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测地线

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测地线是局部长度最小曲线。等价地，它是一个不加速的粒子将遵循的路径。在飞机,测地线是直线。上球、测地线是大圆圈（就像赤道）。测地线在空间中取决于黎曼度量,这影响了距离和加速度的概念。

测地学保留了表面上的方向（Tietze 1965，第26-27页），并具有许多其他有趣的特性。这个法向量测地线弧的任何一点都位于该点曲面的法线上（温斯托克1974年，第65页）。

此外，无论情况多么糟糕球是扭曲的，在它上面存在无穷多个闭合测地线在20世纪90年代初，Birkhoff扩展了早期的工作，他在1917年证明了扭曲球体上至少存在一个闭合测地线，吕斯特尼克和施尼勒曼，1923年，他证明在这样一个球体上至少存在三个闭合测地线（Cipra，1993年，第28页）。

对于参数化给定的曲面x=x（u，v）,y=y（u，v）、和z=z（u，v），测地线可以通过最小化弧长度

I=intds=intsqrt（dx^2+dy^2+dz^2）。
(1)

但是

dx公司=（partialx）/（partialu）du+（partial）/（partialv）dv
(2)
dx ^2=（（partialx）/（partial））^2du^2+2，
(3)

和类似的第^2天和数字^2.接通电源，

I=整数{[（partialx）/（partialu））^2+（（partialy）/（partialu））^2+（（partalz）/（patialu）^2]du^2+2[（partalx）/（partialy）/（partialv））^2+（（partialz）/（partialv））^2]dv^2}^（1/2）。
(4)

这可以改写为

我=整数平方（P+2Qv^'+Rv^（'2））du
(5)
=intsqrt（Pu^（'2）+2Qu^'+R）dv，
(6)

哪里

v ^’=（dv）/（du）
(7)
u ^’=（du）/（dv）
(8)

和

P（P）=（（partialx）/
(9)
问=（partialx）/
(10)
R（右）=（（partialx）/（partial））^2+（（partaly）/。
(11)

从方程式开始(◇)

我=整数平方（P+2Qv^'+Rv^（'2））du
(12)
=国际Ldu，
(13)

以及进行衍生品交易，

（partialL）/（partial）=1/2（P+2Qv^'+Rv^（'2））^（-1/2）
(14)
（部分L）/（部分^'）=1/2（P+2Qv^'+Rv^（'2））^（-1/2）（2Q+2Rv^'），
(15)

所以欧拉-拉格朗日差速器方程式然后给出

（（partialP）/（partial）+2v^'（partial/Q）/（pertial）+v^。
(16)

在特殊情况下P（P）,问、和R（右）是的显式函数u个只有，

（Q+Rv^'）/（平方（P+2Qv^'+Rv^（'2）））=c_1
(17)
（Q^2+2QRv^'+R^2v^（'2））/（P+2Qv^'+Rv^
(18)
v^（'2）R（R-c_1^2）+2v^’Q（R-c~1^2）+（Q^2-Pc_1^ 2）=0
(19)
v^'=1/（2R（R-c_1^2））[2Q（c_1^2-R）+/-平方（4Q^2（R-c~1^2）^2-4R（R-c_1^2（Q^2-Pc_1^））]。
(20)

现在，如果P（P）和R（右）是的显式函数u个只有和 Q=0,

v^'=（平方（4R（R-c_1^2）Pc_1^ 2））/（2R（R-c_1^2，
(21)

所以

v=c_1intsqrt（P/（R（R-c_1^2）））du。
(22)

在这种情况下Q=0哪里P（P）和R（右）是的显式函数v（v）只有，那么

（（部分P）/（部分）+v^（'2），
(23)

所以

（partialP）/（partial）+v^（'2）（partial/R）/（pertial）-2sqrt（P+Rv^
(24)
（partialP）/（partial）+v^（'2）（partial/R）/（pertial）-2Rv^
(25)
（Rv^（'2））/
(26)
Rv^（'2）-
(27)
（-P/（c_1））^2=P+Rv^（'2）
(28)
（P^2-c_1^2P）/（Rc_1^2）=v^（'2），
(29)

和

u=c_1intsqrt（R/（P^2-c_1^2P））dv。
(30)

对于回转面在哪儿y=克（x）围绕x个-轴所以曲面方程是

y^2+z^2=g^2（x），
(31)

可以通过以下方式参数化曲面

x个=u个
(32)
年=g（u）cosv
(33)
z（z）=g（u）正弦。
(34)

测地线的方程是

v=c_1int（平方码（1+[g^'（u）]^2）du）/（g（u）平方码（[g（u）]^2-c_1^2））。
(35)

另请参见

Blaschke猜想,椭球测地线,测地曲率,测地线圆顶,测地方程,测地线映射,测地线三角形,图表测地线,大圆圈,谐波地图,扁球面测地线,抛物面测地线,魏德森表面,缩放曲面

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工具书类

西普拉，B。《数学科学》第一卷发生了什么。普罗维登斯，RI:Amer。数学。Soc.，第21-25页，1993年。Tietze，H。著名的数学问题：古代已解决和未解决的数学问题现代。纽约：格雷洛克出版社，1965年。R.温斯托克。微积分变化，以及物理和工程应用。纽约：多佛，1974卫尔·H·。数学分析难题：重要吗？柏林：Wissenschaftl。Buchgesellschaft公司，1923

参考Wolfram | Alpha

测地线

引用如下：

托德·罗兰和埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“测地线”来自数学世界--一只狼Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Geodesic.html

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