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圆柱坐标

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圆柱坐标

柱坐标是二维坐标的推广极坐标通过叠加高度实现三维(z（z）)轴。不幸的是，有许多不同的符号用于其他两个坐标。要么第页或ρ用于参考径向坐标和φ或θ到方位坐标。例如，Arfken（1985）使用（ρ，φ，z），而Beyer（1987）使用（r，θ，z）在这项工作中符号 （r，θ，z）使用。

下表总结了许多作者使用的符号约定。

（径向、方位、垂直）参考
（r，θ，z）这部作品，Beyer（1987年，第212页）
(卢比,蒂塔,Zz公司)设置坐标[圆柱形]在Wolfram语言包裹矢量分析`
（ρ，φ，z）阿夫肯（1985年，第95页）
（r，psi，z）Moon and Spencer（1988年，第12页）
（r^'，φ，z）Korn和Korn（1968年，第60页）
（xi_1、xi_2、xi_3）莫尔斯和费什巴赫（1953）

根据笛卡尔坐标（x，y，z）,

第页=平方（x^2+y^2）
(1)
θ=棕褐色^（-1）（y/x）
(2)
z（z）=z中，
(3)

哪里[0，infty中的r）,θ（单位：[0,2pi）,z英寸（-infty，infty）,和逆切线必须适当定义取正确的象限（x，y）考虑到。

依据x个,年,和z（z）

x个=罗卡斯塔
(4)
年=rsintheta公司
(5)
z（z）=z。
(6)

请注意，Morse和Feshbach（1953）通过以下公式定义柱坐标

x个=xi_1xi_2
(7)
年=xi_1sqrt（1-xi_2^2）
(8)
z（z）=xi_3，
(9)

哪里xi_1=r和xi_2=服装.

这个米制的柱坐标的元素是

g（rr）=1
(10)
g_（θ）=第^2页
(11)
克（zz）=1中，
(12)

所以比例因子是

g _ r=1
(13)
g_theta公司=第页
(14)
g_z（_z）=1
(15)

这个线条元素是

ds=drr^^+rdthetatata^^+dzz^^，
(16)

和体积元素是

dV=rdrdthetadz。
(17)

这个雅可比（Jacobian）是

|（偏（x，y，z））/（偏（r，θ，z）。
(18)

A类笛卡尔 矢量以柱坐标给出

r=[rcostheta；rsintheta；z]。
(19)

要查找单位向量,

第页^^=（（dr）/（dr
(20)
θ^^=（（dr）/（dtheta））/（|（dr
(21)
z（z）^^=（（dr）/（dz））/（|（dr）/（dz）|）=[0；0；1]。
(22)

的衍生品单位向量相对于坐标是

（partial^^）/（partial）=0
(23)
（partial^^）/（partialtheta）=θ^^
(24)
（部分^^）/（部分）=0
(25)
（partialtheta ^^）/（partial）=0
(26)
（partialtheta）/（partiaaltheta）=-第页^^
(27)
（partialtheta ^^）/（partialz）=0
(28)
（partialz ^^）/（partial）=0
(29)
（partialz^^）/（partialtheta）=0
（30）
（部分）/（部分）=0
(31)

这个梯度柱坐标中的运算符为由提供

del=r^^偏/（partial）+θ^^1/rpartial/（partaltheta）+z^^部分/（parialz），
（32）

所以梯度组件变为

删除（_R）^^=0
(33)
删除（_T）^^=1/rtheta号^^
(34)
del _zr（删除zr）^^=0
(35)
del _θ^^=0
(36)
del _thetatheta（交付）^^=-1/rr号^^
(37)
德尔·兹特塔^^=0
(38)
删除（_R）^^=0
(39)
del _thetaz（del _ thetaz）^^=0
(40)
删除（_Z）^^=0
(41)

这个第二类克里斯托弗符号在米斯纳的定义中等。（1973年，第209页）通过

伽马射线=[0 0 0；0-1/r 0；0 0 0]
(42)
伽马θ=[0 1/r 0；0 0 0；0 0 0]
（43）
伽马射线^z=[0 0 0; 0 0 0; 0 0 0].
(44)

这个第二个克里斯托夫符号友善的在Arfken（1985）的定义中

伽马射线=[0 0 0；0-r 0；0 0 0]
（45）
伽马θ=[0 1/r 0；1/r 0 0；0 0 0]
(46)
伽马射线^z=[0 0 0; 0 0 0; 0 0 0]
(47)

（沃尔顿1967年；阿夫肯1985年，第164页，例3.8.10；穆恩和斯宾塞1988年，第12a页）。

这个协变导数然后给出通过

A_（j；k）=1/（g^（kk））（部分A_j）/（部分x_k）-γ_（jk）^iA_i，
(48)

