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球体


球

球体定义为三维欧氏空间中所有点的集合R^3(参考号:3)位于远处的第页(“半径")从给定点(“中心“)。加倍半径被称为直径,和球面上相对两侧的点对直径被称为对极.

不幸的是,几何学家和地形学家对“n个-球体,”几何学家指基础空间中的坐标数(“因此是二维的球体是一个圆”,考克塞特1973年,第125页),拓扑学家指表面本身的尺寸(“n个-量纲球体序号定义为所有点的集合x=(x_1,x_2,…,x_(n+1))在里面E^(n+1)令人满意的x_1^2++x(n+1)^2=1,“霍金与杨1988,第17页;(n-1)-球体S^(n-1){R^n|d(x,0)中的x=1},“蒙德1997年,第21页)。因此,几何学家称通常球体的表面为3球体,而地形学家则称之为将其作为2个球体,并将其表示为序号^2.

无论选择何种惯例来索引球体的尺寸数,术语“球体”仅指曲面,因此通常的球体是一个二维曲面。“球体”一词的口语用法参考内部因此不鼓励使用球体的内部球体(即“固体球体”)被更恰当地称为“."

球体在中实现Wolfram语言作为球体[{x个,,z(z)},第页].

这个表面积球体和体积属于半径 R(右)由给定

S公司=4位^2
(1)
V(V)=4/3像素^3
(2)

(拜尔1987年,第130页)。关于球体和圆柱体(约公元前225年),阿基米德成为第一个推导这些方程的人(尽管他表示圆周率以球体的圆形表示交叉部分). 事实上

 (V_(球体))/(V_(外接圆柱体)-V_(球体))=2
(3)

阿基米德也知道(斯坦豪斯1999年,第223页;威尔斯1991年,第236-237页)。

任何横截面通过球体是圆圈(或者,在退化情况下,切片飞机与球体相切,一个点)。的大小圆圈飞机定义交叉部分通过直径.

球面方程半径 R(右)以原点为中心笛卡尔协调通过

 x^2+y^2+z^2=R^2,
(4)

这是椭球体

 (x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)+(z^2)\(c^2)=1
(5)

球体

 (x^2+y^2)/(a^2)+(z^2)/(c^2)=1。
(6)

以该点为中心的球面的笛卡尔方程(x0,y0,z0)带半径R(右)由提供

 (x-x_0)^2+(y-y_0)*2+(zz_0)|2=R^2。
(7)

中心位于原点的球体也可以在球形的协调通过

x个=rhocosthetasinphi公司
(8)
年=rhosinthetasinphi公司
(9)
z(z)=菱形,
(10)

哪里θ是一个方位坐标从0到2π(经度),φ是从0到的极坐标圆周率(可乐味)、和ρ半径请注意还有其他几种符号有时用于表示θφ互换或第页使用而不是ρ.如果ρ允许从0运行到给定半径 第页,然后是固体获得。

中心位于原点的球体也可以通过以下方式进行参数化表示u=锆石,所以

x个=sqrt(r^2-u^2)连帽衫
(11)
年=平方(r^2-u^2)sintheta
(12)
z(z)=u、,
(13)

哪里θ从0运行到2πu个从开始运行-第页第页.

球面的推广n个尺寸称为超球面.n个-维度的超球面,也称为n个-球体(按照几何学家的约定),因此可以指定以原点为中心根据方程式

 x_1^2+x_2^2++x_n^2=r^2。
(14)

当然,地形学家会把这个方程看作是描述(n-1)-球体。

球体的体积,V=4piR^3/3,可以在中找到笛卡尔,圆柱形的,球面坐标分别为,使用积分

V(V)=int_(-R)^环(-sqrt(R^2-x^2))
(15)
=int_0^(2pi)int_0^ Rint_(-sqrt(R^2-R^2))^(sqrt(R^2-R^2))rdzdrdtheta
(16)
=int_0^(2pi)int_0^piint_0^Rrho^2sinphidrhodphidtheta。
(17)

半径球体的内部R(右)和质量M(M)具有惯性矩张量

 I=[2/5MR^20 0;0 2/5MR^20;0 0 2/5RM^2]。
(18)

转换为“标准”参数变量a=ρ,u=θ,v=φ给出了第一基本形式

E类=a^2英寸^2伏
(19)
如果=0
(20)
G公司=a^2,
(21)

第二基本形式系数

e(电子)=asin ^2伏
(22)
(f)=0
(23)
克=a、,
(24)

面积元素

 dA=a^2sinvdu^dv,
(25)

高斯曲率

 K=1/(a^2),
(26)

平均曲率

 H=1/a。
(27)

给定球体上的两个点,球体表面上连接它们的最短路径(测地线的)是一个圆圈称为伟大的圆圈.带点球体的方程(x_1,y_1,z_1)(x2,y2,z2)躺在直径由提供

 (x-x1)(x-x2)+(y-y_1)(y-y_2)+(zz_1)。
(28)

四个点足以唯一定义一个球体。给出分数(x i,y i,z i)具有i=1、2、3和4,包含它们的球体由美丽的行列式方程式

 |x^2+y^2+z^2xyz1;x_1^2+y_1^2+z_1^2x_1y_1z_11;x_2^2+y_2^2+z_2^2x_2y_2z_21;x_3^2+y_3^2+z_3^2 x_3y_3z_31;x_4^2+y_4^2+z_4^ 2 x_4y_4 z_4 1|=0
(29)

(拜尔1987年,第210页)。


另请参见

,宾定理,一碗整数,气泡,圆形,锥形球体交叉,圆柱-球体相交,蒲公英球,直径,双球体,椭球体,异国情调的球体,大地测量学圆顶,手套,超球体,利伯曼定理,刘维尔的一致性定理,米库森斯基的问题,噪波球体,扁形球体,密切接触球,可并联,Prolate球体,半径,按球体划分的空间,球体包装,球体线条拾取,球体点拾取,球体-球体相交,球形代码,球形的月牙,球形楔子,超级蛋,超级球,切线球体,网球定理 在MathWorld课堂上探讨这个主题

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引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“球体”来自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Sphere.html

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