显示找到的26个结果中的1-10个。
1, 1, -1, 1, -19, 9, -863, 1375, -33953, 57281, -3250433, 1891755, -13695779093, 24466579093, -132282840127, 240208245823, -111956703448001, 4573423873125, -30342376302478019, 56310194579604163
评论
-a（n+1），n>=0，也包括分子，例如f.1/x-1/log（1+x），带分母A075178号（n） ●●●●|a（n+1）|，n>=0，分子来自例如f.1/x+1/log（1-x），带分母A075178号（n） ●●●●。有关无符号a（n）的公式，请参见A075178号.
符号理性a（n）/A006233号（n） 提供Stirling2 Sheffer矩阵的a序列A048993号参见W.Lang关于Sheffer a-和z序列的链接。
第一类柯西数也称为第二类伯努利数。
以法国数学家、工程师和物理学家奥古斯丁·路易·考西（Augustin-Louis Cauchy，1789-1857）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年6月17日
参考文献
Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第294页。
哈罗德·杰弗里斯和B.S.杰弗里斯，《数学物理方法》，剑桥，1946年，第259页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
I.S.Gradsteyn和I.M.Ryzhik，积分、系列和产品表，（1980），第2页（公式0.131）。
L.B.W.Jolley，级数求和多佛，（1961）（公式70）。
多纳泰拉·梅里尼（Donatella Merlini）、伦佐·斯普鲁格诺利（Renzo Sprugnoli）和M.塞西莉亚·维里（M.Cecilia Verri），柯西数，离散数学。，第306卷，第16期（2006年），第1906-1920页。
赵凤珍，柯西数乘积的和，离散数学。，第309卷，第12期（2009年），第3830-3842页。
配方奶粉
x（x-1）积分的分子。。。（x-n+1）从0到1。
例如：x/log（1+x）。（注：系数x^n/n！的分子是a（n）-迈克尔·索莫斯2014年7月12日）
求和{k=1..n}1/k=C+log（n）+1/（2n）+Sum_{k=2..inf}|a（n）|/A075178号（n-1）*1/（n*（n+1）**（n+k-1））（Gradshteyn和Ryzhik表格中的0.131节）-拉尔夫·斯蒂芬2014年7月12日
a（n）=分子（f（n）*n！），其中，f（0）=1，f（n）=和{k=0..n-1}（-1）^（n-k+1）*f（k）/（n-k/1）-丹尼尔·苏图2018年2月23日
和{k=1..n}（1/k）=A001620号+log（n）+1/（2n）-和{k>=2}abs（（a（k）/A006233号（k） /k/（产品{j=0..k-1}（n-j））），（见I.S.Gradsteyn，I.M.Ryzhik）-A.H.M.斯密茨2018年11月14日
例子
1, 1/2, -1/6, 1/4, -19/30, 9/4, -863/84, 1375/24, -33953/90, ...
MAPLE公司
seq（数字（加（stirling1（n，k）/（k+1），k=0..n）），n=0..20）#彼得·卢什尼2009年4月28日
数学
a[n_]：=分子[Sum[StirlingS1[n，k]/（k+1），{k，0，n}]]；表[a[n]，{n，0，19}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗，2011年11月3日，Maple之后*）
a[n_]：=分子[积分[Gamma[x+1]/Gamma[x-n+1]，{x，0，1}]]；表[a[n]，{n，0，19}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2013年7月29日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，（-1）^n分子@积分[Pochhammer[-x，n]，{x，0，1}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年7月12日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，分子[n！系列系数[x/Log[1+x]，{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年7月12日*）
连接[{1}，数组[Numerator[（1/#）Integrate[Product[（x-k），{k，0，#-1}]，{x，0，1}]&，25]](*迈克尔·德弗利格2018年11月13日*）
黄体脂酮素
（鼠尾草）
f、 R，C=1，[1]，[1]+[0]*（len-1）
对于n in（1..len-1）：
对于范围（n，0，-1）中的k：
C[k]=-C[k-1]*k/（k+1）
C[0]=-总和（（1..n）中k的C[k]）
R.append（（C[0]*f）.numerator（））
f*=n
返回R
（PARI）用于（n=0，20，print1（分子（总和（k=0，n，stirling（n，k，1）/（k+1）），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2018年11月13日
