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球面坐标

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球面坐标

球坐标，也称为球极坐标（Walton 1967，Arfken 1985），是一种曲线坐标在球或球体.定义θ为中的方位角xy公司-飞机来自x个-轴具有0<=θ<2pi（表示λ当被称为经度),φ成为极角（同时被称为天顶角和可乐味,具有φ=90度-增量哪里三角洲是纬度)从正面来看z（z）-轴具有0<=φ<=π,和第页为距离(半径)从一点到起源.这是数学中常用的惯例。

在这项工作中，遵循数学惯例，径向线的符号，方位角、和天顶角坐标取为第页,θ、和φ分别是。请注意，此定义提供了一个逻辑常规的延伸极坐标符号，具有θ保留角在中xy公司-飞机和φ成为角从中解脱出来飞机.本工作中本公约的唯一例外在中球面谐波，其中约定保留了物理学文献中使用的内容（希望能少一些与愚蠢而严格的一致性相比，可能会产生混乱）。

不幸的是，符号的约定θ和φ颠倒过来（无论是在含义上还是在列出的顺序上）经常使用，尤其是在物理学中。这尤其令人困惑，因为符号（r，θ，phi）通常对数学家来说是指（径向、方位角、极轴），但（径向、极轴、，方位角）给物理学家。符号ρ有时也用来代替第页,θ而不是θ、和φ和磅/平方英寸而不是φ。下表总结了一些约定被不同的作者使用。因此，查阅文献时需要格外小心。

秩序符号参考
（径向、方位角、极坐标）（r，θ，φ）这项工作
（径向、方位、极性）（ρ，θ，φ）阿波斯托（1969年，第95页），安东（1984，第859页），拜尔（1987，第212页）
（径向，极坐标、方位角）（r，θ，φ）三维球面图在中Wolfram语言
（径向、极性、方位角）（r，θ，φ）ISO 31-11，Misner等人。（1973年，第205页）
（径向、极性、方位角）（r，θ，φ）阿夫肯（1985年，第102页）
（径向，极坐标、方位角）（r，θ，磅/平方英寸）Moon and Spencer（1988年，第24页）
（径向、极性、方位角）（r，θ，φ）Korn和Korn（1968年，第60页），Bronshtein等人（2004年，第209-210页）
（径向，极坐标、方位角）（ρ，φ，θ）Zwillinger（1996年，第297-299页）

球面坐标（r，θ，phi）与笛卡尔协调 （x，y，z）通过

第页=平方（x^2+y^2+z^2）
(1)
θ=棕褐色^（-1）（y/x）
(2)
φ=cos^（-1）（z/r），
(3)

哪里[0，infty中的r）,θ（单位：[0,2pi）,和φin[0，pi],和反切线必须适当定义取正确的象限（x，y）考虑到。

依据笛卡尔坐标,

x个=rcosthetasinphi公司
(4)
年=rsinthetasinphi公司
(5)
z（z）=rcospi公司。
(6)

这个比例因子是

小时=1
(7)
hθ=rsinphi公司
(8)
hφ=第页，共页，
(9)

所以米制的 系数是

g（rr）=1
(10)
g_（θ）=r^2英寸^2磅
(11)
g（菲菲）=第^2页。
(12)

这个线条元素是

ds=drr^^+rdphiphi^^+rsinphidtheta^^，
(13)

这个面积元素

da=r^2sinphidthetadphi，
(14)

和体积元素

dV=r^2输入档位。
(15)

这个雅可比（Jacobian）是

|（偏（x，y，z））/（偏（r，θ，φ））|=r^2sinphi。
(16)

这个半径向量是

r=[rcosthetasinphi；rsinthetasinphis；rcospi]，
(17)

所以单位向量是

第页^^=（（博士）/（博士）
(18)
=[成本；成本；成本]
(19)
θ^^=（（dr）/（dtheta））/（
(20)
=[-sintheta；costheta；0]
(21)
φ^^=（（dr）/（dphi））/（
(22)
=【costhetacosphi；sinthetacosph；-sinphi】。
(23)

的衍生品单位向量是

（partial^^）/（partial）=0
(24)
（partialtheta ^^）/（partial）=0
(25)
（partialphi^^）/（partial）=0
(26)
（partial^^）/（partialtheta）=辛菲θ^^
(27)
（partialtheta）/（partiaaltheta）=-科斯菲菲·辛菲尔^^
(28)
（partialphi^^）/（partialtheta）=哥斯菲人^^
(29)
（partial^^）/（partialphi）=φ^^
(30)
（偏θ^^）/（偏φ）=0
(31)
（partialphi ^^）/（partialbhi）=-r ^^。
(32)

