A330973-编号：A330973-OEIS

A330972

包含最小数的排序列表，每个可能的非零因子分解数都大于1。

+10
38

1, 4, 8, 12, 16, 24, 36, 48, 60, 72, 96, 120, 128, 144, 180, 192, 216, 240, 256, 288, 360, 384, 420, 432, 480, 576, 720, 768, 840, 864, 900, 960, 1024, 1080, 1152, 1260, 1440, 1680, 1728, 1800, 1920, 2048, 2160, 2304, 2520, 2592, 2880, 3072, 3360, 3456, 3600

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,2

这是中首次出现的位置的排序列表A001055号范围中每个元素的(A045782号).

链接

n，a（n）的表，n=1..51。

R.E.Canfield、P.Erdős和C.Pomerance，奥本海姆关于“数字保理”的一个问题，J.数论17（1983），1-28。

例子

n=4、8、12、16、24、36、48、60时n的因式分解：

4 8 12 16 24 36 48 60

2*2 2*4 2*6 2*8 3*8 4*9 6*8 2*30

2*2*2 3*4 4*4 4*6 6*6 2*24 3*20

2*2*3 2*2*4 2*12 2*18 3*16 4*15

2*2*2*2 2*2*6 3*12 4*12 5*12

2*3*4 2*2*9 2*3*8 6*10

2*2*2*3 2*3*6 2*4*6 2*5*6

3*3*4 3*4*4 3*4*5

2*2*3*3 2*2*12 2*2*15

2*2*2*6 2*3*10

2*2*3*4 2*2*3*5

2*2*2*2*3

数学

nn=1000；

facs[n_]：=如果[n<=1，{{}}，连接@@表[Map[Prepend[#，d]&，Select[facs[n/d]，Min@@#>=d&]]，{d，Rest[Divisors[n]]}]；

nds=长度/@数组[facs，nn]；

表[位置[nds，i][[1，1]]，{i，第一个/@Gather[nds]}]

交叉参考

所有术语都属于A025487号

包括所有高度可计算的数字A033833号.

因子分解是A001055号，带图像A045782号.

最小的数字A045782号（n）因子分解是A045783号（n） ●●●●。

n次因式分解的最小值为A330973型（n） ●●●●。

严格的版本是A330997型.

囊性纤维变性。A001222号,A002033号,A007716号,A045778号,18284年,A325238型,A330935型,A330936型,A330976型,A330977型,A330989型,A330991型,A330992型.

关键词

非n

作者

古斯·怀斯曼2020年1月6日

状态

经核准的

A033833号

高因子分解数：具有记录数量的适当因子分解的数。

+10
34

1, 4, 8, 12, 16, 24, 36, 48, 72, 96, 120, 144, 192, 216, 240, 288, 360, 432, 480, 576, 720, 960, 1080, 1152, 1440, 2160, 2880, 4320, 5040, 5760, 7200, 8640, 10080, 11520, 12960, 14400, 15120, 17280, 20160, 25920, 28800, 30240, 34560

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,2

第一个不同于A045783号和A330972型缺少60。

中的记录索引A028422号或A001055号.

链接

阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..235时的n，a（n）表（E.R.Canfield等人的术语1..118）

E.R.Canfield、P.Erdős、C.Pomerance、，关于Oppenheim关于数字保理的一个问题，J.数论17（1983）1-28，表1，“n”列。

金俊奎，关于高因子数，《数论杂志》，第72卷，第1期（1998年），第76-91页。

阿诺德·克诺普马赫和迈克尔·梅斯，整数的有序和无序分解《数学杂志》，第10卷，第1期（2006年），第72-89页。

配方奶粉

A001055号（a（n））=A272691型（n） ●●●●-古斯·怀斯曼2020年1月13日

例子

发件人古斯·怀斯曼2020年1月13日：（开始）

初始条款的分解：

() (4) (8) (12) (16) (24) (36) (48)

(2*2) (2*4) (2*6) (2*8) (3*8) (4*9) (6*8)

(2*2*2) (3*4) (4*4) (4*6) (6*6) (2*24)

(2*2*3) (2*2*4) (2*12) (2*18) (3*16)

(2*2*2*2) (2*2*6) (3*12) (4*12)

(2*3*4) (2*2*9) (2*3*8)

(2*2*2*3) (2*3*6) (2*4*6)

(3*3*4) (3*4*4)

(2*2*3*3) (2*2*12)

(2*2*2*6)

(2*2*3*4)

(2*2*2*2*3)

（结束）

数学

nn=100；

facs[n_]：=如果[n<=1，{{}}，连接@@表[Map[Prepend[#，d]&，Select[facs[n/d]，Min@@#>=d&]]，{d，Rest[Divisors[n]]}]；

qv=表格[长度[facs[n]]，{n，nn}]；

表[位置[qv，i][[1，1]]，{i，qv//.{foe____，x_，y_，afe___}/；x> =y:>{foe，x，afe}}](*古斯·怀斯曼2020年1月13日*）

交叉参考

所有术语都属于A025487号以及到A330972型.

