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大圆圈

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小圆圈大圆圈

大圆是一个部分的球包含直径的球（克恩和布兰德1948年，第87页）。不包含直径的球体部分被称为小圆圈.一个大圆圈变成a中的直线日射投影（斯坦豪斯1999年，第220-221页）。

大圆圈

上两点之间的最短路径球也称为正射机场，是大圆的一部分。找到大圆(测地线的)位于的两点之间的距离纬度 三角洲和经度 λ属于（增量_1，λ_1）和（δ_2，λ_2）在上球属于半径 一，转换球面坐标到笛卡尔坐标使用

r_i=a[coslamda_icosdelta_i；sinlambda_icos delta_i；sindelta_i]。
(1)

（请注意纬度 三角洲与可乐味 φ属于球形的协调通过δ=90度-phi,所以转换为笛卡尔坐标替换辛菲和科斯菲通过cosdelta公司和新三角洲分别是。)现在找到角 阿尔法之间第1段和第2段使用点积,

科斯阿尔法=r_1^^·r_2^^
(2)
=cosdelta_1cosdelta_2（sinlambda_1sinlambda _2+coslamda_1coslamda _2）+sindelta_1sindelta_2
(3)
=cosdelta_1cosdelta_2cos（λ_1-lambda_2）+sindelta_1sindelta_2。
(4)

大圆距离是

d=acos^（-1）[cosdelta_1cosdelta_2cos（lambda_1-lambda_2）+sindelta_1sindelta_2]。
(5)

对于地球来说赤道的 半径是a约6378公里或3963（法定）英里。不幸的是压扁不能考虑地球的在这个简单的推导中，由于问题对于一球体或椭球体（每个都有一个半径它是的函数纬度).这导致了极其复杂的表达式对于扁球测地线和测地线在另一个椭球.

可以使用测地线的形式主义。转换为球面坐标通过写作

λ=u个
(6)
φ=增量=1/2pi-v。
(7)

然后是偏导数 P（P）,问、和R（右）由提供

P（P）=（（partialx）/
(8)
问=（partialx）/（partial）（partials）/（partialv）+（partialy）/（pertial）
(9)
R（右）=（（partialx）/（partial））^2+（（partaly）/。
(10)

这个测地线的然后微分方程变成

cosvsin^4v+2cosvsin ^2vv^（'2）+cosvv^。
(11)

然而，因为这是一个特殊的情况Q=0具有P（P）和R（右）的显式函数v（v）只有测地线的解决方案需要论特殊形式

u个=c_1intsqrt（R/（P^2-c_1^2P））dv
(12)
=c_1int（dv）/（sqrt（a^2sin^4v-c_1^2sin ^2v））
(13)
=int（dv）/（sinvsqrt（（a/（c1））^2sin^2v-1））
(14)
=-tan ^（-1）[（cosv）/（sqrt（（a/（c1））^2sin^2v-1））]+c2
(15)

（Gradshteyn和Ryzhik 2000，第174页，方程2.599.6），其中c1和二氧化碳是积分常数.现在以更简单的形式重写

u=-sin^（-1）（（cotv）/（sqrt（（a/（c1））^2-1）））+c2
(16)

重新排列，取两边的正弦，

sin（u+c2）=（cotv）/（sqrt（（a/（c1））^2-1））。
(17)

接下来，使用三角加法公式并写入cotv=cosv/sinv以获得

sinc_2cosu+cosc_2sinu=（cosv）/（sinvsqrt（（a/（c1））^2-1））。
(18)

现在乘以asinv公司并重新排列以获得

acossinvsinc_2+asinusinvcosc_2-（acosv）/（sqrt（（a/（c1））^2-1））=0。
(19)

这是测地线的方程。

确定每个术语的第一部分为笛卡尔坐标 x个,年,z（z）分别为(19)可以立即重铸为

xsinc_2+ycosc_2-z/（平方（（a/（c1））^2-1））=0，
(20)

这表明，给出方程曲面上两点之间最短路径的测地线位于飞机经过的问题中的两点，也通过球.

另请参见

测地线,大球体,洛克索德罗,米库森斯基的问题,扁球面测地线,点到点距离--三维,伪圆,小型圆形,球体,球形章节

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工具书类

I.S.格雷斯泰恩。和I.M.Ryzhik。积分、级数和乘积表，第6版。加利福尼亚州圣地亚哥：学术出版社，2000科恩，W.F。和J.R.布兰德。固体带证据的测量，第二版。纽约：威利出版社，1948年。斯坦豪斯，H。数学快照，第三版。纽约：多佛，第183和217页，1999年。蒂泽，H。著名的数学问题：古代已解决和未解决的数学问题现代。纽约：Graylock出版社，第24-25页，1965年。温斯托克，R。微积分变化，以及物理和工程应用。纽约：多佛，第26-28和62-631974页。

参考Wolfram | Alpha

大圆圈

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Great Circle”摘自数学世界--Wolfram资源。https://mathworld.wolfram.com/GreatCircle.html

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