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| A014105号 |
| 第二个六角形数：a（n）=n*（2*n+1）。 |
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193
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0、3、10、21、36、55、78、105、136、171、210、253、300、351、406、465、528、595、666、741、820、903、990、1081、1176、1275、1378、1485、1596、1711、1830、1953、2080、2211、2346、2485、2628、2775、2926、3081、3240、3403、3570、3741、3916、4095、4278
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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请注意，当从a（n）^2开始时，第一个n+1和下一个n个连续正方形的序列之间保持相等：a（n（a（n）+n）^2=（a（n）+n+1）^2+（a（m）+n+2）^2+…+（a（n）+2*n）^2；例如，10^2+11^2+12^2=13^2+14^2-亨利·博托姆利，2001年1月22日；拼写错误由修复扎克·塞多夫，2015年9月10日
a（n）=第二组n个连续偶数之和-第一组n个相邻奇数之和：a（1）=4-1，a（3）=（8+10+12）-（1+3+5）=21-阿玛纳斯·穆尔西2002年11月7日
如果Y是（2n+1）-集X的固定3-子集，则a（n）是与Y相交的X的（2n-1）-子集的数目-米兰Janjic2007年10月28日
更一般地说（见第一条注释），对于n>0，设b（n，k）=a（n）+k*（4*n+1）。然后b（n，k）^2+（b（n、k）+1）^2+…+（b（n，k）+n）^2=（b（n，k）+n+1+2*k）^2+…+（b（n，k）+2*n+2*k）^2+k^2；例如，如果n=3和k=2，则b（n，k）=47和47^2+…+50^2 = 55^2 + ... + 57^2 + 2^2. -查理·马里恩2011年1月1日
从0开始，沿0、10……方向读取行，找到序列。。。，从3开始的直线，在方向3，21。。。，在顶点为三角形数的方形螺旋中A000217号. -奥马尔·波尔2011年11月9日
a（n）还给出了简单李代数B_n（n>=2）和C_n（n>=3）的维数-沃尔夫迪特·朗2015年10月21日
带交替符号的部分平方和，以偶数项结尾：a（n）=0^2-1^2+-…+（2*n）^2，参见Berselli的示例和公式，2013年-M.F.哈斯勒2018年7月3日
另外，数字k具有以下性质：在sigma（k）的对称表示中，最小Dyck路径具有中心峰，最大Dyck道路具有中心谷，n>0。（参见。A237593型）-奥马尔·波尔，2018年8月28日
a（n）是顶点位于（0,0）、（2*n+1，2*n）和（2*n+1）^2，4*n^2）的三角形的面积-阿特·贝克2018年12月12日
以下是哈斯勒评论（2018年7月3日）的概述。设P（k，n）为第n个k次方数。然后，对于k>1，带有交替符号的{P（k，n）}的部分和，以偶数项结束，=n*（（k-2）*n+1）-查理·马里恩2021年3月2日
设M_n（H）中的U_n（H）={A：A*A^H=I_n}是四元数上n个Xn酉矩阵的群（A^H是A的共轭转置。注意，通过将A和A^H映射到（2n）X（2n作为实向量空间。基础由{（E）给出_{标准}-E_{ts}），i*（E_{st}+E_{ts}），j*（E_{st}+E_{ts{），k*（E__{st}+E_{ts}）：1<=s<t<=n}U{i*E_{tt}，j*E_{tt}，k*E_{tt}：t=1..n}，其中E_{st{是除（st）-项为1外所有项均为零的矩阵-宋嘉宁2021年4月5日
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参考文献
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Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第77-78页。（在第77页的积分公式中，余弦参数缺少左括号。）
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链接
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Matthew Cho、Anton Dochtermann、Ryota Inagaki、Suho Oh、Dylan Snustad和Bailee Zacovic，码片激发与有符号图的临界群，arXiv:2306.09315[math.CO]，2023。见第22页。
郭乃涵，标准拼图的枚举，arXiv:2006.14070[math.CO]，2020年。
米兰·扬基克，两个枚举函数巴尼亚卢卡大学（波斯尼亚和黑塞哥维那，2017年）。
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配方奶粉
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a（n）^2=n*（a（na（n）+2*n）；例如，10^2=2*（11+12+13+14）-查理·马里恩2003年6月15日
通用格式：x*（3+x）/（1-x）^3。
例如：exp（x）*（3*x+2*x^2）。
a（n）=a（n-1）+4*n-1（a（0）=0）-文森佐·利班迪2010年12月24日
a（n）=和{k=0.2*n}（-1）^k*k^2-布鲁诺·贝塞利，2013年8月29日
a（n）=和{k=0..2}C（n-2+k，n-2）*C（n+2-k，n），对于n>1-J.M.贝戈2014年6月14日
a（n）=楼层（总和{j=（n^2+1）..（（n+1）^2-1）}平方（j））。每个和的分数部分收敛到1/6，即n->无穷大。请参见A247112型对于j^（3/2）上的类似求和序列以及对其他这样的序列的引用-理查德·福伯格2014年12月2日
当n>=3时，a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3），其中a（0）=0，a（1）=3，a（2）=10-哈维·P·戴尔2015年2月10日
a（n）=三项式（2*n，2）=三项式（2*n，2*（2*n-1）），对于n>=1，带有三项式不规则三角形A027907号; 即，三项式（n，k）=A027907号（n，k）。
a（n）=（1/Pi）*Integral_{x=0..2}（1/sqrt（4-x^2））*（x^2-1）^（2*n）*R（4*（n-1），x），对于n>=0，R多项式系数在127672英镑，且R（-m，x）=R（m，x）。[见Comtet，第77页，q=3，n->2*n，k=2的积分公式，用x=2*cos（phi）重写。]（结束）
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=Pi/2+log（2）-2-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年11月28日
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示例
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对于n=6，a（6）=0^2-1^2+2^2-3^2+4^2-5^2+6^2-7^2+8^2-9^2+10^2-11^2+12^2=78-布鲁诺·贝塞利，2013年8月29日
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MAPLE公司
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seq（二项式（2*n+1，2），n=0..46）#零入侵拉霍斯，2007年1月21日
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数学
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线性递归[{3，-3，1}，{0，3，10}，50](*哈维·P·戴尔2015年2月10日*）
系数列表[级数[x*（3+x）/（1-x）^3，{x，0，50}]，x](*斯特凡诺·斯佩齐亚2018年9月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n*（2*n+1）
（哈斯克尔）
a014105 n=n*（2*n+1）
a014105_list=扫描（+）0 a004767_list--莱因哈德·祖姆凯勒，2012年10月3日
（岩浆）[0..50]]中的[n*（2*n+1）:n//韦斯利·伊万·赫特2014年6月14日
（GAP）列表（[0..50]，n->n*（2*n+1））#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年10月31日
（弧垂）[n*（2*n+1）表示n在范围（50）内]#G.C.格鲁贝尔2018年12月16日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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已批准
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