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平均曲率

让kappa_1和卡帕_2成为主曲率，然后他们意思是

H=1/2（kappa_1+kappa_2）
(1)

称为平均曲率。让R_1级和R_2级是对应于主要的曲率，然后是乘法逆平均曲率的H（H）由乘法逆的调和平均值,

H=1/2（1/（R_1）+1/（R_2））=（R_1+R_2）/（2R_1R_2）。
(2)

就高斯曲率 K（K）,

H=1/2（R_1+R_2）K。
(3)

a的平均曲率规则曲面在里面R ^3在某一点上第页正式定义为

H（p）=1/2Tr（S（p）），
(4)

哪里S公司是形状运算符和事务处理（S）表示矩阵跟踪.对于Monge补丁具有z=小时（u，v）,

H=（（1+H_v^2）H（uu）-2h_uh_vh_（uv）+
(5)

（格雷1997年，第399页）。

如果x： U->R^3是一个常规修补程序，则给出平均曲率通过

H=（eG-2fF+gE）/（2（eG-F^2）），
(6)

哪里E类,F类、和G公司是第一个的系数基本的形式和e（电子）,（f）、和克是第二个的系数基本的形式（格雷1997年，第377页）。它也可以写

H=（det（x_（uu）x_ux_v）|x_v|^2-2det（x（uv）x_x_v）（x_u·x_v+（细节（x_（vv）x_ux_v）|x_u|^2）/（2[|x_u |^2|x_v|^2-（x_u·x_v）^2]^（3/2））
(7)

格雷（1997年，第380页）。

这个高斯平均曲率满足

H^2>=K，
(8)

仅在处相等脐穴，自

H^2-K=1/4（kappa_1-kappa_2）^2。
(9)

如果第页是一个点规则曲面 M子集R^3和v（p）和w_（p）是相切向量M（M）在第页，然后是平均曲率M（M）在第页与形状运算符 S公司通过

S（v_（p））xw_（p。
(10)

让Z轴成为一名非暴力分子矢量场在M（M）到处都是垂直的到M（M）,然后让V（V）和W公司是向量场切线M（M）这样的话VxW=Z，然后

H=-（Z·（D_VZxW+VxD_WZ））/（2|Z|^3）
(11)

（格雷1997年，第410页）。

Wente（198519861987）发现了一个具有恒定平均曲率的非球面有限曲面，它由自-交叉三叶环面表面。存在这样的曲面族。

另请参见

高斯曲率,拉格朗日方程,最小曲面,负责人曲率,形状运算符 在数学世界课堂上探索这个主题

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Gray，A.《高斯曲率和平均曲率》第16.5节现代曲线和曲面的微分几何与Mathematica，第二版。博卡佛罗里达州Raton：CRC出版社，第373-380页，1997年。伊森伯格，C。这个肥皂膜和肥皂泡科学。纽约：多佛，第108页，1992年。彼得森，一、。这个数学旅游：现代数学快照。纽约：W.H。弗里曼，第69-70页，1988年。Schmidt，N.“GANG|恒定平均值曲率曲面。"网址：http://www.gang.umass.edu/gallery/cmc/.温特，高压断路器。“H.Hopf猜想的3-空间反例。”在车间1984年波恩，马克斯·普朗克研究所第25届数学研讨会会议记录1984年6月15日至22日，波恩，fur Mathematik（编辑F.Hirzebruch，J.Schwermer，和S.Suter）。纽约：Springer-Verlag，第421-429页，1985年。温特，高压断路器。“H.Hopf猜想的反例。”派克靴。J。数学。 121, 193-243, 1986.温特，H.C。“沉浸式中常平均曲率的圆环R^3（参考号：3）.“在变化自由表面界面方法，门罗公园会议记录，加利福尼亚州，1985年9月7日至12日（P.Concus和R.Finn编辑）。纽约：Springer-Verlag，第13-24页，1987年。

参考Wolfram | Alpha

平均曲率

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“平均曲率”。摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/MeanCurvature.html

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