测地线是局部长度最小曲线。等价地,它是一个不加速的粒子将遵循的路径。在飞机,测地线是直线。上球、测地线是大圆圈(就像赤道)。测地线在空间中取决于黎曼度量,这影响了距离和加速度的概念。
测地学保留了表面上的方向(Tietze 1965,第26-27页),并具有许多其他有趣的特性。这个法向量测地线弧的任何一点都位于该点曲面的法线上(温斯托克1974年,第65页)。
此外,无论情况多么糟糕球是扭曲的,在它上面存在无穷多个闭合测地线在20世纪90年代初,Birkhoff扩展了早期的工作,他在1917年证明了扭曲球体上至少存在一个闭合测地线,吕斯特尼克和施尼勒曼,1923年,他证明在这样一个球体上至少存在三个闭合测地线(Cipra,1993年,第28页)。
对于参数化给定的曲面,、和,测地线可以通过最小化弧长度
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(1)
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但是
和类似的和.接通电源,
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(4)
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这可以改写为
哪里
和
从方程式开始(◇)
以及进行衍生品交易,
所以欧拉-拉格朗日差速器方程式然后给出
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(16)
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在特殊情况下,、和是的显式函数只有,
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(17)
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(20)
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现在,如果和是的显式函数只有和 ,
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所以
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在这种情况下哪里和是的显式函数只有,那么
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所以
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和
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(30)
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对于回转面其中围绕x个-轴所以曲面方程是
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(31)
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可以通过以下方式参数化曲面
测地线的方程是
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另请参见
Blaschke猜想,椭球测地线,测地曲率,测地线圆顶,测地方程,测地线映射,测地三角形,图表测地线,大圆圈,谐波地图,扁球面测地线,抛物面测地线,魏德森表面,Zoll表面
本条目的部分内容由托德罗兰
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西普拉,B。《数学科学》第一卷发生了什么。普罗维登斯,RI:Amer。数学。Soc.,第21-25页,1993年。Tietze,H。著名的数学问题:古代已解决和未解决的数学问题现代。纽约:格雷洛克出版社,1965年。R.温斯托克。微积分变化,以及物理和工程应用。纽约:多佛,1974卫尔·H·。数学分析难题:重要吗?柏林:Wissenschaftl。Buchgesellschaft公司,1923参考Wolfram | Alpha
测地线
引用如下:
托德·罗兰和埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“测地线”来自数学世界--一只狼Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Geodesic.html
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