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高斯曲率


高斯曲率,有时也称为总曲率(Kreyszig 1991,p.131),是独立于用于描述它。高斯曲率规则曲面在里面R^3(参考号:3)在某一点上第页正式定义为

 K(p)=测定值(S(p)),
(1)

哪里S公司形状运算符det表示行列式.

如果x: U->R^3是一个常规修补程序,然后是高斯曲率由提供

 K=(eg-f^2)/(eg-f^2),
(2)

哪里E类,F类,G公司是第一个的系数基本形式e(电子),如果,克是第二个的系数基本形式(格雷1997年,第377页)。高斯曲率完全可以用第一个基本形式

 ds^2=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2
(3)

度量鉴别

 g=EG-F^2
(4)

通过

 K=1/(sqrt(g))[部分/(部分)((sqert(g)/EGamma_(11)^2)-部分/(局部),
(5)

哪里伽马_(ij)^k第一个的克里斯托弗符号友善的等效地,

 K=1/(g^2)|E F(partialF)/(partial)-1/2(partial/g)/(partialu);F G 1/2(partialG)/(partial);1/2(partialE)/(partial)k_(23)k_;F G 1/2(部分G)/(部分);1/2(部分E)/(部分v)1/2(部分G)/(部分u)0|,
(6)

哪里

k(23)=(partialF)/(partial)-1/2(partial/E)/(partialv)
(7)
k(33)=-1/2(部分^2E)/(部分^2)+。
(8)

写出来,

K(K)=1/(2g)[2(partial^2F)/(partialpartialv)-2(partialE)/(partial))(2(partialF)/(partial)-(partial-G)/。
(9)

高斯曲率也由下式给出

 K=(det(x_(uu)x_ux_v)det(x_(vv)x_x_v)-[det(x(uv)x_ ux_v
(10)

(格雷1997年,第380页),以及

 K=([N^^N_1^^N_2^^])/(sqrt(g))=,
(11)

哪里ε(ij)置换符号,N个^^是单位法向量T型^^是单位切线向量.高斯曲率也由以下公式给出

K(K)=转/2
(12)
=κ1κ2
(13)
=1/(R_1R_2),
(14)

哪里对标量曲率,kappa_1卡帕_2这个主曲率,R_1级R_2级这个主曲率半径.对于Monge补丁具有z=小时(u,v),

 K=(h(uu)h(vv)-h(uv)^2)/((1+h_u^2+h_v^2)^2。
(15)

曲面的高斯曲率隐式定义为F(x,y,z)=0由提供

 K(x,y,z)={[F_z(F_(xx)F_z-2F_xF_(xz))+F_x^2F_(zz+F_z^2)^2]^(-1)
(16)

(Trott 2004,第1285-1286页)。

高斯曲率K(K)平均曲率 H(H)满足

 H^2>=K,
(17)

仅在处相等脐点,自

 H^2-K=1/4(kappa_1-kappa_2)^2。
(18)

如果第页是一个点规则曲面 M子集R^3v(p)w_(p)是相切向量M(M)第页,然后是高斯曲率M(M)第页形状运算符 S公司通过

 S(v_(p))xS(w_(p。
(19)

Z轴成为一名非暴力分子矢量场M(M)到处都是垂直的M(M),然后让V(V)W公司向量场与…相切M(M)这样的话VxW=Z,那么

 K=(Z·(D_VZxD_WZ))/(2|Z|^4)
(20)

(格雷1997年,第410页)。

对于,高斯曲率为K=1/a^2。对于欧几里德空间,高斯曲率为K=0。对于Gauss-Bolyai-Lobachevsky公司空间,高斯曲率为K=-1/a^2.A型可展曲面是一个规则曲面和特殊类别的最小值表面高斯曲率处处消失。

A分第页在上规则曲面 R^3中的M根据符号分类K(p)如下表所示(Gray 1997,第375页),哪里S公司形状运算符.

高斯曲率所在的曲面K(K)到处都是积极的被称为同生的,而表面上K(K)到处都是消极的被称为反弹性的.具有恒定高斯曲率的曲面包括圆锥体,圆柱,Kuen曲面,飞机,伪球、和.其中圆锥体圆柱是唯一的可发展的 曲面革命的.


另请参见

反碎屑的,Brioschi公式,可开发表面,椭圆形,双曲线点,完整的曲率,平均曲率,公制张索尔,最小曲面,抛物线,平面点,标量曲率,同碎屑岩,总计曲率,脐带缆点 在数学世界课堂上探索这个主题

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几何中心。“高斯曲率。”http://www.geom.umn.edu/zoo/diffgeom/surfspace/concepts/curvatures/gauss-curv.html.Gray,A.“高斯曲率和平均曲率”和“常高斯曲面”曲率。“§16.5和第21章现代曲线和曲面的微分几何与Mathematica,第二版。博卡佛罗里达州Raton:CRC出版社,第373-380页和第481-500页,1997年。Kreyszig,E。有差别的几何学。纽约:多佛,第131页,1991年。特罗特,M。这个图形数学指南。纽约:Springer-Verlag,2004年。http://www.mathematicaguidebooks.org/.

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高斯曲率

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“高斯曲率。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GaussianCurvature.html

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