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测地线


测地线是局部长度最小曲线。等价地,它是一个不加速的粒子将遵循的路径。飞机,测地线是直线。、测地线大圆圈(就像赤道)。测地线在空间中取决于黎曼度量,这影响了距离和加速度的概念。

大地测量学家在表面上保持一个方向(Tietze 1965,第26-27页),并具有许多其他有趣的性质。这个法向量测地线弧的任何一点都位于该点曲面的法线上(温斯托克1974年,第65页)。

此外,无论情况多么糟糕是扭曲的,在它上面存在无穷多个闭合测地线在20世纪90年代初,Birkhoff扩展了早期的工作,他在1917年证明了扭曲球体上至少存在一个闭合测地线,吕斯特尼克和施尼勒曼,1923年,他证明在这样一个球体上至少存在三个闭合测地线(Cipra,1993年,第28页)。

对于参数化给定的曲面x=x(u,v),y=y(u,v)、和z=z(u,v),可以通过最小化长度

 I=intds=intsqrt(dx^2+dy^2+dz^2)。
(1)

但是

dx公司=(partialx)/(partialu)du+(partial)/(partialv)dv
(2)
dx ^2=((partialx)/(partial))^2du^2+2,
(3)

和类似的第^2天数字^2.接通电源,

 I=整数{[(partialx)/(partialu))^2+((partialy)/(partialu))^2+((partalz)/(patialu)^2]du^2+2[(partalx)/(partialy)/(partialv))^2+((partialz)/(partialv))^2]dv^2}^(1/2)。
(4)

这可以改写为

我=整数平方(P+2Qv^'+Rv^('2))du
(5)
=intsqrt(Pu^('2)+2Qu^'+R)dv,
(6)

哪里

v ^’=(dv)/(du)
(7)
u^'=(du)/(dv)
(8)

P(P)=((partialx)/
(9)
问=(partialx)/
(10)
R(右)=((partialx)/(partial))^2+((partaly)/。
(11)

从方程式(◇)开始

我=整数平方(P+2Qv^'+Rv^('2))du
(12)
=国际Ldu,
(13)

以及进行衍生品交易,

(partialL)/(partial)=1/2(P+2Qv^'+Rv^('2))^(-1/2)
(14)
(部分L)/(部分^')=1/2(P+2Qv^'+Rv^('2))^(-1/2)(2Q+2Rv^'),
(15)

所以欧拉-拉格朗日差速器方程式然后给出

 ((partialP)/(partial)+2v^'(partial/Q)/(pertial)+v^。
(16)

在特殊情况下P(P),问、和R(右)是的显式函数u个只有,

 (Q+Rv^')/(平方(P+2Qv^'+Rv^('2)))=c_1
(17)
 (Q^2+2QRv^'+R^2v^('2))/(P+2Qv^'+Rv^
(18)
 v^('2)R(R-c_1^2)+2v^’Q(R-c~1^2)+(Q^2-Pc_1^ 2)=0
(19)
 v^'=1/(2R(R-c_1^2))[2Q(c_1^2-R)+/-平方(4Q^2(R-c~1^2)^2-4R(R-c_1^2(Q^2-Pc_1^))]。
(20)

现在,如果P(P)R(右)是的显式函数u个只有 Q=0,

 v^'=(sqrt(4R(R-c_1^2)Pc_1^2))/(2R(R-c_1^2))=c_1sqrt(P/(R(R-c_1^2))),
(21)

所以

 v=c_1intsqrt(P/(R(R-c_1^2)))du。
(22)

在这种情况下Q=0哪里P(P)R(右)是的显式函数v(v)只有,那么

 ((部分P)/(部分)+v^('2),
(23)

所以

 (partialP)/(partial)+v^('2)(partial/R)/(pertial)-2sqrt(P+Rv^
(24)
 (partialP)/(partial)+v^('2)(partial/R)/(pertial)-2Rv^
(25)
 (Rv^('2))/
(26)
 Rv^('2)-
(27)
 (-P/(c_1))^2=P+Rv^('2)
(28)
 (P^2-c_1^2P)/(Rc_1^2)=v^('2),
(29)

 u=c_1intsqrt(R/(P^2-c_1^2P))dv。
(30)

对于回转面在哪儿y=克(x)围绕x个-轴所以曲面方程是

 y^2+z^2=g^2(x),
(31)

可以通过以下方式参数化曲面

x个=u个
(32)
年=g(u)cosv
(33)
z(z)=g(u)正弦。
(34)

测地线的方程是

 v=c_1int(平方码(1+[g^'(u)]^2)du)/(g(u)平方码([g(u)]^2-c_1^2))。
(35)

另请参见

Blaschke猜想,椭球测地线,测地曲率,测地线圆顶,测地方程,测地线映射,测地线三角形,图表测地线,大圆圈,谐波地图,扁球面测地线,抛物面大地测量,魏德森表面,缩放曲面

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西普拉,B。《数学科学》第一卷发生了什么。普罗维登斯,RI:Amer。数学。Soc.,第21-25页,1993年。Tietze,H。著名的数学问题:古代已解决和未解决的数学问题现代。纽约:格雷洛克出版社,1965年。R.温斯托克。微积分变化,以及物理和工程应用。纽约:多佛,1974卫尔·H·。数学分析难题:重要吗?柏林:Wissenschaftl。Buchgesellschaft公司,1923

参考Wolfram | Alpha

测地线

引用如下:

托德·罗兰埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“测地线”来自数学世界--一只狼Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Geodesic.html

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