（岩浆）[分子（（&+[StirlingFirst（n，k）/（k+1）：k in[0..n]]））：n in[0..20]]//G.C.格鲁贝尔2018年11月13日
（Python）#结果是abs值
从分数导入gcd
aa，n，sden=[0，1]，1，1
当n<20时：
j、 snom，sden，a=1，0，（n+1）*sden，0
而j<len（aa）：
snom，j=snom+aa[j]*（sden//（j+1）），j+1
nom，den=snom，sden
打印（n，nom//gcd（nom，den））
aa，j=aa+[-aa[j-1]]，j-1
当j>0时：
aa[j]，j=n*aa[j]-aa[j-1]，j-1
（Python）
从分数导入分数
从sympy.functions.combinatorial.numbers导入stirling
定义A006232号（n） ：返回范围（n+1）中k的总和（分数（stirling（n，k，kind=1，signed=True），k+1））。分子#柴华武2023年7月9日
1, 2, 6, 4, 30, 4, 84, 24, 90, 20, 132, 8, 5460, 840, 360, 48, 1530, 4, 1596, 168, 1980, 1320, 8280, 80, 81900, 6552, 1512, 112, 3480, 80, 114576, 7392, 117810, 7140, 1260, 8, 3838380, 5928, 936, 48, 81180, 440, 1191960, 55440, 869400, 38640, 236880, 224
评论
签署的理由A006232号（n） /a（n）提供Stirling2 Sheffer矩阵的a序列A048993号参见W.Lang关于Sheffer a-和z序列的链接。
第一类柯西数也称为第二类伯努利数。
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第294页。
H.Jeffreys和B.S.Jeffresys，《数学物理方法》，剑桥，1946年，第259页。
L.Jolley，《系列总结》，Chapman和Hall，伦敦，1925年，第14-15页（公式70）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
I.S.Gradsteyna和I.M.Ryzhik，积分、系列和产品表，（1980），第2页（公式0.131）。
多纳泰拉·梅里尼（Donatella Merlini）、伦佐·斯普鲁格诺利（Renzo Sprugnoli）和M.塞西莉亚·维里（M.Cecilia Verri），柯西数，离散数学。306（2006），第16期，1906-1920。
赵凤珍，柯西数乘积的和，离散数学。，309 (2009), 3830-3842.
配方奶粉
x（x-1）积分的分母。。。（x-n+1）从0到1。
例如：x/log（1+x）。
a（n）=分母（f（n）*n！），其中，f（0）=1，f（n）=和{k=0..n-1}（-1）^（n-k+1）*f（k）/（n-k/1）-丹尼尔·苏图2018年2月23日
和{k=1..n}（1/k）=A001620号+log（n）+1/（2*n）-和{k>=2}abs((A006232号（k） /a（k）/k/（乘积_{j=0..k-1}（n-j））），（见I.S.Gradsteyn，I.M.Ryzhik）-A.H.M.斯密茨2018年11月14日
例子
1, 1/2, -1/6, 1/4, -19/30, 9/4, -863/84, 1375/24, -33953/90,...
MAPLE公司
seq（denom（加上（stirling1（n，k）/（k+1），k=0..n）），n=0..12）#彼得·卢什尼2009年4月28日
数学
带[｛nn＝50｝，分母[CoefficientList[Series[x/Log[1+x]，｛x，0，nn｝]，x]范围[0，nn]！]](*哈维·P·戴尔2011年10月28日*）
a[n_]：=总和[StirlingS1[n，k]/（k+1），{k，0，n}]//分母；表[a[n]，{n，0，40}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2013年1月10日之后彼得·卢什尼*)
联接[{1}，数组[分母Abs[集成[积[（x-k），{k，0，#-1}]，{x，0，1}]&，50]](*迈克尔·德弗利格2018年11月13日*）
黄体脂酮素
（PARI）对于（n=0，50，print1（分母（sum（k=0，n，stirling（n，k，1）/（k+1）），“，”）\\G.C.格鲁贝尔2018年11月13日
（岩浆）[分母（（&+[StirlingFirst（n，k）/（k+1）：k in[0..n]]））：n in[0..50]]//G.C.格鲁贝尔2018年11月13日
（鼠尾草）
f、 R，C=1，[1]，[1]+[0]*（透镜-1）
对于n in（1..len-1）：
对于范围（n，0，-1）中的k：
C[k]=-C[k-1]*k/（k+1）
C[0]=-总和（（1..n）中k的C[k]）
R.append（（C[0]*f）.分母（）
f*=n+1
返回R
（Python）#结果是abs值
从分数导入gcd
aa，n，sden=[0，1]，1，1
打印（0，1）
当n<20时：
j、 snom，sden，a=1，0，（n+1）*sden，0
而j<len（aa）：
snom，j=snom+aa[j]*（sden//（j+1）），j+1
nom，den=snom，sden
