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球面坐标


球面坐标

球坐标,也称为球极坐标(Walton 1967,Arfken 1985),是一种曲线坐标球体.定义θ为中的方位角xy公司-飞机来自x个-轴具有0<=θ<2pi(表示λ当被称为经度),φ成为极角(同时被称为天顶角可乐味,具有φ=90度-增量哪里三角洲纬度)从正面来看z(z)-轴具有0<=φ<=π,第页为距离(半径)从一点到起源.这是数学中常用的惯例。

在这项工作中,遵循数学惯例,径向线的符号,方位角、和天顶角坐标取为第页,θ、和φ分别是。请注意,此定义提供了一个逻辑常规的延伸极坐标符号,具有θ保留xy公司-飞机φ成为从中解脱出来飞机.本工作中本公约的唯一例外在中球面谐波,其中约定保留了物理学文献中使用的内容(希望能少一些比愚蠢的严格一致性可能产生的混乱)。

不幸的是,符号的约定θφ颠倒过来(无论是在含义上还是在列出的顺序上)经常使用的,尤指在物理学中。这尤其令人困惑,因为记数法(r,θ,φ)对数学家来说通常是指(径向、方位角、极性),但(径向、极性、,方位角)给物理学家。符号ρ有时也用来代替第页,θ而不是θ、和φ磅/平方英寸而不是φ。下表总结了一些约定被不同的作者使用。因此,查阅文献时需要格外小心。

秩序记数法参考
(径向、方位、极性)(r,θ,φ)这项工作
(径向、方位、极性)(ρ,θ,φ)阿波斯托(1969年,第95页),安东(1984,第859页),拜尔(1987,第212页)
(径向,极坐标、方位角)(r,θ,φ)三维球面图Wolfram语言
(径向、极性、方位角)(r,θ,φ)ISO 31-11,Misner等人。(1973年,第205页)
(径向、极性、方位角)(r,θ,φ)阿夫肯(1985年,第102页)
(径向,极坐标、方位角)(r,θ,psi)Moon and Spencer(1988年,第24页)
(径向、极性、方位角)(r,θ,φ)Korn和Korn(1968年,第60页),Bronshtein等人(2004年,第209-210页)
(径向,极坐标、方位角)(ρ,φ,θ)Zwillinger(1996年,第297-299页)

球面坐标(r,θ,φ)笛卡尔坐标 (x,y,z)通过

第页=平方英尺(x^2+y^2+z^2)
(1)
θ=tan(-1)(年/月)
(2)
φ=cos^(-1)(z/r),
(3)

哪里[0,infty中的r),θ(单位:[0,2pi),φin[0,pi],逆切线必须适当定义取正确的象限(x,y)考虑到。

依据笛卡尔坐标,

x个=rcosthetasinphi公司
(4)
年=rsinthetasinphi公司
(5)
z(z)=rcospi公司。
(6)

这个比例因子

小时=1
(7)
hθ=rsinphi公司
(8)
hφ=第页,共页,
(9)

所以米制的 系数

g(rr)=1
(10)
g_(θ)=r^2英寸^2磅
(11)
g(菲菲)=第^2页。
(12)

这个线条元素

 ds=drr^^+rdphiphi^^+rsinphidtheta^^,
(13)

这个面积元素

 da=r^2sinphidthetadphi,
(14)

体积元素

 dV=r^2输入档位。
(15)

这个雅可比(Jacobian)

 |(偏(x,y,z))/(偏(r,θ,φ))|=r^2sinphi。
(16)

这个半径向量

 r=[rcosthetasinphi;rsinthetasinphis;rcospi],
(17)

所以单位向量

对^^=((博士)/(博士)
(18)
=[科斯塔辛菲;sinthetasinphi;cosphi]
(19)
θ^^=((dr)/(dtheta))/(
(20)
=[-sintheta;costheta;0]
(21)
φ^^=((dr)/(dphi))/(
(22)
=【costhetacosphi;sinthetacosph;-sinphi】。
(23)

的衍生品单位向量

(partial^^)/(partial)=0
(24)
(partialtheta ^^)/(partial)=0
(25)
(partialphi^^)/(partial)=0
(26)
(partial^^)/(partialtheta)=辛菲西塔^^
(27)
(partialtheta)/(partiaaltheta)=-科斯菲菲·辛菲尔^^
(28)
(partialphi^^)/(partialtheta)=哥斯菲人^^
(29)
(partial^^)/(partialphi)=φ^^
(30)
(partialtheta)/(partialphi)=0
(31)
(partialphi ^^)/(partialbhi)=-r ^^。
(32)