是

A_（r；r）=（partialA_r）/（partial）
(49)
A_（r；θ）=1/r（partialA_r）/（partialtheta）-（A_theta）/r
(50)
A _（r；z）=（部分A_r）/（部分z）
(51)
A_（θ；r）=（partialA_theta）/（partial）
(52)
A_（θ；θ）=1/r（partialA_theta）/（partialtheta）+（A_r）/r
(53)
A_（θ；z）=（部分A_theta）/（部分z）
(54)
A_（z；r）=（部分A_z）/（部分）
(55)
A_（z；θ）=1/r（partialA_z）/（partialtheta）
(56)
A_（z；z）=（partialA_z）/（partial z）。
(57)

交叉产品坐标轴的

r^^xz（右^^xz）^^=-θ^^
(58)
θ^^xz^^=第页^^
(59)
r^^xtheta（下一页）^^=z ^^。
(60)

这个交换系数已给出通过

c（α-β）^mue^->_mu=[e^->_alpha，e^->_beta]=del _alphae^->_beta-del _betae^->_alpha，
（61）

但是

[r^^，r^^]=[θ^^，
(62)

所以c（rr）^alpha=c（θ）^阿尔法=c（phiphi）^阿尔法=0,哪里α=r，θ，φ.阿尔索

[r^^，theta^^]=-[theta^，r^^]=del_rtheta^^-del_thetar^^=0-1/rtheta|^=-1/rtheta，
(63)

所以c（rtheta）^θ=-c（θ）^ theta=-1/r,c（rtheta）^r=c（rtherta）^phi=0.最后，

[r^^，phi^^]=[θ^^、phi^^]=0。
(64)

总结，

抄送（c）=[0 0 0; 0 0 0; 0 0 0]
(65)
cθ=[0-1/r 0；1/r 0 0；0 0 0]
(66)
cφ=[0 0 0; 0 0 0; 0 0 0].
(67)

时间衍生产品的矢量是

参考号：。=[costhetar^.-rsinthetatheta^.；sinthetar^.+rcosthetatheta；z^.]=r^.r^^+rtheta^.theta^^+z^.z^^
(68)
r ^。。=[-sinthetar^.theta^.+costhetar^..-sinthestar^.theta ^.-rcosthetatheta^.^2-rsinthetatheta^..；costhetal^.thetar^.+sinthetar^.+costhetar ^.thetan^.-rsinthetatheta|.^2+rcosthetathata^..；z^..]
（69）
(70)
=[-2sinthetar^.theta^.+costhetar^..-rcosthetatheta^.^2-rsintheta^..；2costhetal^.theta ^.+sinthetar ^..-rsinthetata^.2+rcosthetathetathata^..；z^..]
(71)
=（r^..-rtheta^.^2）r^^+（2r^.theta^.+rtheta^..）theta^+z^。。z^^。
(72)

速度由提供

五=|参考号：|
(73)
=sqrt（r^.^2+r^2theta^.^2+z^.^2）。
(74)

时间导数单位向量是

r^^^。=[-sinthetheatheta^.；costetheatheta ^.；0]
(75)
=θ^.θ^^
(76)
θ^^^。=[-costhetheatheta^.；-sinthetheatheta ^.；0]
(77)
=-θ^.r^^
(78)
z ^^^。=[0; 0; 0]
(79)
=0
(80)

这个对流导数是

（博士）/（博士）=（部分/（部分）+r ^·del）参考号。
(81)
=（部分r^.）/（部分t）+r^·删除r^。。
(82)

要重写此内容，请使用标识

del（A·B）=Ax（del xB）+Bx（del-xA）+（A·del）B+（B·del
(83)

并设置A=B,以获得

del（A·A）=2Ax（del xA）+2（A·del）A，
(84)

所以

（A·del）A=del（1/2A^2）-Ax（del xA）。
(85)

然后

（博士）/（博士）=r ^+del（1/2r^.^2）-r^.x（del xr^.）
(86)
=r ^+（删除xr^。）xr^+del（1/2r^.^2）。
(87)

这个卷曲在上面的表达式中给出

删除xr ^。=1/rpartial/（partial）（r^2theta^.）z^^
(88)
=2theta^.z^^，
(89)

所以

-r^.x（删除xr^.）=-2台^。（r^.r^xz^^+rtheta^.theta^xz|^）
(90)
=-2台^。（-r^.theta^^+rtheta^.r^^）
(91)
=2r^.theta^.theta ^^-2rtheta^^2r^^。
(92)

我们预计梯度项将消失，因为速度不取决于位置。使用标识对此进行检查del（f^2）=2fdel f,

del（1/2r^.^2）=1/2del（r^.^2+r^2theta^.^2+z^.^2）
(93)
=r ^.del r ^+artheta^.del（rtheta^.）+z^.del z^。。
(94)