打印（n，den//gcd（nom，den））
aa，j=aa+[-aa[j-1]]，j-1
当j>0时：
aa[j]，j=n*aa[j]-aa[j-1]，j-1
（Python）
从分数导入分数
从sympy.functions.combinatial.numbers导入stirling
定义A006233号（n） ：返回范围（n+1）中k的总和（分数（stirling（n，k，kind=1，signed=True），k+1））。分母#柴华武2023年7月9日
对数的分子（也指格雷戈里系数G（n））。
（原M5066 N2194）
+10
34
1, 1, -1, 1, -19, 3, -863, 275, -33953, 8183, -3250433, 4671, -13695779093, 2224234463, -132282840127, 2639651053, -111956703448001, 50188465, -2334028946344463, 301124035185049, -12365722323469980029
评论
对于n>0 G（n）=（-1）^（n+1）*Integral_{x=0.无穷大}1/（（log^2（x）+Pi^2）*（x+1）^n）。G（1）=1/2，对于n>1，G（n）=（-1）^（n+1）/（n+1。欧拉常数由伽玛=Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*G（n）/n给出-格鲁·罗兰2009年1月14日
上述欧拉常数系列是意大利数学家格雷戈里奥·丰塔纳（Gregorio Fontana，1735-1803）和洛伦佐·马斯切罗尼（Lorenzo Mascheroni，1750-1800）于1780-1790年左右发现的，随后又被多次发现（尤其是1879年恩斯特·施罗德（Ernst Schröder）、1923年尼尔斯·诺伦德（Niels E.Nörlund）、C。1924年的克鲁弗、1929年的查尔斯·乔丹、1999年的肯特和2008年的维克托·科瓦伦科）。有关更多详细信息，请参阅以下参考文献[Blacgouchine，2015]和[Blacgouchine，2016]-伊罗斯拉夫·布拉古钦（Iaroslav V.Blagouchine）2015年9月16日
格雷戈里系数{G（n）}n>=0={1,1/2，-1/12,1/24，-19/720,3/160，…}出现在格雷戈里数值积分求积公式中。积分I=integral_{x=m.n}f（x）dx可以近似为和S=1/2*f（m）+f（m+1）+…+f（n-1）+1/2*f（n）。格雷戈里的差分公式是I-s=Sum_{k>=2}G（k）*{delta^（k-1）（f（n））-delta^。
格雷戈里公式是欧拉-马克拉林求和公式的离散模拟，用有限差分代替导数，用格雷戈里系数代替伯努利数。
Alabdulmohsin第7.3.3节给出了涉及格雷戈里系数的几个恒等式，包括
求和{n>=2}|G（n）|/（n-1）=（1/2）*（log（2*Pi）-1-euler_gamma）和
和{n>=1}|G（n）|/（n+1）=1-log（2）。
（结束）
以苏格兰数学家和天文学家詹姆斯·格雷戈里（1638-1675）命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月16日
参考文献
尤金·艾萨克森（Eugene Isaacson）和赫伯特·毕晓普·凯勒（Herbert Bishop Keller），《数值方法分析》（Analysis of Numerical Methods），ISBN 0 471 42865 5，1966年，约翰·威利（John Wiley and Sons），第318-319页鲁迪·休斯曼（Rudi_Huysmans（AT）hotmail.com），2000年4月10日
查尔斯·乔丹（Charles Jordan），《有限差分演算》，切尔西1965年，第266页。
Murray S.Klamkin编辑，《应用数学问题：SIAM评论选集》，SIAM，1990年，见第101页[问题87-6]。
Arnold N.Lowan和Herbert E.Salzer，数值积分公式中的系数表，J.Math。物理学。《马萨诸塞州仪器技术》第22卷（1943年），第49-50页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
易卜拉欣·M·阿拉巴杜尔莫辛，“有限差分语言”，摘自《可和演算：分数有限和的综合理论》，Springer，Cham，2018年，第133-149页。
易卜拉欣·M·阿拉巴杜尔莫辛，可和性微积分，arXiv:1209.5739[math.CA]，2012年。
伊罗斯拉夫·布拉古钦（Iaroslav V.Blagouchine）和马克·安东尼·科波（Marc-Antoine Coppo），关于zeta函数相关常数及其与Gregory系数关系的注记，arXiv:1703.08601[math.NT]，2017年。《拉马努扬杂志》47.2（2018）：457-473。
J.C.Kluyver，欧拉常数和自然数，程序。K.内德·阿卡德。潮湿。，第27卷，第1-2期（1924年），第142-144页。
Arnold N.Lowan和Herbert E.Salzer，数值积分公式中的系数表，J.数学。物理学。麻省理工学院，第22卷（1943年），第49-50页。[带注释的扫描件]
G.M.Phillips，格雷戈里数值积分方法阿默尔。数学。《月刊》，第79卷，第3期（1972年），第270-274页。
Herbert E.Salzer，带差异的重复积分系数表Phil.Mag.，第38卷（1947年），第331-336页。[带注释的扫描副本]
