高斯曲率,有时也称为总曲率(Kreyszig 1991,p.131),是独立于用于描述它。高斯曲率规则曲面在里面
在某一点上
被正式定义为
![K(p)=测定值(S(p)),](/images/equations/GaussianCurvature/NumberedEquation1.svg) |
(1)
|
哪里
是形状运算符det表示行列式.
如果
是一个常规补丁,然后是高斯曲率由提供
![K=(eg-f^2)/(eg-f^2),](/images/equations/GaussianCurvature/NumberedEquation2.svg) |
(2)
|
哪里
,
,和
是第一个的系数基本形式和
,
,和
是第二个的系数基本形式(格雷1997年,第377页)。高斯曲率完全可以用第一个基本形式
![ds^2=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2](/images/equations/GaussianCurvature/NumberedEquation3.svg) |
(3)
|
和度量鉴别
![g=EG-F^2](/images/equations/GaussianCurvature/NumberedEquation4.svg) |
(4)
|
通过
![K=1/(sqrt(g))[部分/(部分)((sqert(g)/EGamma_(11)^2)-部分/(局部),](/images/equations/GaussianCurvature/NumberedEquation5.svg) |
(5)
|
哪里
是第一个的克里斯托弗符号友善的等效地,
![K=1/(g^2)|E F(partialF)/(partial)-1/2(partial/g)/(partialu);F G 1/2(部分G)/(部分v);1/2(partialE)/(partial)k_(23)k_;F G 1/2(部分G)/(部分);1/2(partialE)/(partial)1/2(parcialG)/(partialu)0|,](/images/equations/GaussianCurvature/NumberedEquation6.svg) |
(6)
|
哪里
写出来,
高斯曲率也由下式给出
![K=(det(x_(uu)x_ux_v)det(x_(vv)x_x_v)-[det(x(uv)x_ ux_v](/images/equations/GaussianCurvature/NumberedEquation7.svg) |
(10)
|
(格雷1997年,第380页),以及
![K=([N^^N_1^^N_2^^])/(sqrt(g))=,](/images/equations/GaussianCurvature/NumberedEquation8.svg) |
(11)
|
哪里
是置换符号,
是单位法向量和
是单位切线向量.高斯曲率也由以下公式给出
哪里
是标量曲率,
和
这个主曲率,和
和
这个主曲率半径.对于Monge补丁具有
,
![K=(h(uu)h(vv)-h(uv)^2)/((1+h_u^2+h_v^2)^2。](/images/equations/GaussianCurvature/NumberedEquation9.svg) |
(15)
|
曲面的高斯曲率隐式定义为
由提供
![K(x,y,z)={[F_z(F_(xx)F_z-2F_xF_(xz))+F_x^2F_(zz+F_z^2)^2]^(-1)](/images/equations/GaussianCurvature/NumberedEquation10.svg) |
(16)
|
(Trott 2004,第1285-1286页)。
高斯曲率
和平均曲率
满足
![H^2>=K时,](/images/equations/GaussianCurvature/NumberedEquation11.svg) |
(17)
|
仅在处相等脐点,自
![H^2-K=1/4(kappa_1-kappa_2)^2。](/images/equations/GaussianCurvature/NumberedEquation12.svg) |
(18)
|
如果
是一个点规则曲面
和
和
是相切向量
在
,然后是高斯曲率
在
与形状运算符
通过
![S(v_(p))xS(w_(p。](/images/equations/GaussianCurvature/NumberedEquation13.svg) |
(19)
|
让
成为一名非暴力分子矢量场在
到处都是垂直的到
,然后让
和
是向量场与…相切
这样的话
,然后
![K=(Z·(D_VZxD_WZ))/(2|Z|^4)](/images/equations/GaussianCurvature/NumberedEquation14.svg) |
(20)
|
(格雷1997年,第410页)。
对于球,高斯曲率为
。对于欧几里德空间,高斯曲率为
。对于Gauss-Bolyai-Lobachevsky公司空间,高斯曲率为
.A型可展曲面是一个规则曲面和特殊类别的最小值表面高斯曲率在其上到处消失。
A分
在上规则曲面
根据符号分类
如下表所示(Gray 1997,第375页),哪里
是形状运算符.
高斯曲率所在的曲面
到处都是积极的被称为同生的,而表面上
到处都是消极的被称为反弹性的.具有恒定高斯曲率的曲面包括圆锥体,圆柱,Kuen曲面,飞机,伪球体、和球.其中圆锥体和圆柱是唯一的可发展的 曲面革命的.
另请参阅
抗塑性,Brioschi公式,可开发表面,椭圆形点,双曲线点,完整的曲率,平均曲率,公制张索尔,最小曲面,抛物线点,平面点,标量曲率,同碎屑岩,总计曲率,脐带缆点 在数学世界课堂上探索这个主题
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工具书类
几何中心。“高斯曲率。”http://www.geom.umn.edu/zoo/diffgeom/surfspace/concepts/curvatures/gauss-curv.html.Gray,A.“高斯和平均曲率”和“常高斯曲面”曲率。“§16.5和第21章现代曲线和曲面的微分几何与Mathematica,第二版。博卡佛罗里达州Raton:CRC出版社,第373-380页和第481-500页,1997年。Kreyszig,E。有差别的几何图形。纽约:多佛,第131页,1991年。特罗特,M。这个图形数学指南。纽约:Springer-Verlag,2004年。http://www.mathematicaguidebooks.org/.引用的关于Wolfram | Alpha
高斯曲率
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“高斯曲率。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GaussianCurvature.html
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