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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A002206 对数数的分子(也指格雷戈里系数G(n))。
(原M5066 N2194)
33
1,1,-1,1,-19,3,-863,275,-33953,8183,-3250433,4671,-13695779093,222423463,-132282840127,2639651053,-111956703448001,50188465,-2334028946346344463,30124035185049,-12365722346998029 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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评论

对于n>0 G(n)=(-1)^(n+1)*int(1/[(log^2(x)+Pi^2)*(x+1)^n],x=0..无穷大)。G(1)=1/2[对于n>1 G(n)=(-1)^(n+1)/(n+1)-和((-1)^k*G(n-k)/(k+1),k=1..n-1)。欧拉常数由gamma=和((-1)^(n+1)*G(n)/n,n=1..无穷大)给出。-罗兰松鸡2009年1月14日

上面的欧拉常数系列大约在1780-1790年被意大利数学家格雷戈里奥·丰塔纳(Gregorio Fontana,1735-1803)和洛伦佐·马斯切罗尼(Lorenzo Mascheroni,1750-1800)发现,后来又被多次发现(特别是,1879年被恩斯特·施罗德(Ernst Schröder)、1923年的尼尔斯·恩隆德(Niels E.Nøund),1924年的Jan C.Kluyver,1929年的查尔斯·乔丹(Charles Jordan)和1999年的肯特(Ken,以及维克多·科瓦连科(Victor Kowalenko,2008年)。欲了解更多详情,请参阅以下参考文献[Blagouchine,2015]和[Blagouchine,2016]。-Iaroslav诉Blagouchine案2015年9月16日

彼得·巴拉2012年9月28日:(开始)

格雷戈里系数{G(n)}n>=0={1,1/2,-1/12,1/24,-19/720,3/160,…}出现在格雷戈里数值积分的求积公式中。积分I=int{x=m..n}f(x)dx可近似为S=1/2*f(m)+f(m+1)+。。。+f(n-1)+1/2*f(n)。格雷戈里的公式是

I-S=sum{k=2..inf}G(k)*{delta^(k-1)(f(n))-delta^(k-1)(f(m))},其中delta是差分运算符delta(f(x))=f(x+1)-f(x)。

Gregory公式是Euler-Maclaurin求和公式的离散模拟,用有限差分代替导数,用Gregory系数代替Bernoulli数。

Alabdulmohsin第7.3.3节给出了几个涉及格雷戈里系数的恒等式,包括

和{n>=2}| G(n)|/(n-1)=(1/2)*(log(2*Pi)-1-euler_-gamma)和

和{n>=1}| G(n)|/(n+1)=1-log(2)。

(结束)

Blagouchine在文章中给出了更多的格雷戈里系数系列,它们的精确界,它们在大指数下的完全渐近性,以及与之相关的许多历史细节(见参考文献)。以下)。-Iaroslav诉Blagouchine案2016年5月6日

参考文献

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链接

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Iaroslav V.Blagouchine案,有理参数下第一广义Stieltjes常数闭式求值的一个定理及相关求和《数论杂志》(Elsevier),第148卷,第537-592页和第151卷,第276-277页,2015年。arXiv版本,arXiv:1401.3724[math.NT],2014年。

Iaroslav V.Blagouchine案,广义Euler常数在1/pi^2多项式级数和有理系数形式包络级数中的展开《数论杂志》(Elsevier),第158卷,第365-396页,2016年。arXiv版本,arXiv:1501.00740[math.NT],2015年。

Iaroslav V.Blagouchine案,含Stirling数且仅含有理系数的gamma函数对数的两个级数展开式《数学分析与应用杂志》(Elsevier),2016年。arXiv版本,arXiv:1408.3902[math.NT],2014-2016年。

Iaroslav V.Blagouchine案,关于zeta函数的Ser和Hasse表示的三点注记,Integers(2018)18A,文章#A3。

Iaroslav V.Blagouchine和Marc Antoine Coppo,关于zeta函数相关常数及其与Gregory系数关系的注记,arXiv:1703.08601[math.NT],2017年。另见Ramanujan Journal 47.2(2018):457-473。

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A、 萨尔泽和洛恩,数值积分公式中的系数表,J.数学。物理。质量。Inst.Tech.22(1943),49-50.【注释扫描副本】