Patricia C.Stamper，格雷戈里系数表，数学。公司。，第20卷，第95期（1966年），第465页。
配方奶粉
G（0）=0，G（n）=Sum_{i=1..n}（-1）^（i+1）*G（n-i）/（i+1。
a（n）/A002207号（n） =（1/n！）*Sum_{j=1..n+1}伯努利（j）/j*S_1（n，j-1），其中S_1（n，k）是第一类斯特林数Barbara Margolius（b.Margolius（AT）csuohio.edu），2002年1月21日
G（n）=（积分_{x=0..1}x*（x-n）_n）/（n+1）！，其中（a）_n是Pochhammer符号-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年10月22日
a（n）=分子（f（n+1）），其中f（0）=1，f（n）=Sum_{k=0..n-1}（-1）^（n-k+1）*f（k）/（n-k/1）-丹尼尔·苏图2018年11月15日
例子
对数是1、1/2、-1/12、1/24、-19/720、3/160、-863/60480、275/24192、-33953/3628800、8183/1036800、-3250433/479001600、4671/78880、-1369577993/2615348736000、2224234463/475517952000=A002206年/A002207号
MAPLE公司
系列（1/log（1+x），x，25）；
与（组合，stirling1）：seq（数字（1/i！*总和（bernoulli（j）/（j）*stirlingl（i，j-1），j=1..i+1）），i=1..24）；
数学
a[n_]：=总和[StirlingS1[n+1，k]/（（n+1）*（k+1）），{k，0，n+1}]；表[a[n]//分子，{n，-1，19}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2013年11月29日之后弗拉基米尔·克鲁奇宁*)
分子@表格[积分[x Pochhammer[x-n，n]，{x，0，1}]/（n+1）！，{n，-1，20}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年10月22日*）
分子@系数列表[x/日志[1+x]+O[x]^21，x](*奥利弗·塞佩尔，2024年7月6日*）
黄体脂酮素
（极大值）a（n）：=和（stirling1（n+1，k）/（（n+1）*（k+1）），k，0，n+1）；
（最大值）
a（n）：=如果n=-1，则为1，如果n=0，则为1/2，否则为1/n*和（（-1）^（k+1）*stirling2（n+k+1，k）*二项式（2*n+1，n+k））/（（n+k+1）*（n+k）），k，0，n+1）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年4月5日*/
（PARI）a（n）=分子（和（k=0，n+1，stirling（n+1，k，1）/（（n+1）*（k+1））\\米歇尔·马库斯2018年3月20日
（Python）
从数学导入阶乘
从分数导入分数
从sympy.functions.combinatial.numbers导入stirling
定义A002206年（n） ：return（范围（n+2）内的k的分数（stirling（n+1，k，kind=1，signed=True），k+1）/阶乘（n+1））。分子#柴华武2023年2月12日
（SageMath）
从functools导入缓存
@高速缓存
定义h（n）：
return（范围（1，n+1）中k的-sum（（-1）**k*h（n-k）/（k+1））
+（-1）**n*n/（2*（n+1）*（n+2））
定义a（n）：如果n>0，则返回h（n）.numer（），否则返回1
打印（[a（n）代表范围（-1，20）中的n）]）#彼得·卢什尼2023年12月12日
对数的分母（也指格雷戈里系数G（n））。
（原名M2017 N0797）
+10
25
1, 2, 12, 24, 720, 160, 60480, 24192, 3628800, 1036800, 479001600, 788480, 2615348736000, 475517952000, 31384184832000, 689762304000, 32011868528640000, 15613165568, 786014494949376000, 109285437800448000
评论
矩阵行列式的分母，其中1沿着超对角线，（1/2）沿着主对角线；（1/3）沿着次对角线等等，其他地方都是0-约翰·坎贝尔2011年12月1日
参考文献
E.Isaacson和H.Bishop，《数值方法分析》，ISBN 0 471 42865 51966，John Wiley and Sons，第318-319页鲁迪·休斯曼（Rudi_Huysmans（AT）hotmail.com），2000年4月10日
查尔斯·乔丹（Charles Jordan），《有限差分演算》，切尔西1965年，第266页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
易卜拉欣·M·阿拉巴杜尔莫辛，“有限差分语言”《可和性微积分：分数有限和的综合理论》，Springer，Cham，第133-149页。
易卜拉欣·M·阿拉巴杜尔莫辛，可和性微积分，arXiv:1209.5739v1[math.CA]，2012年。
J.C.Kluyver，欧拉常数和自然数，程序。K.内德.阿卡德。潮湿。，27(1-2) (1924), 142-144.
