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表面积


表面积为地区给定的表面粗略地说,它是一个表面的“量”(即,它是成比例的覆盖所需的油漆量),并具有距离单位的平方。表面通常表示面积S公司三维表面,或A类对于平面的一个区域(在这种情况下,它被简单地称为“的”地区).

下表给出了横向的,横向的表面积S公司对于一些常见的曲面.在这里,第页表示半径,小时高度,e(电子)这个椭圆度球体,第页底座周长,秒这个倾斜高度,一a的管半径圆环体、和c(c)距旋转轴的半径圆环体(Beyer 1987)。请注意,这些曲面中有许多是曲面革命的,其中帕普斯质心定理通常可用于轻松计算表面积。

即使是简单的曲面也会显示出令人惊讶的违反直觉的特性。例如回转面属于y=1/x围绕x个-轴对于x> =1被称为加布里埃尔的喇叭、和具有有限的,有限的 体积但是无限的表面积。

对于许多对称实体,有趣的关系

 S=(dV)/(dr)
(1)

保持在表面积之间S公司,体积 V(V)、和半径(inradius) 第页.此关系可推广到任意凸通过定义谐波参数 小时代替半径第页(Fjelstad和Ginchev,2003年)。

如果表面参数化的使用u个v(v),然后

 S=int_S|T_uxT_v|dudv,
(2)

哪里u(_u)T_电压切线向量axb公司交叉积.如果z=f(x,y)在区域上定义R(右),然后

 S=初始_(R)sqrt(((partialz)/(partial x))^2+((parcialz)/(partialy))^2+1)dA,
(3)

其中积分覆盖整个曲面(卡普兰1992,第245-248页)。

写作x=x(u,v),y=y(u,v)、和z=z(u,v)然后给出对称形式

 S=初始_(R^')sqrt(EG-F^2)dudv,
(4)

哪里R ^’R(右),

E类=((partialx)/
(5)
F类=(偏x)/(偏u)(偏x)/(偏v)+(偏y)/(偏u)(偏y)/(偏v)+(偏z)/(偏u)(偏z)/(偏v)
(6)
G公司=((部分)/(部分)^2+(部分)
(7)

是的系数第一基本形式(卡普兰1992年,第245-246页)。


另请参见

面积,Area元素,基本形式,谐波参数,帕普斯质心定理,表面,曲面积分,旋转曲面,表面参数化,体积 在数学世界课堂上探索这个主题

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H·安东。微积分:新视野,第6版。纽约:Wiley,1999年。Beyer,W.H。CRC公司标准数学表,第28版。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第127-132页,1987Dorff,M.和Hall,L.“固体R^n(R ^n)其面积是体积的导数。"大学数学。J。 34, 350-358, 2003.Fjelstad,P.和Ginchev,I.“卷,表面积和调和平均值。"数学。美格。 76, 126-129,2003W.卡普兰。高级微积分,第三版。马萨诸塞州雷丁:Addison-Wesley,1992年。

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表面积

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“表面积”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html

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