话题
搜索

超球体


这个n个-超球体(通常简称为n个-sphere)是圆圈(被几何学家称为2球体)和通常(被几何学家称为3球体)到尺寸n> =4. Then个-因此定义了球体(同样,对几何师来说;见下文)作为集合n个-元组共个点(x_1,x2个, ...,x个n)这样的话

 x_1^2+x_2^2++x_n^2=R^2,
(1)

哪里R(右)半径超球体。

不幸的是,几何学家和地形学家对“n个-球体,“几何图形表示底层空间中的坐标数(“因此二维球体是一个圆”,考克塞特1973年,第125页)和地形学家指表面本身的尺寸(“n个-量纲球体序号定义为所有点的集合x=(x_1,x_2,…,x_(n+1))在里面E^(n+1)令人满意的x_1^2++x(n+1)^2=1,“霍金与杨1988,第17页;(n-1)-球体S^(n-1){R^n|d(x,0)中的x=1},”莫恩德1997年,第21页)。几何学家因此会考虑

 x_1^2+x_2^2=R^2
(2)

作为2个球体,而拓扑学家会将其视为1个球体并表示出来序号^1类似地,几何师会考虑描述的对象

 x_1^2+x_2^2+x_3^2=R^2
(3)

作为3个球体,而拓扑学家会将其称为2个球体并加以表示序号^2因此,在咨询文学。根据文献,这两种约定都在本作品中使用,具体取决于在上下文中,在可能有歧义的地方明确说明。

V_n(n)表示内容(即。,n个-维度的体积)的n个-超球面(在几何意义上)半径 R(右)由提供

 V_ n=int_0^RS_nr^(n-1)dr=(S_nr^n)/n,
(4)

哪里S_n(_n)是超链接-表面积n个-单位半径的球体。单位超球体必须满足

S_nint_0^inftye^(-r^2)r^(n-1)dr=int_(-infty)^infty。。。int_(-infty)^infty_()_(n)e^(-(x_1^2+…+x_n^2))dx_1…dx_m
(5)
=(int_(-infty)^inftye(-x^2)dx)^n。
(6)

但是伽马函数可以定义为

 伽马(m)=2int_0^inftye^(-r^2)r^(2m-1)dr,
(7)

所以

 1/2S_nGamma(1/2n)=[伽马(1/2)]^n=(pi^(1/2))^n
(8)
 S_n=(2pi^(n/2))/(伽马(1/2n))。
(9)

特殊形式的伽马(1/2 n)对于n个整数允许使用上述表达式写为

 S_n={(2^((n+1)/2)pi^(n-1)/2))/((n-2)!)表示n奇数;(2pi^,
(10)

哪里不!是一个阶乘的不!!是一个双阶乘(组织环境信息系统A072478号A072479号).

超球体区域

奇怪的是,对于单位超球体,超球体-表面积到达最大限度然后减少到0作为n个增加。重点是最大超(hyper)-表面地区满足

 (dS_n)/(dn)=(pi^(n/2)[lnpi-psi_0(1/2n)])/(γ(1/2n))=0,
(11)

哪里psi_0(x)=磅/平方英寸(x)地高玛函数。这无法解决分析性地n个,但数值解是n=7.25695。。。(组织环境信息系统A074457号;Wells 1986,第67页)。因此,七维单位超球体具有最大限度超(hyper)-表面积(Le Lionnais 1983;Wells 1986,第60页)。

在四个维度中球形的协调由提供

x_1=Rsinpsisinphicostheta公司
(12)
x2个=拟新冠病毒
(13)
x_3个=Rsinpsicosphi公司
(14)
x4个=拉科普西。
(15)

三球方程序号^3因此是

 x_1^2+x_2^2+x_3^2+x _4^2=R^2,
(16)

线条元素

 ds^2=R^2[dpsi^2+sin^2psi(dphi^2+sin^2phidtheta^2)]。
(17)

通过定义r=卢比,这个线条元素可以重写

 ds^2=(dr^2)/((1-(r^2)或(r^2))+r^2(dphi^2+sin^2phidtheta^2)。
(18)

超级用户-表面积因此,由

S_3号机组=积分_0^piRdpsiint_0^piRsinpsidphiint_0^(2pi)Rsinpsisinphidtheta
(19)
=2pi^2R^3。
(20)

另请参见

,圆形,手套,超立方体,超球体包装,超球体点拾取,马祖定理,,球体,Tesseract公司 在数学世界课堂上探索这个主题

与Wolfram一起探索| Alpha

新型网络搜索引擎

更多需要尝试的事情:

工具书类

柯林斯,G.P。“空间的形状。”科学。阿默尔。 2912004年7月,第94-103页。康威,J.H。和斯隆,新泽西州。答:。球体《填料、格架和组》,第2版。纽约:Springer-Verlag出版社,第9页,1993科克塞特,H.S。M。常规多元论,第三版。纽约:多佛,1973年。霍金,J.G。和G.S.扬。拓扑结构。纽约:多佛,1988年。Le Lionais,F。女同性恋名字是可以重复的。巴黎:赫尔曼,第58页,1983年。蒙德,C.M.公司。C、。代数拓扑结构。纽约:多佛,1997年。彼得森,I。这个数学旅游:现代数学快照。纽约:W.H。弗里曼,第96-1011988页。新泽西州斯隆。答:。序列A072478号,A072479号,A074457美元在线百科全书整数序列的。"D.M.索默维尔。年。几何导论n个尺寸。纽约:多佛,第136页,1958年。威尔斯,D。这个企鹅奇趣数字词典。英国米德尔塞克斯:企鹅出版社,1986年。

参考Wolfram | Alpha

超球体

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Hypersphere”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Hypersphere.html

受试者分类