A.N.Lowan和H.Salzer，数值积分公式中的系数表，J.数学。物理。，22 (1943), 49-50.
A.N.Lowan和H.Salzer，数值积分公式中的系数表，J.数学。物理学。马萨诸塞州仪器技术22（1943），49-50。[注释扫描副本]
G.M.Phillips，格雷戈里数值积分方法阿默尔。数学。月刊，79（1972），270-274。
H.E.Salzer，有差异重复积分系数表《哲学杂志》，38（1947），331-336。[带注释的扫描副本]
P.C.冲压件，格雷戈里系数表，数学。公司。，20 (1966), 465.
配方奶粉
1/log（1+x）=Sum_｛n>=-1｝(A002206年（n） /a（n））*x^n。
A002206年（n）/A002207号（n） =（1/n！）*求和{j=1..n+1}伯努利（j）/j*S_1（n，j-1），其中S_1（m，k）是第一类斯特林数Barbara Margolius（b.Margolius（AT）csuohio.edu），2002年1月21日
G（0）=0，G（n）=Sum_{i=1..n}（-1）^（i+1）*G（n-i）/（i+1）+（-1）^（n+1）*n/（2*（n+1）*（n+2））。
G（n）=（1/（n+1）！）*积分{x=0..1}x*（x-n）_n dx，其中（a）_n是Pochhammer符号-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年10月22日
a（n）=分母（f（n+1）），其中f（0）=1，f（n）=Sum_{k=0..n-1}（-1）^（n-k+1）*f（k）/（n-k+1）-丹尼尔·苏图，2018年11月15日
例子
对数是1、1/2、-1/12、1/24、-19/720、3/160、-863/60480、275/24192、-33953/3628800、8183/1036800、-3250433/479001600、4671/78880、-1369577993/2615348736000、2224234463/475517952000=A002206年/A002207号
MAPLE公司
系列（1/log（1+x），x，25）；
与（组合，stirling1）：seq（denom（1/i！*总和（bernoulli（j）/（j）*stirlingl（i，j-1），j=1..i+1）），i=1..24）；
数学
表[分母[Det[Array[Sum[KroneckerDelta[#1，#2+q]*1/（q+2）^1，{q，-1，n+1}]&，{n+1，n+1}]]，{n，0，20}](*约翰·坎贝尔2011年12月1日*）
a[n_]：=分母[n！^-1*和[BernoulliB[j]/j*StirlingS1[n，j-1]，{j，1，n+1}]]；a[-1]=1；表[a[n]，{n，-1，18}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2012年5月16日，Maple之后*）
分母@表[积分[x Pochhammer[x-n，n]，{x，0，1}]/（n+1）！，{n，-1，20}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年10月22日*）
分母@系数列表[x/Log[1+x]+O[x]^20，x](*奥利弗·塞佩尔2024年7月6日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=分母（和（k=0，n+1，斯特林（n+1，k，1）/（（n+1）*（k+1））\\米歇尔·马库斯2018年3月20日
（Python）
从数学导入阶乘
从分数导入分数
从sympy.functions.combinatial.numbers导入stirling
定义A002207号（n） ：return（范围（n+2）中k的总和（分数（stirling（n+1，k，kind=1，signed=True），k+1））/阶乘（n+1））。分母#柴华武2023年2月12日
（SageMath）
从functools导入缓存
@高速缓存
定义h（n）：
return（范围（1，n+1）中k的-sum（（-1）**k*h（n-k）/（k+1））
+（-1）**n*n/（2*（n+1）*（n+2））
def a（n）：如果n>0，则返回h（n）.denom（），否则为n+2
打印（[a（n）代表范围（-1，19）中的n）]）#彼得·卢什尼2023年12月12日
第二类柯西数的分母（=Bernoulli数B_n^{（n）}）。
（原名M1559 N0608）
+10
23
1, 2, 6, 4, 30, 12, 84, 24, 90, 20, 132, 24, 5460, 840, 360, 16, 1530, 180, 7980, 840, 13860, 440, 1656, 720, 81900, 6552, 216, 112, 3480, 240, 114576, 7392, 117810, 2380, 1260, 72, 3838380, 207480, 32760, 560, 568260, 27720, 238392, 55440, 869400, 2576, 236880
评论
这些系数（带交替符号）也称为Nörlund[或Norlund、Noerlund或Nöllund]数。
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第294页。
L.M.Milne-Thompson，《有限差分演算》，1951年，第136页。
N.E.Nörlund，Vorlesungenüber Differenzenrechnung，Springer-Verlag，柏林，1924年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
易卜拉欣·M·阿拉巴杜尔莫辛，有限差分语言，《可和性微积分：分数有限和的综合理论》，Springer，Cham，第133-149页。
多纳泰拉·梅里尼（Donatella Merlini）、伦佐·斯普鲁格诺利（Renzo Sprugnoli）和M.塞西莉亚·维里（M.Cecilia Verri），柯西数，离散数学。306（2006），第16期，1906-1920。
L.M.Milne-Thompson，有限差分法, 1951. [仅第135、136页的注释扫描]
N.E.Nörlund，不同的技术1924年，柏林，斯普林格·弗拉格；第461页[第144-151页和第456-463页的注释扫描件]
赵凤珍，柯西数乘积的和，离散数学。，309 (2009), 3830-3842.
