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第二基本形式

让M（M）成为规则曲面具有v_（p），w_（p）中的点切线空间 M_（p）属于M（M）.对于R^3中的M,第二个基本形式是对称双线性形式切线空间 M_（p）,

II（v_（p），w_（p，
(1)

哪里S公司是形状运算符第二种基本形式满足

II（ax_u+bx_v，ax_u+bx_v）=ea^2+2fab+gb^2
(2)

对于任何非零切线向量.

第二个基本形式由以下公式明确给出

教育^2+2fdudv+gdv^2
(3)

哪里

e（电子）=总和_（i）X_i（部分^2x_i）/（部分^2）
(4)
（f）=总和_（i）X_i（部分^2x_i）/（部分）
(5)
克=总和_（i）X_i（部分^2x_i）/（部分^2），
(6)

和X _ i是方向余弦曲面法线的。第二种基本形式也可以写

e（电子）=-N_u·x_u
(7)
=N·x_（uu）
(8)
（f）=-N_v·x_u
(9)
=N·x_（紫外线）
(10)
=N_·x_（vu）
(11)
=-N_u·x_v
(12)
克=-N_v·x_v
(13)
=N·x_（vv），
(14)

哪里N个是法向量,x： U->R^3是一个常规补丁,和x（_u）和x _ v是的偏导数x个关于参数u个和v（v），或

e（电子）=（细节（x_（uu）x_ux_v））/（平方码（EG-F^2））
(15)
（f）=（细节（x_（uv）x_ux_v））/（平方（EG-F^2））
(16)
克=（细节（x_（vv）x_ux_v））/（平方（EG-F^2））。
(17)

另请参阅

第一基本形式,基本形式,形状操作员,第三基本形式

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

格雷，A.“三种基本形式”，第16.6节现代曲线和曲面的微分几何与Mathematica，第二版。博卡佛罗里达州Raton：CRC出版社，第380-382页，1997年。

参考Wolfram | Alpha

第二基本形式

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“第二基本形式。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SecondFundamentalForm.html

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