^m}a（2^m+k）=A000045号（m+3）（斐波那契数列）-尤拉门迪，2016年6月5日
对于所有n>=2，最大值（m:a（2^m+k）=n，1<=k<=2^m）=n-2-尤拉门迪，2016年6月5日
a（2^m+1）=m+2，m>=0；a（2^m+2）=2m+1，m>=1；最小{m>=0，k=1..2^m}a（2^m+k）=m+2；最小{m>=2，k=2..2^m-1}a（2^m+k）=2m+1-尤拉门迪2016年6月6日
a（2^（m+2）+2^（m+1）-k）-a（2^（m+1）+2^m-k）=2*a（k+1），m>=0，0<=k<=2^m-尤拉门迪2016年6月9日
如果省略首字母1，则这是广义Pascal三角形P_2第n行中非零项的数目，请参见A282714型【Leroy等人，2017年】-N.J.A.斯隆2017年3月2日
显然，这一序列是由约翰·古斯塔夫·赫尔墨斯于1894年引入的。他的论文给出了这个序列和所谓的“高斯括号”（“高斯的陈-克拉姆姆”）之间的紧密联系。有关高斯括号的独立讨论，请参阅相关的MathWorld文章和Herzberger（1943）的文章。Srinivasan（1958）对该序列与高斯括号之间的关系给出了另一种更现代的解释。（附带说明，J.G.Hermes是完成或构造了65537条边的正多边形的数学家。）-Petros Hadjicostas公司2019年9月18日
参考文献
P.Bachmann，Niedere Zahlentheorie（1902年，1910年），再版切尔西，纽约，1968年，第2卷，第61页。
L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第一卷，第158页。
J.C.Lagarias，《数论与动力系统》，S.A.Burr主编，第35-72页，《数理的不合理有效性》，Proc。交响乐。申请。数学。，46 (1992). 阿默尔。数学。Soc公司。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
M.Herzberger，高斯光学和高斯括号《美国光学学会杂志》33（12）（1943），651-655。[本文对Hermes（1894）解释的与该序列相关的高斯括号进行了明确描述。]
詹妮弗·兰辛，关于Stern序列和相关序列2014年，伊利诺伊大学香槟分校数学博士论文。[本博士论文讨论了赫尔墨斯论文所依据的所谓斯特恩序列（根据斯里尼瓦桑（1958））。]
朱利安·勒罗伊（Julien Leroy）、米歇尔·里戈（Michel Rigo）和马诺·斯蒂普兰蒂（Manon Stipulanti），广义Pascal三角形行中非零系数的计数，《离散数学》340（2017），862-881。
朱利安·勒罗伊（Julien Leroy）、米歇尔·里戈（Michel Rigo）和马诺·斯蒂普兰蒂（Manon Stipulanti），计算base-b扩展中的子字出现次数，Integers（2018）18A，文章编号A13。
M.S.Srinivasan，正有理数的计数，程序。印度科学院。科学。第节。A 47（1958），12-24。
哈维尔·托雷斯·苏亚雷斯，数论-几何联系（第2部分）（2009年8月26日，Pacha Nambi发送的YouTube视频中提到了这个序列链接）。
埃里克·魏斯坦的数学世界，高斯括号; 它们与这个序列有关。
配方奶粉
递归：a（0）到a（8）是1、1、2、3、3、4、5、5、4；此后a（n）=a（n-2^p）+a（2^（p+1）-n+1），其中2^p<n<=2^（p+1）。【J.Hermes，《数学年鉴》，1894年；Dickson引用，第1卷，第158页】-N.J.A.斯隆，2019年3月24日
a（0）=1；a（n）=和{k=0..n-1}C（n-1+k，n-1-k）模2，n>0-贝诺伊特·克洛伊特2003年6月20日
a（n+1）=和{k=0..n}二项式（2*n-k，k）模2；a（n）=0^n+Sum_{k=0..n-1}二项式（2（n-1）-k，k）mod 2-保罗·巴里2004年12月11日
a（n）=和{k=0..n}C（n+k，2*k）mod 2-保罗·巴里2006年6月12日