这个梯度是

del=r^^部分/（partial）+1/rphi^^局部/（parialphi）+1/（rsinphi）θ^部分（partialtheta），
(33)

其组件为

删除（_R）^^=0
(34)
删除（_T）^^=1/rtheta号^^
(35)
删除位（_phir）^^=1/rphi^^
(36)
del _θ^^=0
(37)
del _thetatheta（交付）^^=-（cotphi）/rphi^^-1/rr^^
(38)
del _phitheta（德普希塔）^^=0
(39)
德尔·菲法^^=0
(40)
del _thetaphi（删除标签）^^=1/rcotphitheta（罗氏）^^
(41)
del _phiphi（派）^^=-1/rr号^^
(42)

（米斯纳等。1973年，第213页，然而谁使用了记谱法公约（r，φ，θ）).

这个第二类克里斯托弗符号在米斯纳的定义中等。（1973年，第209页）通过

伽马射线=[0 0 0；0-1/r 0；0 0-1/r]
(43)
伽马θ=[0 1/r 0；0 0 0；0（cotphi）/r 0]
(44)
伽马φ=[0 0 1/r；0-（cotphi）/r 0；0 0 0]
(45)

（米斯纳等。1973年，第213页，然而，他使用了符号惯例（r，φ，θ）).这个第二个的克里斯托弗符号友善的在Arfken（1985）的定义中

伽马射线=[0 0 0；0-rsin^2phi 0；0 0-r]
(46)
伽马θ=[0 1/r 0；1/r 0坐标系；0坐标系0]
(47)
伽马φ=[0 0 1/r；0-sinphicosphi 0；1/r 0 0]
(48)

（沃尔顿1967年；穆恩和斯宾塞1988年，第25a页；但他们都使用符号惯例（r，φ，θ）).

这个发散是

del·F=部分/（partial）A^r+2/rA^r+1/（rsinphi）部分/（pertialtheta）A^theta+1/rpartial/（parialphi）A^phi+（cotphi）/rA~phi，
(49)

或，in矢量符号，

德尔·F=（2/r+partial/（partial））F_r+（1/rpartial/（partialphi）+（cotphi）/r）F_phi+1/（rsinphi）（partialF_theta）/（parcialtheta）
(50)
=1/（r^2）partial/（partial）（r^2F_r）+1/（rsinphi）partial/（partialphi）（sinphiF_phi）+1/（rsinsphi）（partialF_theta）/（particaltheta）。
(51)

这个协变导数由提供

A_（j；k）=1/（g_（kk））（部分A_j）/（部分x_k）-γ_（jk）^iA_i，
(52)

所以

A_（r；r）=（partialA_r）/（partial）
(53)
A_（r；θ）=1/（rsinphi）（partialA_r）/（partialphi）-（A_theta）/r
(54)
A_（r；φ）=1/r（（partialA_r）/（partialphi）-A_phi）
(55)
A_（θ；r）=（partialA_theta）/（partial）
(56)
A_（θ；θ）=1/（rsinphi）（partialA_theta）/（partialtheta）+（cotphi）/rA_phi+（A_r）/r
(57)
A_（θ；φ）=1/r（partialA_theta）/（partial）-Gamma_（phir）^iA_i（partialaA_theta/（parialphi）
(58)
A_（φ；r）=（partialA_phi）/（partial）-Gamma_（phir）^iA_i=
(59)
A_（φ；θ）=1/（rsinphi）（partialA_phi）/（partialtheta）-（cotphi）/rA_theta
(60)
A_（φ；φ）=1/r（部分A_phi）/（部分phi）+（A_r）/r。
(61)

这个交换系数已给出通过

c（字母表）^mue^->_mu=[e^->字母表，e^->字母表]=del字母表^->_字母表^->字母
(62)
[r^^，r^^]=[θ^^，
(63)

所以c（rr）^alpha=c（θ）^阿尔法=c（phiphi）^阿尔法=0,哪里α=r，θ，φ.

[r^^，theta^^]=-[theta^，r^^]=del_rtheta^^-del_thetar^^=0-1/rtheta|^=-1/rtheta，
(64)

所以c（θ）^θ=-c（θ）^θ=-1/r,c（rtheta）^r=c（rtherta）^phi=0.

