由圆柱和一个球被称为维维亚尼的曲线.
查找侧面的 表面积的圆柱半径的内部与a相切球半径的是在Sangaku问题从1825年开始。
确定解的最简单方法是解联立方程
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(1)
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对于和,
这些给了参数方程对于维维亚尼曲线在这种情况下(左图)。这个表面积然后可以通过构造一个序列来找到曲线段(右图)。曲面周围的弧长元素圆柱体高度由提供
这个表面积四分之一的表面是然后
需要注意处理下限,
总数表面积就是那个时候
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Rothman(1998)在更为迂回的几何论证中得出的结果。(请注意,Rothman原始文章中打印的答案不正确;更正后的答案已发布在文章的互联网版本上。)