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切线球体


任意四个相切的球体决定六个切点。一对切线(ti,tj)如果两个球体确定时间(TI)不同于决定时间因此,这六条切线被分为三条相对的切线对应于将四个球体划分为两对的三种方法的对。这三对相反的切线是重合的(Altshiller-Court 1979,第231页;Eppstein 2001)。

Hexlet公司

索迪六边形给出了切线球体的一个特例,它由六个球体组成,外切两个相切球体,内切一个外切球体。链条中圆圈的弯曲度遵循这种关系

 1/(r_1)+1/(r_4)=1/(r_2)+1/。
(1)
二十面体球体阿基米德04

一个Sangaku问题从1798年开始,要求分布30个半径相同的球体第页使其与半径为的单个中心球体相切R(右)和其他四个小球体。这个可以通过将球体放置在二十面体边长(右图)一,其中半径第页R(右)由提供

第页=1/2年
(2)
R(右)=1/2平方(5)a
(3)

(罗斯曼,1998年)。

一般来说弯头五个相切球体中相关人员

 3(kappa1^2+kappa2^2+kppa3^2+kappa4^2+kppa5^2)=。
(4)

解决kappa5型给予

 kappa5^+/-=1/2{kappa1+kappa2+kappa 3+kappa4+/-[6(kappa_1kappa_2+kappa-1kappa_3+kappa/1kappa 4+kappa.2kappa_4+kappa3kappa4)-3(kappa 1^2+kappa 2^2+katpa_3^2+kppa4^2)]^(1/2)}。
(5)

(索迪1937a)。Gosset(1937)指出,平方根符号下的表达式由

 {6(kappa1kappa2+kappa1 kappa3+kappa 1kappa 4+kappa2kappa3+kappa3kappa4)-3(kappa_1^2+kappa_2^2+kappa_3^2+κ4^2)}^(1/2)=3sqrt(3)Vkappa_2κ3kappa_4,
(6)

哪里V(V)体积四面体在相应的四个球体的中心有顶点。因此的方程式kappa5型可以简化为

 kappa5=1/2sigma2+sqrt(3)ε,
(7)

哪里

西格玛=kappa1+kappa2+kappo3+kappa4
(8)
ε=3/2Vkappa_1kappa_2kappa_3kappa_4。
(9)

(索迪1937b)。

此外,通过将任意一个球体的四个接触点与其他四个接触(当所有五个相互接触时)连接而形成的四面体具有相反的边,其乘积为常数

 4sqrt((kappa1+kappa5)
(10)

这些四面体的体积是

 V=2/(sqrt(3))(kappa_5)/((kappa _1+kappa _5)(kampa _2+kappa_ 5)
(11)

(索迪1937b)。Gosper将这一结果进一步扩展到n+2相切的n个-维度的超球体,谁的曲率满足

 (sum_(i=0)^(n+1)kappa_i)^2-nsum_(i=0)^(n+1)kappa_i^2=0。
(12)

解决kappa(n+1)给予

 kappa_(n+1)=(sqrt(n)sqrt)((sum_(i=0)^(n)kappa_i)^2-(n-1)sum_。
(13)

对于(至少)n=2和3激进派等于

 f(n)Vkappa_0kappa_1…kappa_n,
(14)

哪里V(V)内容单工其顶点是n+1独立的超球体.这个胚根也可以成为消极的,产生想像的 kappa(n+1)。对于n=3,这相当于一个球体接触三个大型保龄球球和一个小BB,都是相切的,这是不可能的。


另请参见

阿波罗垫圈,一碗整数,Hexlet公司,草皮圈子,球体,切线圈子,四面体,Wada公司盆地

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工具书类

北卡罗来纳州阿尔齐勒法院。现代纯立体几何。纽约:切尔西,1979年。Eppstein,D.“切线球体和三角形中心。"阿默尔。数学。每月 108, 63-66,2001Gosset,T.“赫胥黎。”自然 139, 251-252,1937《日本寺庙几何》科学。阿默尔。 278,85-911998年5月。Soddy,F.“亲吻精准。”自然 137,1021, 1936.Soddy,F.《整型碗和Hexlet》自然 139,第77-791937a页。索迪,F。自然 139,2521937b年。

参考Wolfram | Alpha

切线球体

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“切线球体。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/TangentSpheres.html

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