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第二基本形式


M(M)成为规则曲面具有v(p),w(p)中的点切线空间 M_(p)属于M(M).对于R^3中的M,第二个基本形式是对称双线性形式切线空间 M_(p),

 II(v_(p),w_(p,
(1)

哪里S公司形状运算符第二基本形式满足

 II(ax_u+bx_v,ax_u+bx_v)=ea^2+2fab+gb^2
(2)

对于任何非零切线向量.

第二个基本形式由以下公式明确给出

 教育^2+2fdudv+gdv^2
(3)

哪里

e(电子)=总和_(i)X_i(部分^2x_i)/(部分^2)
(4)
(f)=总和_(i)X_i(部分^2x_i)/(部分)
(5)
克=总和_(i)X_i(部分^2x_i)/(部分^2),
(6)

X _ i方向余弦曲面法线的。第二种基本形式也可以写

e(电子)=-N_u·x_u
(7)
=N·x_(uu)
(8)
(f)=-N_v·x_u
(9)
=N·x_(紫外线)
(10)
=N_·x_(vu)
(11)
=-N_u·x_v
(12)
克=-N_v·x_v
(13)
=N·x_(vv),
(14)

哪里N个法向量,x: U->R^3是一个常规修补程序,x(_u)x _ v是的偏导数x个关于参数u个v(v),或

e(电子)=(细节(x_(uu)x_ux_v))/(平方码(EG-F^2))
(15)
(f)=(细节(x_(uv)x_ux_v))/(平方(EG-F^2))
(16)
克=(细节(x_(vv)x_ux_v))/(平方(EG-F^2))。
(17)

另请参见

第一基本形式,基本形式,形状操作员,第三基本形式

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Gray,A.“三种基本形式”,第16.6节现代曲线和曲面的微分几何与Mathematica,第二版。博卡佛罗里达州Raton:CRC出版社,第380-382页,1997年。

参考Wolfram | Alpha

第二基本形式

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“第二基本形式。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SecondFundamentalForm.html

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