这个梯度

 del=r^^部分/(partial)+1/rphi^^局部/(parialphi)+1/(rsinphi)θ^部分(partialtheta),
(33)

其组件为

删除(_R)^^=0
(34)
删除(_T)^^=1/rtheta号^^
(35)
删除位(_phir)^^=1/rphi^^
(36)
del _θ^^=0
(37)
del _thetatheta(交付)^^=-(cotphi)/rphi^^-1/rr^^
(38)
del _phitheta(德普希塔)^^=0
(39)
德尔·菲法^^=0
(40)
三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲三角洲^^=1/rcotphitheta(罗氏)^^
(41)
del _phiphi(派)^^=-1个/rr^^
(42)

(米斯纳等。1973年,第213页,然而,他使用了符号惯例(r,phi,theta)).

这个第二类克里斯托弗符号在米斯纳的定义中等。(1973年,第209页)通过

伽马射线=[0 0 0;0-1/r 0;0 0-1/r]
(43)
伽马θ=[0 1/r 0;0 0 0;0(cotphi)/r 0]
(44)
伽马φ=[0 0 1/r;0-(cotphi)/r 0;0 0 0]
(45)

(米斯纳等。1973年,第213页,然而,他使用了符号惯例(r,φ,θ)).这个第二个的克里斯托弗符号友善的在Arfken(1985)的定义中

伽马射线=[0 0 0;0-rsin^2phi 0;0 0-r]
(46)
伽马θ=[0 1/r 0;1/r 0坐标系;0坐标系0]
(47)
伽马φ=[0 0 1/r;0-sinphicosphi 0;1/r 0 0]
(48)

(沃尔顿1967年;穆恩和斯宾塞1988年,第25a页;但他们都使用符号惯例(r,φ,θ)).

这个发散

 del·F=部分/(partial)A^r+2/rA^r+1/(rsinphi)部分/(pertialtheta)A^theta+1/rpartial/(parialphi)A^phi+(cotphi)/rA~phi,
(49)

或,in矢量符号,

德尔·F=(2/r+partial/(partial))F_r+(1/rpartial/(partialphi)+(cotphi)/r)F_phi+1/(rsinphi)(partialF_theta)/(parcialtheta)
(50)
=1/(r^2)partial/(partial)(r^2F_r)+1/(rsinphi)partial/(partialphi)(sinphiF_phi)+1/(rsinsphi)(partialF_theta)/(particaltheta)。
(51)

这个协变导数由提供

 A_(j;k)=1/(g_(kk))(部分A_j)/(部分x_k)-γ_(jk)^iA_i,
(52)

所以

A_(r;r)=(partialA_r)/(partial)
(53)
A_(r;θ)=1/(rsinphi)(partialA_r)/(partialphi)-(A_theta)/r
(54)
A_(r;φ)=1/r((partialA_r)/(partialphi)-A_phi)
(55)
A_(θ;r)=(partialA_theta)/(partial)
(56)
A_(θ;θ)=1/(rsinphi)(partialA_theta)/(partialtheta)+(cotphi)/rA_phi+(A_r)/r
(57)
A_(θ;φ)=1/r(partialA_theta)/(partial)-Gamma_(phir)^iA_i(partialaA_theta/(parialphi)
(58)
A_(φ;r)=(partialA_phi)/(partial)-Gamma_(phir)^iA_i=
(59)
A_(φ;θ)=1/(rsinphi)(partialA_phi)/(partialtheta)-(cotphi)/rA_theta
(60)
A_(φ;φ)=1/r(partialA_phi)/(partialphi)+(A_r)/r。
(61)

这个交换系数已给出通过

 c(字母表)^mue^->_mu=[e^->字母表,e^->字母表]=del字母表^->_字母表^->字母
(62)
 [r^^,r^^]=[θ^^,
(63)

所以c(rr)^alpha=c(θ)^阿尔法=c(phiphi)^阿尔法=0,哪里α=r,θ,φ.

 [r^^,theta^^]=-[theta^,r^^]=del_rtheta^^-del_thetar^^=0-1/rtheta|^=-1/rtheta,
(64)

所以c(rtheta)^θ=-c(θ)^ theta=-1/r,c(rtheta)^r=c(rtherta)^phi=0.

