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椭球体

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椭球体

一般椭球，也称为三轴椭球，是一个二次曲面在中给出笛卡尔坐标通过

（x^2）/（a^2）+（y^2）／（b^2）＋（z^2）或（c^2）=1，
（1）

其中半轴为长度一,b条,和c（c）.英寸球形的坐标，这变成

（r^2cos^2thetasin^2phi）/（a^2）+（r^2 sin^2thebasin^2pi）/。
（2）

如果椭球体的两个轴的长度相同，则该图形称为球体（取决于是否c<a或c> 一个，一个扁球体或长球体），如果全部三个是一样的，是一个球Tietze（1965年，第28页）将一般椭球称为“三轴椭球”

有两个平行的家族圆形的 横截面在每个椭球体中。然而，这两者是一致的球体（Hilbert和Cohn-Vossen，1999年，第17-19页）。如果两组圆圈固定通过适当选择的狭缝连接在一起，使其能够自由旋转而不会滑动，模型是可移动的。此外，磁盘始终可以移动为一球（希尔伯特和科恩·沃森，1999年，第18页）。

1882年，斯塔德发现了椭球体的“线”结构，类似于椭圆（Hilbert和Cohn-Vossen，1999年，第19-22页）。这种结构利用了固定框架由椭圆和一个双曲线.

这个参数方程椭球的可以写为

x个=反乌苏辛
(3)
年=牛血清白蛋白
(4)
z（z）=ccosv公司。
(5)

对于u英寸[0,2pi）和v in[0，pi].

在此参数化中第一基本形式是

E类=（b^2cos^2u+a^2sin^2u）sin^2v
(6)
F类=（b^2-a^2）cosusinucosvsinv
(7)
G公司=（a^2cos^2u+b^2sin^2u）cos^2v+c^2sin ^2v，
(8)

和的第二基本形式是

e（电子）=（abcsin^2v）/（sqrt（a^2b^2cos^2v+c^2（b^2cos^2u+a^2sin^2u）sin^2v））
(9)
（f）=0
(10)
克=（abc）/（sqrt（a^2b^2cos^2v+c^2（b^2cos^2u+a^2sin^2u）sin^2v））。
(11)

同样在这个参数化中高斯曲率是

K=（a^2b^2c^2）/（[a^2b^2cos^2v+c^2（b^2cos^2u+a^2sin^2u）sin^2v]^2）
(12)

和平均曲率是

H=（abc[3（a^2+b^2）+2c^2+（a^2+b^2-2c^2）cos（2v）-2（a^2-b^2，cos（2 u）sin^2v]）/（8[a^2b^2 cos^2v+c^2（b^2cos^2 u+a^2 sin^2u）sin ^2v]^（3/2）））。
(13)

高斯曲率可以通过以下公式隐式给出

K（x，y，z）=（a^2b^6c^6）/（[c^4b^4+c^4（a^2-b^2）y^2+b^4（a^2-c^2）z^2）
(14)
=（a^6b^2c^6）/（[a^4c^4+a^4（b^2-c^2）z^2+c^4（b ^2-a^2）x^2]^2）
(15)
=（a^6b^6c^2）/（[a^4b^4+b^4（c^2-a^2）x^2+a^4（c ^2-b^2）y^2]^2）。
(16)

这个表面积椭球的

S公司=2piabnsthetaint_0^θ（（dn^2θ）/（dn^2u）+（cn^2heta）/（cn^2 u））du
(17)
=2pi[c^2+（bc^2）/（sqrt（a^2-c^2））θ+bsqrt（a ^2-c ^2）E（am（θ），k）]，
(18)

哪里ns（θ）,dn（θ）、和cn（θ）是雅各比椭圆函数具有模量k个,

k个=（e2）/（e1）
(19)
电子1=平方码（（a^2-c^2）/（a^2））
(20)
电子2=平方（（b^2-c^2）/（b^2）），
(21)