对于m>=0，a（2^m）=m+1，a（2 ^m+1）=m+2-尤拉门迪2015年1月1日
a（2^m+2^r+k）=a（2^r+k）（m-r+1）-a（k），m>=2，0<=r<=m-1，0<=k<2^r。例如：a（73）=a（2^6+2^3+1）=a（2^3+1）*（6-3+1）-a（1）=5*4-1=19-尤拉门迪2016年7月19日
发件人安蒂·卡图恩2017年3月21日和2017年4月12日：（开始）
以下分解适用于所有n>0：
对于m>=0，m>=m，0<=k<2^m，
a（2^（M+2）-（2^M+k））=a（2*（M+1）+（2^M+k）+1）=
a（2^m+k+1）*（m-m）+a（2#（m+1）+2^m+k+1）。（结束）
通用公式：1+x*（1+x）*产品{k>=0}（1+x^（2^k）+x^（2^（k+1）））-伊利亚·古特科夫斯基，2019年7月19日
例子
[ 0/1; 1/1; ] 1/2; 1/3, 2/3; 1/4, 2/5, 3/5, 3/4; 1/5, 2/7, 3/8, 3/7, 4/7, 5/8, 5/7, 4/5; ...
数学
a[0]＝0；a[1]=1；
压扁[{1，表[a[2*n]=a[n]；a[2*n+1]=a[n]+a[n+1]，{n，0，50}]}](*霍斯特·H·曼宁格2021年6月9日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，n---；和（k=0，n，二项式（n+k，n-k）%2））}；
（PARI）{a（n）=my（m）；如果（n<2，n>=0，m=2^长度（二进制（n-1））；a（n-m/2）+a（m-n+1））}/*迈克尔·索莫斯2005年5月30日*/
（鼠尾草）
@缓存函数
定义a（n）：
如果n>1，则返回a（（odd_part（n-1）+1）/2）+a
（鼠尾草）
如果n==0：返回1
M=[1，1]
对于（n-1）.bits（）中的b：
M[b]=M[0]+M[1]
返回M[1]
（右）
maxrow<-6#（可选）
a<-c（1，2）
for（m in 0:maxrow）for（k in 1:2^m）{
a[2^（m+1）+k]<-a[2^m+k]+a[k]
a[2^（m+1）-k+1]<-a[2^m+k]
}
一
（右）
#给定n，直接计算a（n）
#通过考虑n-1的二进制表示
#aa<-函数（n）{
b<-作为数字（intToBits（n））
l<-总和（b）
m<-其中（b==1）-1
d<-1
如果（l>1）对于（j in 1：（l-1））d[j]<-m[j+1]-m[j]+1
如果（3中的j：（l+1））f[j]<-d[j-2]*f[j-1]-f[j-2]的（l>1）
返回（f[l+1）
}
#a（0）=1，a（1）=1，a（n）=aa（n-1）n>1
#
#示例
n<-73
aa（n-1）
#
（Python）
从症状导入二项式
定义a（n）：
如果n<1，则返回1（二项式（n+k-1，2*k）%2，k在范围（n+1）内）
（Python）
从functools导入reduce
定义A007306号（n） ：返回和（reduce（lambda x，y:（x[0]，sum（x））if int（y）else（和（x），x[1]），bin（（n<<1）-1）[-1:2:-1]，（1，0））如果n else 1#柴华武2023年5月18日
（岩浆）[1]cat[&+[二项式（n+k，2*k）mod 2:k in[0..n]]：n in[0..80]]//文森佐·利班迪2019年6月10日
交叉参考
囊性纤维变性。A001222号,A002487号,A006842号,A006843号,A047679号,A054424号,A065674美元-A065675号,A065810号,A260443型,A277324型,A277328号,A283986型,2008年2月,A283988型,2008年,A284265型,A284266号,A284267号,184268元,A284565型,A284566号,A285106型,A285107型,A285108型,A287731型,A287732型.