 [r^^,phi^^]=-[phi^^,
(65)

所以c(rphi)^phi=-c(phir)^phi=1/r.

 [θ^^,φ^^]=-[φ^,θ^]=1/rcotphitheta ^^-0=1/rcot phitheta,
(66)

所以

 c(thetaph)^theta=-c(phitheta)^theta=1/rcotphi。
(67)

总结,

抄送(c)=[0 0 0; 0 0 0; 0 0 0]
(68)
cθ=[0-1/r 0;1/r 0 1/rcotphi;0-1/rcotfi 0]
(69)
cφ=[0 0-1/r;0 0 0;1/r 0 0]。
(70)

时间导数半径向量

参考号:。=[costhetasinphir^.-rsinthetasinphitheta^.+rcosthetacosphiphi^.;sinthetainsphir^.+rcosthertasinphitheta^.+rsinthesphiphi;cosphir^.-rsinphiphi^.]
(71)
=[costhetasinophi;sinthetasinophi;cosphi]r^+rsinphi[-sintheta;costheta;0]θ^+r[costhetacosphi;sinthetacospi;-sinphi]φ^。
(72)
=r^.r^^+rsinphitheta^theta^^+orpi^.phi^^。
(73)

这个速度因此,由

 v=|r^|=平方英尺(r^.^2+r^2平方英寸^2平方英寸^.^2+r^2平方英寸^.^2)。
(74)

这个加快

x^。。=(-sinthetasinphitheta^.r^.+costhetacosphir^.phir^.+costhetasinphir^..)-
(75)
=-2个inthetasinphitheta ^.r^+2科斯特塔科狮身人面像^.phi^-第二个是tac ospheritheta^.phi^+coshetasinphir^-rsintasinwhitheta^+rcosthetacophiphi^-rcosthetasinphi(θ^2+φ^2)
(76)
y^。。=(sinthetasinphir^..+rcosthetasinphitheta^.+rcoshetasinphitha^.)+
(77)
=2costhetasinphitheta^.r^+2英寸狮身人面像^.phi^+2rcosthetacospitheta^.phi^+自第二个月起+rcosthetasinphitheta^+rsinthetachophi^-rsinthetasinphi(θ^.2+φ^.2)
(78)
z^。。=(cosphir^..-sinphir^.phi)-(r^.sinphiphi^.+rcosphiphi^.2+rsinphiphi)
(79)
=-rcosphiphi^^2+cosphir ^-2sinphiphi^.r^-rsinphiphi^。。。
(80)

将这些插入即可

r ^。。=(r^..-rphi^.^2)[costhetasinphi;sinthetasinpi;cosphi]+(2rcospitheta^.phi^.+2sinphitheta^.r^.+rsinphitheta)[-sintheta;costheta;0]+(2 r^.phi ^.+rphi^..)[costetacosphi;sinthe tacosphin;-sinphi]-rsinphitheta^^2[costheta;sintheta;0],
(81)

但是

辛菲尔^^+科斯菲菲^^=[costhetasin ^2phi+costhetabos ^2 phi;sinthetasin |2phi+sinthetacos ^2pi;0]
(82)
=[costheta;sintheta;0],
(83)

所以

r ^。。=(r^..-rphi^.^2)r^^+(2rcospitheta^.phi^.+2sinphitheta^.r^.+rsinhitheta^..)θ^+(2 r^.phi ^.+rphi^..)phi^^-rsinphitheta ^^2(sinphir^^+余弦^^)
(84)
=(r^..-rphi^.^2-rsin^2phitheta^.^2)r^^+(2sinphitheta^.r^.+2rcospitheta^.phi^.+rsinphitheta ^..)theta^^+。
(85)

时间衍生产品单元向量

r^^^。=sinphitheta^θ^^+φ^φ^^
(86)
θ^^^。=-θ^。(辛菲尔^^+科斯菲菲^^)
(87)
φ^^。=-φ^.r^^+cosphitheta^.theta^^。
(88)

这个卷曲

 del×F=1/(rsinphi)[partial/(partialphi)(sinphiF_theta)-(partialF_phi)/(partialtheta)]r^^+1/r[1/。
(89)