[r^^，phi^^]=-[phi^^，
(65)

所以c（rphi）^phi=-c（phir）^phi=1/r.

[θ^^，φ^^]=-[φ^，θ^]=1/rcotphitheta ^^-0=1/rcot phitheta，
(66)

所以

c（thetaph）^theta=-c（phitheta）^theta=1/rcotphi。
(67)

总结，

抄送（c）=[0 0 0; 0 0 0; 0 0 0]
(68)
cθ=[0-1/r 0；1/r 0 1/rcotphi；0-1/rcotfi 0]
(69)
cφ=[0 0-1/r；0 0 0；1/r 0 0]。
(70)

时间导数半径向量是

参考号：。=[costhetasinphir^.-rsinthetasinphitheta^.+rcosthetacophiphi^.；sinthetainsphir^.+rcosthertasinphitheta^.+rsinthetachiphiphi^；cosphir^.-rsinphiphi^.]
(71)
=[costhetasinphi；sinthetasinpi；cosphi]r ^+rsinphi[-sintheta；costheta；0]θ^+r[costhetacosphi；sinthetacospi；-sinphi]φ^。
(72)
=r^.r^^+rsinphitheta^.theta^^+rphi^.phi^^。
(73)

这个速度因此由

v=|r^|=平方（r^.2+r^2sin^2phitheta^.^2+r^2 phi^.^2）。
(74)

这个加快是

x^。。=（-sinthetasinphitheta^.r^.+costhetacosphir^.phir^.+costhetasinphir^..）-
(75)
=-2个inthetasinphitheta ^.r^+2科斯特塔科狮身人面像^.phi^-第二个是tac ospheritheta^.phi^+coshetasinphir^-rsintasinwhitheta^+rcosthetacophiphi^-rcostheshinphi（θ^.^2+φ^.^2）
(76)
y^。。=（sinthetasinphir^..+rcosthetasinphitheta^.+rcoshetasinphitha^.）+
(77)
=2costhetasinphitheta^.r^+2英寸狮身人面像^.phi^+2rcosthetacospitheta^.phi^+自第二个月起+这是一个很好的例子+rsinthetachophi^-rsinthetasinphi（θ^.2+φ^.2）
(78)
z^。。=（cosphir^..-sinphir^.phi）-（r^.sinphiphi^.+rcosphiphi^.2+rsinphiphi）
(79)
=-rcosphiphi^^2+cosphir ^-2sinphiphi^.r^-rsinphiphi^。。。
(80)

将这些插入即可

r ^。。=（r^..-rphi^.^2）[costhetasinphi；sinthetasinpi；cosphi]+（2rcospitheta^.phi^.+2sinphitheta^.r^.+rsinphitheta）[-sintheta；costheta；0]+（2 r^.phi ^.+rphi^..）[costetacosphi；sinthe tacosphin；-sinphi]-rsinphitheta^^2[costheta；sintheta；0]，
(81)

但是

辛菲尔^^+科斯菲菲^^=[costhetasin ^2phi+costhetabos ^2 phi；sinthetasin |2phi+sinthetacos ^2pi；0]
(82)
=[costheta；sintheta；0]，
(83)

所以

r ^。。=（r^..-rphi^.^2）r^^+（2rcospitheta^.phi^.+2sinphitheta^.r^.+rsinhitheta^..）θ^+（2 r^.phi ^.+rphi^..）phi^^-rsinphitheta ^^2（辛菲尔^^+科斯菲菲^^）
(84)
=（r^..-rphi^.^2-rsin^2phitheta^.^2）r^^+（2sinphitheta^.r^.+2rcospitheta^.phi^.+rsinphitheta ^..）theta^^+。
(85)

时间衍生产品的单元向量是

r^^^。=辛菲西塔^.theta ^^+phi^.phi^^
(86)
θ^^^。=-θ^。（sinphir^^+cosphiphi ^^）
(87)
φ^^。=-φ^.r^^+cosphitheta^.theta^^。
(88)

这个卷曲是

del×F=1/（rsinphi）[partial/（partialphi）（sinphiF_theta）-（partialF_phi）/（partialtheta）]r^^+1/r[1/。
(89)

这个拉普拉斯语是

删除^2=1/（r^2）部分/（partial）（r^2partial/
(90)
=1/（r^2）（r ^2（partial ^2）/（partial^2）+2r partial/（partiall））+1/（r ^2sin^2phi）（partials ^2）／（partialtheta ^2）+1/
(91)
=（偏^2）/（部分^2）+2/rpartial/（部分）+1/（r^2sin^2phi）（部分^1）/（partialtheta^2）+（cosphi）/（r~2sinphi）部分/（部分（partialphi）+1/。
(92)