E（φ，k）是一个不完整的第二类椭圆积分,am（φ）是雅可比振幅具有模量k个,和θ通过颠倒表达式给出

e1=sn（θ，k），
(22)

哪里sn（θ）是另一个雅各比椭圆函数具有模量k个（鲍曼1961年，第31-32页；错误更正）。

表面积方程的另一种形式是

S=2pi[c^2+（bc^2）/（sqrt（a^2-c^2））F（φ，k）+bsqrt（a ^2-c ^2）E（φ，k）]，
(23)

哪里

φ=sin^（-1）（sqrt（1-（c^2）/（a^2）））。
(24)

表面积也可以直接从第一基本形式作为

S公司=int_0^piint_0^（2pi）sqrt（EG-F^2）数据集
(25)
=int_0^pisinphiint_0^（2pi）sqrt（a^2b^2cos^2phi+c^2（b^2tos^2theta+a^2sin^2theta）sin^2phi）数据集
(26)
=2sqrt（2）bint_0^pisqrt[a^2+c^2+（a^2-c^2）cos（2phi））sinphi×E（c/bsqrt（（2（b^2-a^2）））/（a^2+c^2+（a^2-c^2）cos（2pi））））sinfi）dphi。
(27)

椭球的另一种参数化是所谓的赤平椭球，由参数方程

x（u，v）=（a（1-u^2-v^2））/（1+u^2+v^2）
(28)
y（u，v）=（2bu）/（1+u^2+v^2）
(29)
z（u，v）=（2cv）/（1+u^2+v^2）。
（30）
椭球墨卡托

第三个参数化是Mercator参数化

x（u，v）=阿塞奇夫科苏
(31)
y（u，v）=布西什维辛
（32）
z（u，v）=ctanhv病毒
(33)

（Gray 1997）。

这个支持功能椭球的

h=（（x^2）/（a^4）+（y^2）或（b^4）+z^2）（c^4））^（-1/2），
(34)

和高斯曲率是

K=（h^4）/（a^2b^2c^2）
(35)

（格雷1997年，第296页）。

这个体积以半轴长椭球体为界的实体a、 b、c由提供

V=4/3piabc。
(36)

这个几何质心沿着x个-,年-、和z（z）-轴是

x个^_=3/（16）a
(37)
年^_=3/（16）b
(38)
z（z）^_=3/（16）c。
(39)

实心椭球体的惯性矩张量由下式给出

I=[1/5M（b^2+c^2）0 0；0 1/5M（a^2+c:2）0；0 0/5M（a ^2+b^2）]。
(40)

另请参见

共焦椭球坐标,共焦二次曲面,凸面的最优化理论,椭球填料,Goursat曲面,扁形球体,Prolate球体,球体,球体,超椭球体

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工具书类

Beyer，W.H。CRC标准数学表，第28版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第131页和2261987年。F.鲍曼。介绍椭圆函数及其应用。纽约：多佛，1961年。费舍尔，G.（编辑）。板65英寸数学比尔班德大学博物馆模型。布伦瑞克，德国：Vieweg，第60页，1986年。格雷，A.“椭球体”和“赤平椭球体”§13.2和13.3现代曲线和曲面的微分几何与Mathematica，第二版。博卡佛罗里达州Raton：CRC出版社，第301-303页，1997年。J.W.哈里斯。和Stocker，H.“椭球体”，第4.10.1节手册数学和计算科学。纽约：施普林格出版社，第111页，1998Hilbert，D.和Cohn-Vossen，S.“椭球和共焦二次曲面。“§4英寸几何图形和想象力。纽约：切尔西，第19-25页，1999年。Java视图。“微分几何中的经典曲面：椭球。”http://www-sfb288.math.tu-berlin.de/vgp/javaview/demo/surface/common/PaSurface_Ellipsoid.html.蒂泽，H。著名的数学问题：古代已解决和未解决的数学问题现代。纽约：Graylock出版社，第28和40-411965页。

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“椭球体。”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Ellipsoid.html

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