这个拉普拉斯语

删除^2=1/(r^2)部分/(partial)(r^2partial/
(90)
=1/(r^2)(r ^2(partial ^2)/(partial^2)+2r partial/(partiall))+1/(r ^2sin^2phi)(partials ^2)/(partialtheta ^2)+1/
(91)
=(偏^2)/(部分^2)+2/rpartial/(部分)+1/(r^2sin^2phi)(部分^1)/(partialtheta^2)+(cosphi)/(r~2sinphi)部分/(部分(partialphi)+1/。
(92)

这个向量拉普拉斯算子在球坐标系中由提供

 del^2v=[1/r(部分^2(rv_r))/(部分^ 2)+1/(r^2)(部分^2v_r)/(局部^ 2 v_r hi)-(2v_r)/(r^2)-(2 cottheta)/(r ^2)v_theta1/r(部分^2(rv_(θr^2)(partialvr)/(partialtheta)-(v_(theta))/(r^2sin^2theta)1/r(偏^2(rv_(phi)))/(部分^2)+1/(r^2)alv(θ)/(partialphi)-(v(φ))/(r^2sin^2θ)]。
(93)

表达偏导数关于笛卡尔轴偏导数球坐标的,

[x;y;z]=[rcosthetasinphi;rsinthetasinpi;rcospi]
(94)
[dx;dy;dz]=[costhetasinphidr-rsinthetasinphidteta+rcosthetacosphidphi;sinthetainshidr+rsinhichosthetadtheta+rsinthesphidpphi;cosphidr-rsinphidphi]
(95)
=[costhetasinphi-rsinthetasinphi rcosthetacosphi;sinthetainsphi-rosthetasinpi-rsinthetophi;cosphi0-rsinphi][dr;dtheta;dphi]。
(96)

反演后,结果是

 [dr;dtheta;dphi]=[costhetasinphi sinthetasinphi-cosphi;-(sintheta)/(rsinphi)(costheta)/。
(97)

笛卡尔偏导数球形的因此坐标为

部分/(partialx)=costhetasinphipartial/(partial)-(sintheta)/(rsinphi)partial/(partialtheta)+(costhetabophi)/rpartial/
(98)
部分/(部分)=sinthetasinphipartial/(partial)+(costheta)/(rsinphi)partial/(partialtheta)+(sinthetacosphi)/rpartial/(parialphi)
(99)
部分/(部分)=余弦部分/(偏r)-(sinphi)/rpartial/(偏phi)
(100)

(Gasiorowicz 1974年,第167-168页;Arfken 1985年,第108页)。

这个亥姆霍兹微分方程在球坐标中是可分离的。


另请参见

方位角,Colatitude公司,大圆圈,亥姆霍兹微分方程——球坐标,纬度,经度,扁形球面坐标,极轴角度,极地的协调,极坐标图,极地的矢量,延长球坐标,天顶角 在数学世界课堂上探索这个主题

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

H·安东。解析几何微积分,第二版。纽约:威利出版社,1984年。阿波斯托,总经理。微积分,第2版,第2卷:多元微积分和线性代数及其应用微分方程和概率。马萨诸塞州沃尔瑟姆:布莱斯德尔,1969年。阿夫肯,G.“球面极坐标”第2.5节数学物理学家方法,第三版。佛罗里达州奥兰多:学术出版社,第102-111页,1985Beyer,W.H。CRC公司标准数学表,第28版。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,1987年。布朗什坦,身份证号码。;Semendyayev,K.A。;穆索尔,G。;和Muehlig,H。手册数学,第四版。纽约:Springer-Verlag,2004年。Gasiorowicz,美国。量子物理学。纽约:威利出版社,1974年。科恩,G.A。和Korn,T.M。数学科学家和工程师手册。纽约:麦格劳·希尔,1968年。米斯纳,C.W。;Thorne,K.S。;和J.A.Wheeler。引力。加利福尼亚州旧金山:W.H。弗里曼,1973年。Moon、P.和Spencer,D.E.博士。“球面坐标(r,θ,psi)“表1.05英寸字段理论手册,包括坐标系、微分方程及其解决方案,第2版。纽约:Springer-Verlag,第24-27页,1988年。莫尔斯,下午。和Feshbach,H。方法理论物理第一部分。纽约:McGraw-Hill,第658页,1953年。沃尔顿,J·J。“计算机上的张量计算:附录。”通信ACM 10,183-186, 1967.Zwillinger,D.(编辑)。“空间球面坐标。”§4.9.3英寸CRC公司标准数学表和公式。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第297-298页,1995

参考Wolfram | Alpha

球面坐标

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“球面坐标。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

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