逐项审查，

r^.模型r^。=r ^.部分/（partialt）del r
(95)
=r ^.部分/（部分）r^^
(96)
=r ^。r ^ ^。
（97）
=rθθ^^
(98)
rtheta^.del（rtheta|.）=rtheta^。[rpartial/（partialt）del theta+theta ^.del r]
（99）
=rtheta^。[rpartial/（partialt）（1/rtheta^^）+θ^.r^^]
（100）
=rtheta^。[r（-1/（r^2）r^.θ^^+1/rtheta^^^.）+θ^.r^^]
(101)
=-θ^.r^.theta ^^+rtheta ^。（-θ^.r^）+θ^^第2轮^^
(102)
=-θ^.r^.theta^^
(103)
z^.del z^。=z^.部分/（partialt）del z
(104)
=z^.部分/（部分）z^^
(105)
=z^.z^^^。
(106)
=0,
(107)

所以，正如预期的那样，

del（1/2r^.^2）=0。
(108)

我们已经计算了r ^。。，所以将这三个部分结合起来就可以

（博士）/（博士）=（r^..-rhteta^.^2-2rtheta^.^2）r^+（2r^.theta^.+2r^.ttheta^.+rtheta|..）theta^+z^。。z（z）^^
(109)
(110)
=（r^..-3rtheta^.^2）r^^+（4r^.θ^.+rtheta ^..）θ^+z^。。z^^。
(111)

这个发散是

德尔·A=A_（；r）^r=A_（，r）^r+（伽马_（rr）^rA^t+Gamma_ ^zA^θ+伽马_（zz）^zA|z）
（112）
=A_（，r）^r+A_
(113)
=1/（g_r）部分/（partial）A^r+1/（g_theta）部分/
(114)
=（partial/（partial）+1/r）A^r+1/rpartial/（partialtheta）A^theta+partial/（partialz）A^z，
(115)

或，in矢量符号

del·F=1/rpartial/（partial）（rF_r）+1/r（partialF_theta）/（partalheta）+（partial-F_z）/（partialz）。
(116)

这个卷曲是

del xF（删除xF）=（1/r（偏F_z）/（偏θ）-（偏F_θ）/（偏z））r^^+（（偏F_r）/（偏z）-（偏F_z）/（偏r））θ^+1/r[偏/（偏r）（rF_θ）-（偏F_r）/（偏θ）]z^^。
(117)

标量拉普拉斯语是

删除^2f=1/部分/（部分r）（r（部分f）/（部分r））+1/（r^2）（部分^2 f）/（部分θ^2）+（部分^2 f）/（部分z ^2）
(118)
=（部分^2f）/（部分^2）+1/r（部分）/。
(119)

这个向量拉普拉斯算子是

del^2v=[（部分^2v_r）/（部分r^2）+1/（r^2）（部分^2v_r）/（部分θ^2）+（部分^2v_r）/（部分z^2）+1/r（部分v_r）/（部分r）-2/（r^2）（部分v_theta）/（部分θ）-（v_r）/（r^2）；（部分^2v_theta）/（部分r^2）+1/（r^2）（部分^2v_theta）/（部分θ^2）+（部分^2v_theta）/（部分^2）+1/r（偏θ）/（偏r）+2/（r^2）（偏r）/（partialtheta）-（v_theta）/（r^2）；（部分^2v_z）/（部分^2）+1/（r^2）（部分^2-v_z。
(120)

这个亥姆霍兹微分方程在柱坐标中是可分离的，并且具有斯泰克尔行列式 S=1（用于第页,θ,z（z）)或S=1/（1-xi_2^2）（适用于莫尔斯和费什巴赫xi_1,xi_2、和xi_3).

另请参见

笛卡尔坐标,椭圆柱坐标,亥姆霍兹微分方程——圆柱坐标,极地的协调,球面坐标

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Arfken，G.《圆柱坐标》第2.4节数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第95-101页，1985Beyer，W.H。CRC公司标准数学表，第28版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，1987年。科恩，总会计师。和Korn，T.M。数学科学家和工程师手册。纽约：McGraw-Hill，1968年。米斯纳，C.W。；Thorne，K.S。；和J.A.Wheeler。引力。旧金山：W.H。弗里曼，1973年。Moon，P.和Spencer，D.E。“圆-圆柱坐标（r，psi，z）“表1.02英寸字段理论手册，包括坐标系、微分方程及其解决方案，第2版。纽约：Springer-Verlag，第12-17页，1988年。莫尔斯，下午。和Feshbach，H。方法理论物理第一部分。纽约：McGraw-Hill，第657页，1953年。沃尔顿，J·J。“计算机上的张量计算：附录。”通信ACM 10,183-186, 1967.

参考Wolfram | Alpha

圆柱坐标

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“圆柱坐标。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CylindricalCoordinates.html

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