由无限二进制“十进制”分数树中第N个节点的旋转（向右）引起的每行N的排列表。
+10
21
7, 25, 1, 31, 22, 1, 1, 3, 2, 1, 223, 10, 247, 2, 1, 15, 94, 4, 3, 2815, 1, 127, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 5, 7, 28, 5, 4, 115, 2, 1, 385, 20479, 127, 6, 94, 4, 3, 2, 1, 13, 175, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 1792, 46, 9, 280, 7, 234881023, 5, 4, 3, 322, 1, 61, 382, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1
评论
考虑下面的无限二叉树，其中节点从顶部以从左到右的宽度第一的方式编号，如下所示A065625型然后分配以下有理值：
--------------------------------------(0.1)---------------------------------------
----------------(0.01)-------------------------------------(0.11)-----------------
-----(0.001)--------------(0.011)---------------(0.101)--------------(0.111)------
(0.0001)-(0.0011)----(0.0101)-(0.0111)-----(0.1001)-(0.1011)-----(0.1101)-(0.1111)
即，素数2的准循环群Z+（（2a+1）/（2^b））的元素（1/2、1/4、3/4、1/8、3/8、5/8、7/8、1/16、3/16…）以二进制“十进制”分数形式列在这里。将此树进行与A065625型诱导范围为]0,1[的有理数的置换（即也包括具有无限二进制展开式的有理数列，对应于上述树中的无限路径），然后我们通过取Stern-Brocot树]0,1[side处映射值的位置将其转换为N的置换(A007305号/A007306号). 参见示例A065670美元.
MAPLE公司
[seq（RotateBinFracRightTable（j），j=0..119）]；RotateBinFracRightTable:=n->RotateBinFracNodeRight（1+（n-（（trin（n）*（trin；
RotateBinFracNodeRight:=（t，n）->frac2position_in_0_1_SB_tree（RotatebinFracNode Right_x（t，SternBrocot0_1frac（n）））；
RotateBinFracNodeRight_x:=proc（t，x）local num，den；密度：=2^（1+地板对数2（t））；数量：=（2*（t-（den/2）））+1；如果（（x<=（num-1）/den）或（x>=（num+1）/den；fi；如果（x<=（（2*（num-1））+1）/（2*den）；fi；如果（x<（num/den）），则返回（x+（1/（2*den）；fi；返回（（数量/密度）+（（x-（数量-1）/密度）/2））；结束；
SternBrocot0_1frac:=进程（n）局部m；m:=n+2^楼层对数2（n）；SternBrocotTreeNum（m）/SternBrokotTreeDen（m）；结束；
frac2position_in_0_1_SB_tree:=r->RETURN（ReflectBinTreePermutation（cfrac2binxep（convert（1/r，conferac）））；
由无限二进制“十进制”分数树中第N个节点的旋转（向左）引起的每行N的排列表。
+10
8
4, 16, 1, 22, 136, 1, 64, 3, 2, 1, 8, 64, 25, 2, 1, 160, 19, 4, 3, 76, 1, 1, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 256, 7, 97, 5, 4, 3328, 2, 1, 32, 256, 13, 6, 167772160, 4, 3, 2, 1, 67, 1054, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 34, 4, 9, 130, 7, 97, 5, 4, 3, 1249, 1, 1279, 40, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 10, 12
MAPLE公司
[seq（RotateBinFracLeftTable（j），j=0..119）]；RotateBinFracLeftTable:=n->RotateBinFracNodeLeft（1+（n-（（trin（n）*（trin；
RotateBinFracNodeLeft:=（t，n）->frac2position_in_0_1_SB_tree（RotatebinFracNode Left_x（t，SternBrocot0_1frac（n）））；
RotateBinFracNodeLeft_x:=proc（t，x）local num，den；密度：=2^（1+地板对数2（t））；数量：=（2*（t-（den/2）））+1；如果（（x<=（num-1）/den）或（x>=（num+1）/den；fi；如果（x>=（（2*num）+1）/（2*den）），则返回（（（num-1）/den）+（2*（x-（num/den）；fi；如果（x>（num/den）），则返回（x-（1/（2*den）））；fi；返回（（（num-1）/den）+（（x-（（num-1）/dent））/2））；结束；
SternBrocot0_1frac:=进程（n）局部m；m:=n+2^楼层对数2（n）；SternBrocotTreeNum（m）/SternBrocotTreeDen（m）；结束；
frac2position_in_0_1_SB_tree:=r->RETURN（ReflectBinTreePermutation（cfrac2binxep（convert（1/r，conferac）））；
拟循环群Z+（2a+1）/（2^b）[a>0和a<2^（b-1），b>0]元素在Stern-Brocot树0,1[边上的排序位置(A007305号/A007306号).