相应的记录是A272691型.

严格的版本是A331200型.

因子分解是A001055号，带图像A045782号和补充A330976型.

囊性纤维变性。A028422号,A033834号,A045778号,A045783号,A330973型,A330998型,A331049型,A331050型.

关键词

非n

作者

杰夫·伯奇

状态

经核准的

A045782号

某些n的n的因式分解数（A001055号).

+10
33

1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 16, 19, 21, 22, 26, 29, 30, 31, 36, 38, 42, 45, 47, 52, 56, 57, 64, 66, 67, 74, 77, 92, 97, 98, 101, 105, 109, 118, 135, 137, 139, 141, 162, 165, 171, 176, 181, 189, 195, 198, 203, 212, 231, 249, 250, 254, 257, 267, 269, 272, 289

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,2

还有的图像A318284型. -古斯·怀斯曼2020年1月11日

链接

n=1..61时的n，a（n）表。

Florian Luca、Anirban Mukhopadhyay和Kotyada Srinivas，关于Oppenheim的“factorisatio numerorum”函数，arXiv:0807.0986[math.NT]，2008年。

配方奶粉

Luca等人的论文表明，a（n）<=x的项数是x^{O（log-log-log-x/log-log x）}-N.J.A.斯隆2009年6月12日

数学

术语=61；m0=10^5；dm=10^4；

f[1，_]=1；f[n_，k_]：=f[n，k]=Sum[f[n/d，d]，{d，Select[Divisions[n]，1<#<=k&]}]；

清除[seq]；seq[m_]：=seq[m]=排序[计数[表[f[n，n]，{n，1，m}][[All，1]][[1；；术语]]；序列[m=m0]；序列[m+=dm]；当[打印[m]时；序列[m]！=序列[m-dm]，m+=dm]；

序列[m](*Jean-François Alcover公司，2018年10月4日*）

交叉参考

因子分解是A001055号用图像这个序列和补码A330976型.

严格的因子分解是A045778号带图像A045779号和补充A330975型.

具有a（n）因子分解的最小值为A045783号（n） ●●●●。

有n个因子分解的最小值为A330973型（n） ●●●●。

囊性纤维变性。A002033号,A007716号,A033833号,A318284型,A325238型,A330935型,A330936,A330977型,A330989,A330991型,A330992型,A330997型.

关键词

非n

作者

大卫·W·威尔逊

扩展

姓名编辑人古斯·怀斯曼2020年1月11日

状态

经核准的

A045783号

具有的最小值A045782号（n）因子分解。

+10
28

1, 4, 8, 12, 16, 24, 36, 60, 48, 128, 72, 96, 120, 256, 180, 144, 192, 216, 420, 240, 1024, 384, 288, 360, 2048, 432, 480, 900, 768, 840, 576, 1260, 864, 720, 8192, 960, 1080, 1152, 4620, 1800, 3072, 1680, 1728, 1920, 1440, 32768, 2304, 2592, 6144

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,2

链接

n=1..49时的n，a（n）表。

维基百科，乘法分区

R.E.Canfield、P.Erdős和C.Pomerance，奥本海姆关于“数字保理”的一个问题，J.数论17（1983），1-28。

例子

发件人古斯·怀斯曼2020年1月11日：（开始）

n=1、4、8、12、16、24、36、60、48的因子分解：

{} 4 8 12 16 24 36 60 48

2*2 2*4 2*6 2*8 3*8 4*9 2*30 6*8

2*2*2 3*4 4*4 4*6 6*6 3*20 2*24

2*2*3 2*2*4 2*12 2*18 4*15 3*16

2*2*2*2 2*2*6 3*12 5*12 4*12

2*3*4 2*2*9 6*10 2*3*8

2*2*2*3 2*3*6 2*5*6 2*4*6

3*3*4 3*4*5 3*4*4

2*2*3*3 2*2*15 2*2*12

2*3*10 2*2*2*6

2*2*3*5 2*2*3*4

2*2*2*2*3

（结束）

交叉参考

所有术语都属于A025487号.

