话题

球体点拾取


球形分布

拾取曲面上的随机点单位球面,选择不正确球面坐标 θφ从均匀分布θ(单位:[0,2pi)φin[0,pi],因为面积元素dOmega=sinphidthetadphi是的函数φ,因此以这种方式选取的点将“聚成束”靠近电线杆(上图左图)。

n个可以在中的单位球体上拾取随机点沃尔夫拉姆语言使用函数随机点[球体[],n个].

要获得点,以便球体上的任何小区域都包含相同数量的点(上图右),请选择U型V(V)成为随机变量(0,1).然后

θ=2票
(1)
φ=cos^(-1)(2v-1)
(2)

提供了球面坐标对于均匀分布在序号^2。这是因为差动元件固体由提供

 dOmega=sinphidthetadphi=-dthetad(cosphi)。
(3)

分布磅/平方英寸属于极角可以从中找到

 P_phidphi=P_v|(dv)/(dphi)| dphi,
(4)

求…的导数(2)关于v(v)得到dphi/dv,正在解决(2)的v(v),并将结果插入到(4)具有P_v=1以获得分布

 P_phi=1/2英寸。
(5)
球体点选取UTheta

同样,我们可以选择u=cosphi均匀分布(因此我们有du=辛菲德菲)并获得分数

x个=sqrt(1-u^2)服装
(6)
年=平方(1-u^2)sintheta
(7)
z(z)=u、,
(8)

具有θ(单位:[0,2pi)[-1,1]中的u,它们也均匀分布在序号^2.

球形点选取Marsaglia

Marsaglia(1972)提出了一种优雅的采摘方法x_1x2个从独立均匀分布(-1,1)和拒绝分数x_1^2+x_2^2>=1从剩下的几点来看,

x个=2x1平方(1-x_1^2-x_2^2)
(9)
年=2x2平方(1-x_1^2-x_2^2)
(10)
z(z)=1-2(x_1^2+x_2^2)
(11)

在表面均匀分布单位球面。此方法也可以扩展到超球面点拾取上面的图显示了100、1000、,和5000个初始分数(其中计数指投掷前的分数远离)。

SpherePointPickingCook公司

Cook(1957)扩展了von Neumann(1951)的方法,给出了拾取均匀分布在曲面上的点的简单方法单元.选择四个数字x_0个,x_1,x2个、和x_3个来自均匀分布(-1,1),并拒绝与

 x_0^2+x_1^2+x2^2+X3^2>=1。
(12)

从剩下的几点来看四元数转换意味着笛卡尔协调

x个=(2(x_1x_3+x_0x_2))/(x_0^2+x_1^2+x2^2+x_3^2)
(13)
年=(2(x_2x_3-x_0x_1))/(x_0^2+x_1^2+x2^2+x_3^2)
(14)
z(z)=(x_0^2+x_3^2-x_1^2-x_2^2)/(x_0*2+x_1^2+x2^2+x_3^2)
(15)

具有所需的分布(库克1957年,马尔萨格里亚1972年)。上面的图显示了100、1000和5000个初始点的点分布(其中计数是指扔掉之前的点数)。

选择随机点的另一种简单方法生成三个高斯随机变量x个,年、和z(z)然后是向量的分布

 1/(平方(x^2+y^2+z^2))[x;y;z]
(16)

表面均匀序号^2(Muller 1959年,Marsaglia 1972年)。


另请参见

球形三角形拾取,圆形点拾取,磁盘点拾取,大圆圈,超球体点拾取,噪波球体,球体生产线拣选,球体四面体拾取,汤姆森问题

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更多需要尝试的事情:

工具书类

Cook,J.M.,《技术笔记和短文:产生球对称概率分布的有理公式》数学。表格有助于计算。 11, 81-82, 1957.西弗勒。概率论及其应用导论,第2卷,第3版。纽约:Wiley,1971年。科努特,D.E。这个计算机编程艺术,第2卷:半数值算法,第3版。马萨诸塞州雷丁:Addison-Wesley,第130-131页,1998年。Marsaglia,G.“选择球面上的点。"安。数学。斯达。 43, 645-646,1972Muller,M.E.“关于生成点的方法的注释均匀打开N个-尺寸球体。"通信关联计算。机器。 21959年4月19日至20日。俄罗斯,D.《N维球面随机数绘图》数学地图集。 http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/96/sph.rand.萨拉明,G.“Re:球体上的随机点。”math-fun@cs.arizona.edu发布,5月5, 1997.Stephens,M.A.,“单位向量随机性测试”J.Amer。统计协会。 59, 160-167, 1964.冯·诺依曼,J。“与随机数字相关的各种技术。”NBS申请。数学。序列号。,第12页。华盛顿特区:美国政府印刷局,第36-38页,1951年。Watson,G.S.和Williams,E.J.“关于在圆和球体上构建显著性测试。"生物特征 43,344-352, 1956.

参考Wolfram | Alpha

球体点拾取

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“球体点拾取。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SpherePointPicking.html

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