球形填料

定义堆积密度 球体的填充是a的分数体积由球体填充。在三维中，有三个周期性的填料对于相同的球体：立方晶格、面心立方晶格和六角形格子。1611年开普勒假设紧密堆积（立方或六角形，具有等效包装密度）是密度最大的被称为开普勒猜想.问题因此，找到最致密的球体堆积（不一定是周期性的）被称为开普勒问题，其中

（组织环境信息系统A093825号; 斯坦豪斯1999年，第202页；Wells 1986，第29页；威尔斯1991年，第237页）。

1831年，高斯成功证明以面为中心的立方体密度最大晶格三维包装（Conway和Sloane，1993年，第9页），但一般几十年来，这一猜测一直悬而未决。

而开普勒猜想直觉上很明显，但证据却令人惊讶地难以捉摸。罗杰斯（1958），著名的“许多数学家和所有物理学家都相信这个问题”知道“实际答案是74.048%（Conway和Sloane，1993年，第3页）。对于三维填料，C.A.Rogers（1958）表明可能的堆积密度 满足

（Le Lionnais 1983），这一结果随后提高到77.844%（Lindsey 1986），然后是77.836%（Muder 1988）。哈尔斯最终在1998年发表的一系列论文中完成了对全部猜想的证明。

有趣的是堆积密度在里面椭球形填料可以超过.

等效球体的最大数量（或-维超球体）可以接触等效球体没有交点的（超球面）称为-维度的吻接数.

这个包装密度下表总结了几种类型的球形填料。在1972年的个人通信中乌拉姆向马丁·加德纳推测，在最密集的包装中，球体允许比任何其他相同凸面固体的最密集堆积物有更多的空余空间（加德纳2001年，第135页）。

包装	分析的		参考
尽可能宽松	--	0.0555	加德纳（1966）
四面体晶格		0.3401	希尔伯特和科恩·沃森（1999年，第48-50页）
立方晶格		0.5236
六角形晶格		0.6046
随机的，随机的	--	0.6400	Jaeger和Nagel（1992）
以面为中心立方密排		0.7405	斯坦豪斯（1999年，第202页），威尔斯（1986年，第29页；1991年，第237页）
以身体为中心立方闭合包装		0.6801
六角密封填料		0.7405	斯坦豪斯（1999，第202页），威尔斯（1986，第29页；1991年，第237页）

刚性填料最低的已知密度有（加德纳1966），大大低于Hilbert和Cohn-Vossen报道（1999年，第51页）球必须接触至少四个其他触点，并且四个触点不能在一个半球或者都在一个赤道上。

Hilbert和Cohn-Vossen（1999，第48-50页）考虑了四面体晶格填充，其中每个球体接触四个相邻的球体，密度为这是碳形成的晶格钻石中的原子（Conway和Sloane，1993年，第113页）。

随机密封包装三维球体的堆积密度在0.06到0.65之间（Jaeger和Nagel 1992，Torquato等。2000). 压缩随机填充得到的多面体具有平均值13.3张脸中的一张（Coxeter 19581961）。

对于内部球形填料立方体参见Goldberg（1971）、Schaer（1966）、Gensane（2004）和Friedman。Gensane（2004）的结果改善了这些Goldberg的,12，以及所有从到除了而且几乎可以肯定是最佳的。