测地线是局部长度最小曲线。等价地,它是一个不加速的粒子将遵循的路径。在飞机,测地线是直线。上球、测地线是大圆圈(就像赤道)。测地线在空间中取决于黎曼度量,这影响了距离和加速度的概念。
测地学保留了表面上的方向(Tietze 1965,第26-27页),并具有许多其他有趣的特性。这个法向量测地线弧的任何一点都位于该点曲面的法线上(温斯托克1974年,第65页)。
此外,无论情况多么糟糕球是扭曲的,在它上面存在无穷多个闭合测地线在20世纪90年代初,Birkhoff扩展了早期的工作,他在1917年证明了扭曲球体上至少存在一个闭合测地线,吕斯特尼克和施尼勒曼,1923年,他证明在这样一个球体上至少存在三个闭合测地线(Cipra,1993年,第28页)。
对于参数化给定的曲面
,
、和
,测地线可以通过最小化弧长度
![I=intds=intsqrt(dx^2+dy^2+dz^2)。](/images/equations/Geodesic/NumberedEquation1.svg) |
(1)
|
但是
和类似的
和
.接通电源,
![I=整数{[(partialx)/(partialu))^2+((partialy)/(partialu))^2+((partalz)/(patialu)^2]du^2+2[(partalx)/(partialy)/(partialv))^2+((partialz)/(partialv))^2]dv^2}^(1/2)。](/images/equations/Geodesic/NumberedEquation2.svg) |
(4)
|
这可以改写为
哪里
和
从方程式(◇)开始
以及进行衍生品交易,
所以欧拉-拉格朗日差速器方程式然后给出
![((partialP)/(partial)+2v^'(partial/Q)/(pertial)+v^。](/images/equations/Geodesic/NumberedEquation3.svg) |
(16)
|
在特殊情况下
,
、和
是的显式函数
只有,
![(Q+Rv^')/(平方(P+2Qv^'+Rv^('2)))=c_1](/images/equations/Geodesic/NumberedEquation4.svg) |
(17)
|
![(Q^2+2QRv^'+R^2v^('2))/(P+2Qv^'+Rv^](/images/equations/Geodesic/NumberedEquation5.svg) |
(18)
|
![v^('2)R(R-c_1^2)+2v^’Q(R-c~1^2)+(Q^2-Pc_1^ 2)=0](/images/equations/Geodesic/NumberedEquation6.svg) |
(19)
|
![v^'=1/(2R(R-c_1^2))[2Q(c_1^2-R)+/-平方(4Q^2(R-c~1^2)^2-4R(R-c_1^2(Q^2-Pc_1^))]。](/images/equations/Geodesic/NumberedEquation7.svg) |
(20)
|
现在,如果
和
是的显式函数
只有和
,
![v^'=(平方(4R(R-c_1^2)Pc_1^ 2))/(2R(R-c_1^2,](/images/equations/Geodesic/NumberedEquation8.svg) |
(21)
|
所以
![v=c_1intsqrt(P/(R(R-c_1^2)))du。](/images/equations/Geodesic/NumberedEquation9.svg) |
(22)
|
在这种情况下
哪里
和
是的显式函数
只有,那么
![((部分P)/(部分v)+v^('2)(部分R)/(部分v))/(2sqrt(P+Rv^('2)))-d/(du)((Rv^')/(sqrt(P+Rv^('2)))=0,](/images/equations/Geodesic/NumberedEquation10.svg) |
(23)
|
所以
![(partialP)/(partial)+v^('2)(partial/R)/(pertial)-2sqrt(P+Rv^](/images/equations/Geodesic/NumberedEquation11.svg) |
(24)
|
![(partialP)/(partial)+v^('2)(partial/R)/(pertial)-2Rv^](/images/equations/Geodesic/NumberedEquation12.svg) |
(25)
|
![(Rv^('2))/](/images/equations/Geodesic/NumberedEquation13.svg) |
(26)
|
![Rv^('2)-](/images/equations/Geodesic/NumberedEquation14.svg) |
(27)
|
![(-P/(c_1))^2=P+Rv^('2)](/images/equations/Geodesic/NumberedEquation15.svg) |
(28)
|
![(P^2-c_1^2P)/(Rc_1^2)=v^('2),](/images/equations/Geodesic/NumberedEquation16.svg) |
(29)
|
和
![u=c_1itsqrt(R/(P^2-c_1^2P))dv。](/images/equations/Geodesic/NumberedEquation17.svg) |
(30)
|
对于旋转表面在哪儿
围绕x个-轴所以曲面方程是
![y^2+z^2=g^2(x),](/images/equations/Geodesic/NumberedEquation18.svg) |
(31)
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可以通过以下方式参数化曲面
测地线的方程是
![v=c_1int(平方码(1+[g^'(u)]^2)du)/(g(u)平方码([g(u)]^2-c_1^2))。](/images/equations/Geodesic/NumberedEquation19.svg) |
(35)
|
另请参见
Blaschke猜想,椭球测地线,测地曲率,测地线圆顶,测地方程,测地线映射,测地线三角形,图表测地线,大圆圈,谐波地图,扁球面测地线,抛物面测地线,魏德森表面,缩放曲面
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西普拉,B。《数学科学》第一卷发生了什么。普罗维登斯,RI:Amer。数学。Soc.,第21-25页,1993年。Tietze,H。著名的数学问题:古代已解决和未解决的数学问题现代。纽约:格雷洛克出版社,1965年。R.温斯托克。微积分变化,以及物理和工程应用。纽约:多佛,1974.卫尔·H·。数学分析难题:重要吗?柏林:Wissenschaftl。Buchgesellschaft公司,1923参考Wolfram | Alpha
测地线
引用如下:
托德·罗兰和埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“测地线”来自数学世界--一只狼Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Geodesic.html
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