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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A002206号 对数的分子(也指格雷戈里系数G(n))。
(原名M5066 N2194)
34
1, 1, -1, 1, -19, 3, -863, 275, -33953, 8183, -3250433, 4671, -13695779093, 2224234463, -132282840127, 2639651053, -111956703448001, 50188465, -2334028946344463, 301124035185049, -12365722323469980029 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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-1,5
评论
对于n>0 G(n)=(-1)^(n+1)*Integral_{x=0.无穷大}1/((log^2(x)+Pi^2)*(x+1)^n)。G(1)=1/2,对于n>1,G(n)=(-1)^(n+1)/(n+1。欧拉常数由伽玛=Sum_{n>=1}(-1)^(n+1)*G(n)/n给出-格鲁·罗兰2009年1月14日
上述欧拉常数系列是意大利数学家格雷戈里奥·丰塔纳(Gregorio Fontana,1735-1803)和洛伦佐·马斯切罗尼(Lorenzo Mascheroni,1750-1800)于1780-1790年左右发现的,随后又被多次发现(尤其是1879年恩斯特·施罗德(Ernst Schröder)、1923年尼尔斯·诺伦德(Niels E.Nörlund)、C。1924年的Kluyver、1929年的Charles Jordan、1999年的Kenter和2008年的Victor Kowalenko)。有关更多详细信息,请参阅以下参考文献【Blagouchine,2015年】和【Blagoughine,2016年】-伊罗斯拉夫·布拉古钦(Iaroslav V.Blagouchine)2015年9月16日
发件人彼得·巴拉2012年9月28日:(开始)
格雷戈里系数{G(n)}n>=0={1,1/2,-1/12,1/24,-19/720,3/160,…}出现在格雷戈里数值积分求积公式中。积分I=integral_{x=m.n}f(x)dx可以近似为和S=1/2*f(m)+f(m+1)+…+f(n-1)+1/2*f(n)。格雷戈里的差分公式是I-s=Sum_{k>=2}G(k)*{delta^(k-1)(f(n))-delta^。
格雷戈里公式是欧拉-马克拉林求和公式的离散模拟,用有限差分代替导数,用格雷戈里系数代替伯努利数。
Alabdulmohsin第7.3.3节给出了涉及格雷戈里系数的几个恒等式,包括
求和{n>=2}|G(n)|/(n-1)=(1/2)*(log(2*Pi)-1-euler_gamma)和
和{n>=1}|G(n)|/(n+1)=1-log(2)。
(结束)
Blagouchine的文章中给出了更多格雷戈里系数的级数、它们的精确边界、它们在大指数下的完全渐近线,以及与它们相关的许多历史细节(见下文参考文献)-伊罗斯拉夫·布拉古钦(Iaroslav V.Blagouchine)2016年5月6日
以苏格兰数学家和天文学家詹姆斯·格雷戈里(1638-1675)命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月16日
参考文献
尤金·艾萨克森(Eugene Isaacson)和赫伯特·毕晓普·凯勒(Herbert Bishop Keller),《数值方法分析》(Analysis of Numerical Methods),ISBN 0 471 42865 51966,约翰·威利(John Wiley)和索恩(Sons),第318-319页-鲁迪·休斯曼(Rudi Huysmans)(Rudi_Huysmans(AT)hotmail
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Murray S.Klamkin编辑,《应用数学问题:SIAM评论选集》,SIAM,1990年,见第101页[问题87-6]\
维克托·科瓦伦科,倒数对数的性质和应用,应用学报。马塞姆。109(2)(2010)413-437网址:10.1007/s10440-008-9325-0
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
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伊罗斯拉夫·布拉古钦(Iaroslav V.Blagouchine),有理参数下第一广义Stieltjes常数的闭式求值定理及相关求和《数论杂志》(Elsevier),第148卷,第537-592页和第151卷,276-277页,2015年。arXiv版本,arXiv:1401.3724[math.NT],2014年。
伊罗斯拉夫·布拉古钦(Iaroslav V.Blagouchine),广义欧拉常数展开为1/pi^2多项式级数和仅含有理系数的形式包络级数《数论杂志》(Elsevier),第158卷,第365-396页,2016年。arXiv版本,arXiv:1501.00740[math.NT],2015年。
伊罗斯拉夫·布拉古钦(Iaroslav V.Blagouchine),涉及Stirling数的伽马函数对数的两个级数展开式,其中仅包含与1/pi有关的某些参数的有理系数《数学分析与应用杂志》(Elsevier),2016年。arXiv版本,arXiv:1408.3902[math.NT],2014-2016年。
伊罗斯拉夫·布拉古钦(Iaroslav V.Blagouchine),关于泽塔函数Ser和Hasse表示的三点注记,Integers(2018)18A,文章#A3。
伊罗斯拉夫·布拉古钦(Iaroslav V.Blagouchine)和马克·安东尼·科波(Marc-Antoine Coppo),关于zeta函数相关常数及其与Gregory系数关系的注记,arXiv:1703.08601[math.NT],2017年。《拉马努扬杂志》47.2(2018):457-473。
Mark W.Coffey和Jonathan Sondow,科瓦伦科论文关于欧拉常数的非理性的反驳,实际应用。数学。,第121卷(2012年),第1-3页。
J.C.Kluyver,欧拉常数和自然数,程序。K.内德.阿卡德。潮湿。,第27卷,第1-2期(1924年),第142-144页。
Arnold N.Lowan和Herbert E.Salzer,数值积分公式中的系数表,J.数学。物理学。麻省理工学院,第22卷(1943年),第49-50页。[带注释的扫描件]
松中俊树、村原秀树和小野聪,多重zeta函数原点的渐近系数和广义Gregory系数,arXiv:2312.14475[math.NT],2023。
格尔格·内梅斯,第二类Bernoulli数的渐近展开,J.国际顺序。14 (2011) # 11.4.8.