配方奶粉
x（x+1）积分的分母。。。（x+n-1）从0到1。
例子
1, 1/2, 5/6, 9/4, 251/30, 475/12, 19087/84, 36799/24, 1070017/90, ...
MAPLE公司
分母（加上（（-1）^k*stirling1（n，k）/（k+1），k=0..n））；
黄体脂酮素
（最大值）
v（n）：=如果n=0，则1其他1-和（v（i）/（n-i+1），i，0，n-1）；
makelist（denom（n！*v（n）），n，0，10）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年8月28日*/
（岩浆）m:=60；R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），m）；b： =系数（R！（-x/（（1-x）*Log（1-x）））；[分母（因子（n-1）*b[n]）：[1..m-1]]中的n//G.C.格鲁贝尔2018年10月28日
数值积分系数的分子。
（原名M3737 N1527）
+10
22
1, 1, 5, 3, 251, 95, 19087, 5257, 1070017, 25713, 26842253, 4777223, 703604254357, 106364763817, 1166309819657, 25221445, 8092989203533249, 85455477715379, 12600467236042756559, 1311546499957236437, 8136836498467582599787
评论
对于n>0，a（n）是（-1）^n乘以“反向”多重zeta值zeta_n^R（0,0，…，0）的分子-乔纳森·桑多2006年11月29日
参考文献
E.Isaacson和H.B.Keller，《数值方法分析》，ISBN 0 471 42865 51966，John Wiley and Sons，第318-319页。
查尔斯·乔丹，《有限差分演算》，切尔西1965年，第529页。
N.E.Nörlund，Vorlesungenüber Differenzenrechnung，Springer-Verlag，柏林，1924年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
A.N.Lowan和H.Salzer，数值积分公式中的系数表，J.数学。物理。，22 (1943), 49-50.
A.N.Lowan和H.Salzer，数值积分公式中的系数表，J.数学。物理学。马萨诸塞州仪器技术22（1943），49-50。[注释扫描副本]
配方奶粉
理性a（n）的G.f/A002209号（n） ：-x/（（1-x）*log（1-x））。
设K_i=a（i）/A002209号（i） ，对于i>=1，[in]=第一类斯特灵数(A048994号)，{in}=第二类斯特林数(A048993号)和B_i原始伯努利数(A164555号/A027642号). 那么K_i=（（-1）^（i-1）/（i-1！）*求和{n=1..i}[in]*B_n/n和B_i=i*Sum_{n=1.i}（-1）^（n-1）*{in}*（n-1*K_n.-Rudi Huysmans，Rudi_Huysmans（AT）hotmail.com[参见K_n=a[n_]的第二个Mathematica程序，B_K=（-1）^K*BernoulliB[K]-沃尔夫迪特·朗2017年8月9日]
a（n）=分子（（-1）^n*Sum_{k=0..n}（k！*Stirling2（n，k）*Stirring1（n+k，n））/（n+k）！）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年2月2日
a（n）=分子（v（n）），其中v（n）=1-Sum_{i=0..n-1}v（i）/（n-i+1），v（0）=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年8月28日
a（n）=分子（（1/（n-1）！）*和{k=0..n}（（-1）^（n-k）*二项式（2*n，n-k）*Stirling2（n+k，k））/（n+k）），n>0，a（0）=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年4月5日
a（n）=分子（（（-1）^n/n！）*总和{k=0..n}箍筋1（n+1，k+1）/（k+1））-弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年10月12日
例子
1, 1/2, 5/12, 3/8, 251/720, 95/288, 19087/60480, 5257/17280, 1070017/3628800, 25713/89600, 26842253/95800320, 4777223/17418240, 703604254357/2615348736000, 106364763817/402361344000, ... =A002208号/A002209号.
