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这个n个-球,表示B^n,是的内部 S^(n-1),有时也称为n个-磁盘.(尽管物理学家经常使用““意思是实心球,数学家绝对不会!)

半径球第页以点为中心{x,y,z}在中实现Wolfram语言作为[{x个,,z(z)},第页].

球体积

表面积的方程式n个-尺寸单位超球面 序号提供了重现关系

 S_(n+2)=(2piS_n)/n。
(1)

使用伽马(n+1)=nGamma(n)然后给出超内容n个-球B^n公司半径的R(右)作为

 V_n=(S_nR^n)/n=(pi^(n/2)R^n
(2)

(索默维尔1958年,第136页;阿波斯托1974年,第430页;康威和斯隆1993年)。奇怪的是内容到达最大限度然后减小到0n个增加。重点是最大 内容单位的n个-球满足

(dV_n)/(dn)=(π^(n/2)[lnpi-psi_0(1+1/2n)])/(2Gamma(1+1/2n))
(3)
=(π^(n/2)[γ+lnpi-H_(n/2]))/(nGamma(1/2n))
(4)
=0,
(5)

哪里psi0(x)迪加玛功能,伽马(z)伽马函数,伽马射线尤勒·马切罗尼常数、和H_n(H_n)是一个谐波数。此等式不能为解析求解n个,而是对

 γ+lnpi-H_(n/2)=0
(6)

n=5.25694。。。(组织环境信息系统A074455号)(Wells 1986,第67页)。因此,五维单元 B^5号最大 内容(Le Lionnais 1983;Wells 1986,第60页)。

下表给出了内容单位半径n个-球(OEISA072345号A072346号),体积比n个-外接球超立方体(组织环境信息系统A087299号),和的表面积n个-球(OEISA072478号A072479号).

n个V_n(n)V_(球)/V_(立方体)S_n(_n)
0110
1212
2圆周率1/4π2π
4/3pi1/6pi4π
41/2π^21/(32)π^22π^2
58/(15)pi^21/(60)pi^28/3pi^2
61/6π^31/(384)pi^3圆周率^3
7(16) /(105)pi^31/(840)pi^3(16) /(15)pi^3
81/(24)pi^41/(6144)π^41/3π^4
9(32)/(945)pi^41/(15120)π^4(32)/(105)π^4
101/(120)pi^51/(122880)pi^51/(12)pi^5

V_n(n)表示一个n个-尺寸球半径 R(右).然后

sum_(n=0,2,4,…)^(infty)V_n=e^(像素^2)
(7)
总和_(n=1,3,5,…)^(infty)V_n=e^(piR^2)erf(sqrt(pi)R),
(8)

所以

 sum_(n=0)^inftyV_n=e^(piR^2)[1+erf(Rsqrt(pi))],
(9)

哪里erf(x)电流变液功能(Freden 1993)。


另请参见

亚历山大角球,球线拾取,点拾取,球形四面体拾取,球形三角形拾取,巴纳赫-塔斯基悖论,宾定理,主教的不平等,有界集合,关闭,磁盘,高尔夫球,毛球定理,超球体,开球,球体,网球鲍尔定理,单位球,野生

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阿波斯托·T·M·。数学分析。马萨诸塞州雷丁:Addison-Wesley,1974年。康威,J.H。和新泽西州斯隆。A。球体《填料、格架和组》,第2版。纽约:Springer-Verlag出版社,第9页,1993Freden,E.“问题10207:汇总一系列卷”阿默尔。数学。每月 100, 882, 1993.Le Lionnais,F。女同性恋名字是可以重复的。巴黎:赫尔曼,第58页,1983年。斯隆,新泽西州。答:。序列A072345号,A072346号,A072478号,A072479号,A074455号、和A087299号在“整数序列在线百科全书”中索默维尔,D.M.博士。年。几何导论n个尺寸。纽约:多佛,第136页,1958年。威尔斯,D。这个企鹅奇趣数字词典。英国米德尔塞克斯:企鹅出版社,1986年。

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“球。”来自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Ball.html

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