这个向量拉普拉斯算子在球坐标系中由提供

del^2v=[1/r（部分^2（rv_r））/（部分^ 2）+1/（r^2）（部分^2v_r）/（局部^ 2 v_r hi）-（2v_r）/（r^2）-（2 cottheta）/（r ^2）v_theta1/r（部分^2（rv_（θr^2）（partialvr）/（partialtheta）-（v_（theta））/（r^2sin^2theta）1/r（局部^2（rv_（phi））/（局部r^2）+1/（r^2）（局部^2 v_（phi））/（局部θ^2）+1/（r^2 sin^2 eta）（局部^2 v_（phi））/（局部φ^2）+（cottheta）/（r^2）（局部v_/（偏phi）-（v_（phi））/（r^2sin^2θ）]。
(93)

表达偏导数关于笛卡尔轴偏导数球坐标的，

[x；y；z]=[rcostheshinphi；rsinthetasinphi；rcosphi]
(94)
[dx；dy；dz]=[costhetasinphidr-rsinthetasinphidteta+rcosthetacosphidphi；sinthetainshidr+rsinhichosthetadtheta+rsinthesphidpphi；cosphidr-rsinphidphi]
(95)
=[costhetasinphi-rsinthetasinphi rcosthetacosphi；sinthetainsphi-rosthetasinpi-rsinthetophi；cosphi0-rsinphi][dr；dtheta；dphi]。
(96)

反演后，结果是

[dr；dtheta；dphi]=[costhetasinphi sinthetasinphi-cosphi；-（sintheta）/（rsinphi）（costheta）/。
(97)

笛卡尔偏导数球形的因此坐标是

部分/（partialx）=costhetasinphipartial/（partial）-（sintheta）/（rsinphi）partial/（partialtheta）+（costhetabophi）/rpartial/
(98)
部分/（部分）=sinthetasinphipartial/（partial）+（costheta）/（rsinphi）partial/（partialtheta）+（sinthetacosphi）/rpartial/（parialphi）
(99)
部分/（部分）=cosphipartial/（partial）-（sinphi）/rpartial/（partialphi）
(100)

（Gasiorowicz 1974年，第167-168页；Arfken 1985年，第108页）。

这个亥姆霍兹微分方程在球坐标中是可分离的。

另请参阅

方位角,Colatitude公司,大圆圈,亥姆霍兹微分方程——球坐标,纬度,经度,扁形球面坐标,极轴角度,极地的协调,极坐标图,极地的矢量,延长球坐标,天顶角 在数学世界课堂上探索这个主题

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工具书类

H·安东。解析几何微积分，第二版。纽约：威利出版社，1984年。阿波斯托，总经理。微积分，第2版，第2卷：多元微积分和线性代数及其应用微分方程和概率。马萨诸塞州沃尔瑟姆：布莱斯德尔，1969年。阿夫肯，G.“球面极坐标”§2.5英寸数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第102-111页，1985.Beyer，W.H。CRC公司标准数学表，第28版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，1987年。布朗什坦，身份证号码。；Semendyayev，K.A。；Musiol，G.公司。；和Muehlig，H。手册数学，第四版。纽约：Springer-Verlag，2004年。Gasiorowicz，美国。量子物理学。纽约：威利出版社，1974年。科恩，G.A。和Korn，T.M。数学科学家和工程师手册。纽约：McGraw-Hill，1968年。米斯纳，C.W。；Thorne，K.S。；和J.A.Wheeler。引力。加利福尼亚州旧金山：W.H。弗里曼，1973年。Moon、P.和Spencer，D.E.博士。“球面坐标（r，θ，psi）“表1.05英寸字段理论手册，包括坐标系、微分方程及其解决方案，第2版。纽约：Springer-Verlag，第24-27页，1988年。莫尔斯，下午。和Feshbach，H。方法理论物理第一部分。纽约：McGraw-Hill，第658页，1953年。沃尔顿，J·J。“计算机上的张量计算：附录。”通信ACM 10,183-186, 1967.Zwillinger，D.（编辑）。“空间球面坐标。”§4.9.3英寸CRC公司标准数学表和公式。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第297-298页，1995

参考Wolfram | Alpha

球面坐标

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“球面坐标。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

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