MAPLE公司
r:=proc（n）选项记忆；如果n=0，则1其他1-加（r（k）/（n-k+1），k=0..n-1）fi结束：seq（数字（r（n）），n=0..20）#彼得·卢什尼2020年2月16日
数学
分子/@系数列表[系列[-x/（（1-x）Log[1-x]），{x，0，20}]，x](*哈维·P·戴尔2011年5月4日*）
a[0]=1；a[n]：=（-1）^n*和[（-1）*（k+1）*BernoulliB[k]*StirlingS1[n，k]/k，{k，1，n}]/（n-1）！；表[a[n]，{n，0，20}]//分子(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2012年9月27日，根据Rudi Huysmans的公式*）
黄体脂酮素
（最大值）
a（n）：=如果n=0，则1其他1/（n-1）*和（（-1）^（n-k）*二项式（2*n，n-k）*stirling2（n+k，k））/（n+k），k，0，n）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年4月5日*/
a（n）：=数（（-1）^（n）*和（斯特林1（n+1，k+1）/（k+1），k，0，n））/（n）！）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年10月12日*/
（Python）
从数学导入阶乘
从分数导入分数
从sympy.functions.combinatial.numbers导入stirling
定义A002208号（n） ：return（-1 if n&1 else 1）*（sum（分数（stirling（n+1，k+1，kind=1，signed=True），k+1）for k in range（n+1））/阶乘（n））。分子#柴华武2023年7月9日
数值积分系数的分母。
（原名M2015 N0796）
+10
22
1, 2, 12, 8, 720, 288, 60480, 17280, 3628800, 89600, 95800320, 17418240, 2615348736000, 402361344000, 4483454976000, 98402304, 32011868528640000, 342372925440000, 51090942171709440000, 5377993912811520000, 33720021833328230400000
评论
a（n）是n>0时“反向”多重zeta值zeta_n^R（0,0，…，0）的分母-乔纳森·桑多，2006年11月29日
参考文献
查尔斯·乔丹，《有限差分演算》，切尔西1965年，第529页。
N.E.Nörlund，Vorlesungenüber Differenzenrechnung，Springer-Verlag，柏林，1924年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
A.N.Lowan和H.Salzer，数值积分公式中的系数表，J.数学。物理。，22 (1943), 49-50.
A.N.Lowan和H.Salzer，数值积分公式中的系数表，J.数学。物理学。马萨诸塞州仪器技术22（1943），49-50。[注释扫描副本]
配方奶粉
第页，共页A002208号（n） /a（n）：-x/（（1-x）*log（1-x））。
a（n）=分母（（（-1）^n/n！）*总和{k=0..n}箍筋1（n+1，k+1）/（k+1））-弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年10月12日
例子
1, 1/2, 5/12, 3/8, 251/720, 95/288, 19087/60480, 5257/17280, 1070017/3628800, 25713/89600, 26842253/95800320, 4777223/17418240, 703604254357/2615348736000, 106364763817/402361344000, ... =A002208号/A002209号.
数学
a[0]=1；a[n]：=（-1）^n*和[（-1）*（k+1）*BernoulliB[k]*StirlingS1[n，k]/k，{k，1，n}]/（n-1）！；表[a[n]，{n，0，20}]//分母(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2012年9月27日，根据Rudi Huysmans的公式A002208号*)
分母[系数列表[系列[-x/（1-x）Log[1-x]），{x，0，20}]，x]](*哈维·P·戴尔2013年2月1日*）
黄体脂酮素
（最大值）
a（n）：=分母（（-1）^（n）*和（stirling1（n+1，k+1）/（k+1），k，0，n））/（n）！）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年10月12日*/
（Python）
从数学导入阶乘
从分数导入分数
从sympy.functions.combinatial.numbers导入stirling
定义A002209号（n） ：返回（范围（n+1）中k的总和（分数（stirling（n+1，k+1，kind=1，signed=True），k+1））/阶乘（n））。分母#柴华武2023年7月9日
4, 72, 32, 14400, 1728, 2540160, 138240, 261273600, 896000, 10538035200, 209018880, 407994402816000, 5633058816000, 941525544960000, 4723310592, 8707228239790080000, 6162712657920000, 17473102222724628480000, 107559878256230400000, 14162409169997856768000000
评论
伽马=1-1/4-5/72-1/32-251/14400-19/1728-19087/2540160-。。。，请参阅以下参考资料。
例子
1/4、5/72、1/32、251/14400、19/1728、19087/2540160……的分母。。。
MAPLE公司
a:=proc（n）局部r；r:=proc（n）选项记忆；如果n=0，则为1
1-加法（r（k）/（n-k+1），k=0..n-1）fi结束：denom（r（n）/（n*（n+1））结束：