+10
4
1, 4, 7, 10, 13, 46, 49, 64, 67, 79, 112, 124, 127, 139, 151, 232, 244, 262, 310, 325, 349, 352, 364, 403, 415, 418, 442, 457, 505, 571, 583, 661, 685, 766, 769, 850, 874, 952, 964, 1057, 1126, 1432, 1519, 1552, 1639, 1945, 2014, 2050, 2140, 2434, 2458
评论
很容易证明，在由A007306号，偶数值只出现在每三个位置，但对于分母的这些位置，我们能找到一个简单的规则吗？
范围]0,1[Stern-Brocot树分数中2的指数(A007305号/A007306号) [1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 2/5, 3/5, 3/4, 1/5, 2/7, 3/8, 3/7, 4/7, 5/8, 5/7, 4/5, ...].
+10
三
-1, 0, 1, -2, 1, 0, -2, 0, 1, -3, 0, 2, -3, 0, 2, -1, 1, 0, -1, 2, 0, -2, 2, 0, -2, 3, 0, -1, 3, 0, -1, 0, 1, -1, 0, 2, -1, 0, 2, -1, 0, 3, -1, 0, 3, -4, 0, 1, -4, 0, 1, -1, 0, 2, -1, 0, 2, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -3, 1, 0, -4, 2, 0, -1, 2, 0, -1, 3, 0, -3, 3, 0, -4, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 2, 0, -1, 2, 0, -1, 1, 0, -2, 1, 0, -2, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0
MAPLE公司
[seq（exp_of_2（SternBrocot0_1frac（j）），j=1.128）]；
SternBrocot0_1frac:=进程（n）局部m；m:=n+2^楼层对数2（n）；SternBrocotTreeNum（m）/SternBrokotTreeDen（m）；结束；
exp_of2:=过程（x）局部f，m；f:=系数（x）[2]；对于f中的m，如果（2=m[1]），则返回（m[2]）；fi；od；返回（0）；结束；
整体分数中2的指数]0，inf[Stern-Brocot树(A007305号/A047679号) [1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/3, 3/2, 3/1, 1/4, 2/5, 3/5, 3/4, 4/3, 5/3, 5/2, 4/1, ...].
+10
三
0, -1, 1, 0, 1, -1, 0, -2, 1, 0, -2, 2, 0, -1, 2, 0, 1, -3, 0, 2, -3, 0, 2, -2, 0, 3, -2, 0, 3, -1, 0, -1, 1, 0, -1, 2, 0, -2, 2, 0, -2, 3, 0, -1, 3, 0, -1, 1, 0, -3, 1, 0, -3, 2, 0, -2, 2, 0, -2, 1, 0, -1, 1, 0, 1, -1, 0, 2, -1, 0, 2, -1, 0, 3, -1, 0, 3, -4, 0, 1, -4, 0, 1, -1, 0, 2, -1, 0, 2, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -2, 0, 1, -2, 0, 1, -1
MAPLE公司
[seq（exp_of_2（SternBrocotTreeNum（j）/SternBrocodTreeDen（j）），j=1.128）]；
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