格格和内梅斯,第二类Bernoulli数的渐近展开式,国际期刊。2011年第14期11.4.8

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H、 E.萨尔泽,差分重复积分系数表菲尔。杂志,38年(1947年),331-336年。[带注释的扫描副本]

拉斐尔·舒马赫,含Stirling级数的快速收敛求和公式,arXiv预印本arXiv:1602.003362016年

P、 C.压印机,格雷戈里系数表,数学。《比较》,20(1966年),465年。

埃里克·韦斯坦的数学世界,对数

维基百科,格雷戈里系数

明武和郝潘,第二类Bernoulli数的乘积和,小谎。146-45夸脱,2007年。

与对数相关的序列的索引项

公式

1/log(1+x)=和{n>=-1}(a(n)/A002207(n) )*x^n.[更正人罗伯特·以色列,2015年10月22日]

{1..n+1}(n+i)=1(n+1)*(n+1)。

a(n)/A002207(n) =(1/n!)*和{j=1..n+1}bernoulli(j)/j*S_1(n,j-1),其中S_1(n,k)是第一类的斯特林数。-Barbara Margolius(b.Margolius(AT)csuohio.edu),2002年1月21日

A002206(n)/A002207(n) =1/(n+1)!*和(k=0..n+1,斯特林1(n+1,k)/(k+1))。-弗拉基米尔·克鲁基宁2012年9月23日

G(n)=积分(x=0..1,x*(x-n)_n)/(n+1)!,其中(a)n是Pochhammer符号。-弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2015年10月22日

a(n)/A002207(n) =(1/n!)*和{k=0..n+1}(-1)^(k+1)*stirling2(n+k+1,k)*二项式(2*n+1,n+k)/((n+k+1)*(n+k)),n>0,带a(-1)/A002207(-1)=1,a(0)/A002207(0)=1/2。-弗拉基米尔·克鲁基宁2016年4月5日

a(n)=分子(f(n+1)),其中f(0)=1,f(n)=和{k=0..n-1}(-1)^(n-k+1)*f(k)/(n-k+1)。-丹尼尔·苏托2018年11月15日

例子

对数数为1,1/2,-1/12,1/24,-19/720,3/160,-863/60480,275/24192,-33953/3628800,8183/1036800,-3250433/479001600,4671/788480,-13695779093/2615348736000,222423463/475517952000。。。=A002206/A002207

枫木

系列(1/log(1+x),x,25);

带(组合,斯特林1):序列(数字(1/i!*和(伯努利(j)/(j)*斯特林1(i,j-1),j=1..i+1)),i=1..24);

数学

a[n_x]:=总和[StirlingS1[n+1,k]/((n+1)!*(k+1)),{k,0,n+1}];表[a[n]//分子,{n,-1,19}](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2013年11月29日,之后弗拉基米尔·克鲁基宁*)

分子@表[Integrate[x Pochhammer[x-n,n],{x,0,1}]/(n+1)!,{n,-1,20}](*弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2015年10月22日*)

黄体脂酮素

(最大值)a(n):=总和(斯特林1(n+1,k)/((n+1)!*(k+1)),k,0,n+1;

makenum(1,n,1)列/*弗拉基米尔·克鲁基宁2012年9月23日*/

(马克西玛)

a(n):=如果n=-1,则1 else如果n=0,则1/2 else 1/n!*和((-1)^(k+1)*斯特林2(n+k+1,k)*二项式(2*n+1,n+k))/((n+k+1)*(n+k)),k,0,n+1/*弗拉基米尔·克鲁基宁2016年4月5日*/

(PARI)a(n)=分子(和(k=0,n+1,stirling(n+1,k,1)/((n+1)!*(k+1)))\\米歇尔·马库斯2018年3月20日

交叉引用

囊性纤维变性。A001620年,A002207,A006232,A006233号,A002208,A002209号,A002657号,A002790号.

上下文顺序:A040353号 A128160号 A317319型*A040349号 A224749号 A040350型

相邻序列:A002203型 A002204号 A00205*A002207 A002208 A002209号

关键字

签名,压裂,美好的

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年7月11日04:28。包含335609个序列。(运行在oeis4上。)