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平均曲率


kappa_1卡帕_2成为主曲率,然后他们意思是

 H=1/2(kappa_1+kappa_2)
(1)

称为平均曲率。R_1级R_2级是对应于主要的曲率,然后是乘法逆平均曲率的H(H)乘法逆调和平均值,

 H=1/2(1/(R_1)+1/(R_2))=(R_1+R_2)/(2R_1R_2)。
(2)

高斯曲率 K(K),

 H=1/2(R_1+R_2)K。
(3)

曲面的平均曲率规则曲面在里面R^3(参考号:3)在某一点上第页正式定义为

 H(p)=1/2Tr(S(p)),
(4)

哪里S公司形状运算符事务处理(S)表示矩阵跟踪.对于Monge补丁具有z=小时(u,v),

 H=((1+H_v^2)H(uu)-2h_uh_vh_(uv)+
(5)

(格雷1997年,第399页)。

如果x: U->R^3是一个常规修补程序,则给出平均曲率通过

 H=(eG-2fF+gE)/(2(eG-F^2)),
(6)

哪里E类,F类、和G公司是第一个的系数基本的形式e(电子),(f)、和克是第二个的系数基本的形式(格雷1997年,第377页)。它也可以写

 H=(det(x_(uu)x_ux_v)|x_v|^2-2det(x(uv)x_x_v)(x_u·x_v+(细节(x_(vv)x_ux_v)|x_u|^2)/(2[|x_u |^2|x_v|^2-(x_u·x_v)^2]^(3/2))
(7)

格雷(1997年,第380页)。

这个高斯平均曲率满足

 H^2>=K,
(8)

仅在处相等脐点,自

 H^2-K=1/4(kappa_1-kappa_2)^2。
(9)

如果第页是一个点规则曲面 M子集R^3v(p)w_(p)是相切向量M(M)第页,然后是平均曲率M(M)第页形状运算符 S公司通过

 S(v_(p))xw_(p)+v_(p)xS(w_(p))=2H(p)v_(p)xw_(p)。
(10)

Z轴成为一名非暴力分子矢量场M(M)到处都是垂直的M(M),然后让V(V)W公司向量场与…相切M(M)这样的话VxW=Z,然后

 H=-(Z·(D_VZxW+VxD_WZ))/(2|Z|^3)
(11)

(格雷1997年,第410页)。

Wente(198519861987)发现了一个具有恒定平均曲率的非球面有限曲面,它由自-交叉三叶环面表面。存在这样的曲面族。


另请参见

高斯曲率,拉格朗日方程,最小曲面,委托人曲率,形状运算符 在数学世界课堂上探索这个主题

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Gray,A.《高斯曲率和平均曲率》第16.5节现代曲线和曲面的微分几何与Mathematica,第二版。博卡佛罗里达州Raton:CRC出版社,第373-380页,1997年。伊森伯格,C。这个肥皂膜和肥皂泡科学。纽约:多佛,第108页,1992年。彼得森,一、。这个数学旅游:现代数学快照。纽约:W.H。弗里曼,第69-70页,1988年。Schmidt,N.“GANG|恒定平均值曲率曲面。"网址:http://www.gang.umass.edu/gallery/cmc/.温特,高压断路器。“3-空间中H.Hopf猜想的反例。”车间1984年波恩,马克斯·普朗克研究所第25届数学研讨会会议记录für Mathematik,波恩,1984年6月15日至22日(编辑F.Hirzebruch,J.Schwermer,和S.Suter)。纽约:施普林格出版社,第421-429页,1985年。温特,高压断路器。“H.Hopf猜想的反例。”派克靴。J。数学。 121, 193-243, 1986.温特,H.C。“沉浸式中常平均曲率的圆环R^3(参考号:3).“在变化自由表面界面方法,门罗公园会议记录,加利福尼亚州,1985年9月7日至12日(P.Concus和R.Finn编辑)。纽约:Springer-Verlag,第13-24页,1987年。

参考Wolfram | Alpha

平均曲率

引用如下:

埃里克·W·韦斯坦。“平均曲率”。摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/MeanCurvature.html

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