G.M.Phillips,格雷戈里数值积分方法阿默尔。数学。《月刊》,第79卷,第3期(1972年),第270-274页。
Herbert E.Salzer,带差异的重复积分系数表Phil.Mag.,第38卷(1947年),第331-336页。[带注释的扫描副本]
拉斐尔·舒马赫,包含Stirling级数的快速收敛求和公式,arXiv预印arXiv:1602.00336,2016
Patricia C.Stamper,格雷戈里系数表,数学。公司。,第20卷,第95期(1966年),第465页。
埃里克·魏斯坦的数学世界,对数.
维基百科,格雷戈里系数.
吴明和潘浩,第二类Bernoulli数乘积的和,光纤。夸脱。,第45卷,第2期(2007年),第146-150页。
配方奶粉
1/log(1+x)=和{n>=-1}(a(n)/A002207号(n) )*x^n.[由更正罗伯特·伊斯雷尔2015年10月22日]
G(0)=0,G(n)=Sum_{i=1..n}(-1)^(i+1)*G(n-i)/(i+1)+(-1)^(n+1)*n/((2*(n+1)*(n+2))。
a(n)/A002207号(n) =(1/n!)*Sum_{j=1..n+1}bernoulli(j)/j*S_1(n,j-1),其中S1(n,k)是第一类斯特林数Barbara Margolius(b.Margolius(AT)csuohio.edu),2002年1月21日
a(n)/A002207号(n) =1/(n+1)!*总和{k=0..n+1}箍筋1(n+1,k)/(k+1)-弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年9月23日
G(n)=(积分_{x=0..1}x*(x-n)_n)/(n+1)!,其中(a)_n是Pochhammer符号-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年10月22日
a(n)/A002207号(n) =(1/n!)*和{k=0..n+1}(-1)^(k+1)*斯特林2(n+k+1,k)*二项式(2*n+1,n+k)/((n+k+1)*(n+k)),n>0,a(-1)/A002207号(-1)=1,a(0)/A002207号(0)=1/2. -弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年4月5日
a(n)=分子(f(n+1)),其中f(0)=1,f(n)=Sum_{k=0..n-1}(-1)^(n-k+1)*f(k)/(n-k+1)-丹尼尔·苏图2018年11月15日
例子
对数为1、1/2、-1/12、1/24、-19/720、3/160、-863/60480、275/24192、-33953/3628800、8183/1036800、-3250433/479001600、4671/78880、-1369577993/2615348736000、2224234463/475517952000=A002206号/A002207号
MAPLE公司
系列(1/log(1+x),x,25);
与(组合,stirling1):seq(数字(1/i!*总和(bernoulli(j)/(j)*stirlingl(i,j-1),j=1..i+1)),i=1..24);
数学
a[n_]:=总和[StirlingS1[n+1,k]/((n+1)*(k+1)),{k,0,n+1}];表[a[n]//分子,{n,-1,19}](*Jean-François Alcover公司2013年11月29日之后弗拉基米尔·克鲁奇宁*)
分子@表格[集成[x Pochhammer[x-n,n],{x,0,1}]/(n+1)!,{n,-1,20}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年10月22日*)
黄体脂酮素
(极大值)a(n):=和(stirling1(n+1,k)/((n+1)*(k+1)),k,0,n+1);
名单(num(a(n)),n,-1,10)/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年9月23日*/
(最大值)
a(n):=如果n=-1,则为1,如果n=0,则为1/2,否则为1/n*和((-1)^(k+1)*stirling2(n+k+1,k)*二项式(2*n+1,n+k))/((n+k+1)*(n+k)),k,0,n+1)/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年4月5日*/
(PARI)a(n)=分子(和(k=0,n+1,stirling(n+1,k,1)/((n+1)*(k+1))\\米歇尔·马库斯2018年3月20日
(Python)
从数学导入阶乘
从馏分进口馏分
从sympy.functions.combinatial.numbers导入stirling
定义A002206号(n) :return(范围(n+2)中k的总和(分数(stirling(n+1,k,kind=1,signed=True),k+1))/阶乘(n+1))。分子#柴华武2023年2月12日
(SageMath)
从functools导入缓存
@高速缓存
定义h(n):
return(范围(1,n+1)中k的-sum((-1)**k*h(n-k)/(k+1))
+(-1)**n*n/(2*(n+1)*(n+2))
定义a(n):如果n>0,则返回h(n).numer(),否则返回1
打印([a(n)代表范围(-1,20)中的n)])#彼得·卢什尼2023年12月12日
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关键词
签名压裂美好的
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状态
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