seq（a（n），n=1..20）#彼得·卢什尼2018年4月19日
数学
g[n]：=总和[Abs[StirlingS1[n，l]/（l+1），{l，1，n}]/（n*（n+1）！）；a[n_]：=分母[g[n]]；表[a[n]，{n，1，20}]
的分子A091137号（n） *T（n，n）/n！其中T（i，j）=积分（x=i.i+1）x*（x-1）*（x-2）**（x-j+1）dx。
+10
4
1, 3, 23, 55, 1901, 4277, 198721, 434241, 14097247, 30277247, 2132509567, 4527766399, 13064406523627, 27511554976875, 173233498598849, 362555126427073, 192996103681340479, 401972381695456831, 333374427829017307697, 691668239157222107697, 236387355420350878139797
评论
数组主对角线的数字A091137号（j） *T（i，j）/j！其中T（i，j）=积分（x=i.i+1）x*（x-1）*（x-2）**（x-j+1）dx。
数组T（i，j）的约化分数如所示A140825号，它还描述了被积函数是如何成为斯特林数的生成函数。
参考文献
P.Curtz，Integration numerique des systemes differentials a conditions缩写。注12，Arcueil科学计算中心（1969年），第36页。
配方奶粉
a（n）=分子(A091137号（n） *T（n，n）/n！）其中T（n，n）=sum_｛k=0..n｝A048994号（n，k）*（（n+1）^（k+1）-n^（k+1））/（k+1。
MAPLE公司
T:=过程（i，j）局部变量，k；变量：=x；对于从1到j-1的k，做var:=var*（x-k）；od：整数（var，x=i..i+1）；简化(A091137号（j） *%/j！）；数字（%）；结束时间：
数学
b[n]：=b[n]=(*A091137号*)如果[n==0，1，乘积[d，{d，选择[Divisors[n]+1，PrimeQ]}]*b[n-1]]；T[i_，j_]：=积分[积[x-k，{k，0，j-1}]，{x，i，i+1}]；a[n_]：=b[n]*T[n，n]/n！；表[a[n]//分子，{n，0，20}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2016年1月10日*）
1, 1, 2, 1, 2, 12, 1, 2, 12, 24, 1, 2, 12, 24, 720, 1, 2, 12, 24, 720, 1440, 1, 2, 12, 24, 720, 1440, 60480, 1, 2, 12, 24, 720, 1440, 60480, 120960, 1, 2, 12, 24, 720, 1440, 60480, 120960, 3628800, 1, 2, 12, 24, 720, 1440, 60480, 120960, 3628800, 7257600, 1, 2, 12
评论
根据对Adams-Bashforth（1855-1883）数值积分多步方法中修改的初始化公式的研究。在第36页，a（i，j）来自（j！）*a（i、j）=Integral_{u=i，..，i+1}u*（u-1）**（u-j+1）du；见第32页。
然后，对于i垂直，j水平，对于未减少的分数，部分数组为：
0) 1, 1/2, -1/12, 1/24, -19/720, 27/1440, ... = 1/log（2）
1) 1, 3/2, 5/12, -1/24, 11/720, -11/1440, ... = 2/log（2）
2) 1, 5/2, 23/12, 9/24, -19/720, 11/1440, ... = 4/log（2）
3) 1, 7/2, 53/12, 55/24, 251/720, -27/1440, ... = 8/log（2）
4) 1, 9/2, 95/12, 161/24, 1901/720, 475/1440, ... = 16/日志（2）
5) 1, 11/2, 149/12, 351/24, 6731/720, 4277/1440, ... = 32/日志（2）
未缩减分数数组为：
1) 3, -3/2, 9/12, 9/24, 243/720, 459/1440, ...
2) 4, -8/2, 32/12, 0/24, 224/720, 448/1440, ...
3) 5, -15/2, 85/12, -55/24, 475/720, 475/1440, ...
...
第二行和第一行的差异表：
1, -1/2, -1/12, -1/24, -19/720, -27/1440, ...
-3/2, 5/12, 1/24, 11/720, 11/1440, ...
23/12, -9/24, -19/720, -11/1440, ...
-55/24, 251/720, 27/1440, ...
1901/720, -475/1440,
-4277/1440, ...
...
将这些行与第一个数组的行进行比较。
垂直线是第一个数组的有符号对角线。（结束）
参考文献
P.Curtz，《不同条件初始系统的集成数字》，武装科学计算中心，注12，Arcueil，1969年。
例子
1;
1,2;
1,2,12;
1,2,12,24;
1,2,12,24,720;
数学
（*a）=A091137号*)a[n_]：=a[n]=乘积[d，{d，选择[Divisors[n]+1，PrimeQ]}]*a[n-1]；a[0]=1；表[表[a[k-1]，{k，1，n}]，{n，1，11}]//压扁(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2014年12月18日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A000012号,A000079号,A002657号,A005408号,A007525号,A131920号,A140811号,A140825号,A141047号,A141417号,A141530号,A157411号,A157982号,A195287号.
搜索在0.025秒内完成
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