严格的版本是A045780型.

排序后的版本为A330972型.

包括所有高度可计算的数字A033833号.

有n个因子分解的最小值为A330973型（n） ●●●●。

因子分解是A001055号带图像A045782号和补充A330976.

严格的因子分解是A045778号带图像A045779号和补充A330975型.

囊性纤维变性。A070175号,A318284型,A325238,A330974型,A330989型,A330992型,A330998型.

关键词

非n

作者

大卫·W·威尔逊

状态

经核准的

A330976型

不是任何正整数的因子分解数>1的数字。

+10
23

6, 8, 10, 13, 14, 17, 18, 20, 23, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 43, 44, 46, 48, 49, 50, 51, 53, 54, 55, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 75, 76, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 93, 94, 95, 96, 99

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,1

警告：我只确认了前八个条款。其余的是从A045782号. -古斯·怀斯曼2020年1月7日

链接

n=1..65时的n，a（n）表。

R.E.Canfield、P.Erdős和C.Pomerance，奥本海姆关于“数字保理”的一个问题，J.数论17（1983），1-28。

数学

nn=15；

fam[n_]：=fam[n]=如果[n<=1，{{}}，连接@@表[Map[Prepend[#，d]&，选择[fam[n/d]，Min@@#>=d&]]，{d，Rest[Divisors[n]}]]；

nds=长度/@Array[fam[#]&，2^nn]；

补码[范围[nn]，nds]

交叉参考

的补语A045782号.

严格的版本是A330975型.

因子分解是A001055号，带图像A045782号.

严格的因子分解是A045778号，带图像A045779号.

n次因式分解的最小值为A330973型（n） ●●●●。

囊性纤维变性。A033833号,A045779号,A045783号,A317145型,A330935型,A330972型,A330974型,A330977型,A330991型.

关键词

非n

作者

古斯·怀斯曼2020年1月7日

状态

经核准的

A045779号

将n分解为某些n的不同因子的次数（A045778号).

+10
19

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 25, 27, 31, 32, 33, 34, 38, 40, 42, 43, 44, 46, 52, 54, 55, 56, 57, 59, 61, 64, 67, 70, 74, 76, 80, 83, 88, 89, 91, 93, 100, 104, 110, 111, 112, 116, 117, 120, 122, 123, 132, 137, 140, 141, 142, 143, 148

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,2

链接

n，a（n）的表，n=1..66。

维基百科，乘法分区

R.E.Canfield、P.Erdős和C.Pomerance，奥本海姆关于“数字保理”的一个问题，J.数论17（1983），1-28。

交叉参考

因子分解是A001055号，带图像A045782号，带补码A330976型.

严格的因子分解是A045778号带有图像A045779号和补充A330975型.

具有的最小数字A045779号（n）严格因子分解是A045780美元（n） ●●●●。

n个严格因子分解的最小值为A330974型（n） ●●●●。

囊性纤维变性。A001222号,A033833号,A045783号,A318286型,A328966型,A330972型,A330973型,A330997型.

关键词

非n

作者

大卫·W·威尔逊

扩展

姓名编辑人古斯·怀斯曼2020年1月11日

状态

经核准的

A330991型

因子分解数大于1的正整数(A001055号)是质数(A000040型).

+10
17

4, 6, 8, 9, 10, 14, 15, 16, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 30, 32, 33, 34, 35, 38, 39, 40, 42, 46, 49, 51, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 64, 65, 66, 69, 70, 74, 77, 78, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 93, 94, 95, 96, 102, 104, 105, 106, 110, 111, 114, 115, 118, 119

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,1

总之，A001055号（a（n））属于A000040型.

链接

阿米拉姆·埃尔达尔，n，a（n）表，n=1.10000

R.E.Canfield、P.Erdős和C.Pomerance，奥本海姆关于“数字保理”的一个问题，J.数论17（1983），1-28。

例子

选定术语的因子分解：

(4) (8) (16) (24) (60) (96)

(2*2) (2*4) (2*8) (3*8) (2*30) (2*48)

(2*2*2) (4*4) (4*6) (3*20) (3*32)

(2*2*4) (2*12) (4*15) (4*24)

(2*2*2*2) (2*2*6) (5*12) (6*16)

(2*3*4) (6*10) (8*12)

(2*2*2*3) (2*5*6) (2*6*8)

(3*4*5) (3*4*8)

(2*2*15) (4*4*6)

(2*3*10) (2*2*24)

(2*2*3*5) (2*3*16)

(2*4*12)

(2*2*3*8)

(2*2*4*6)

(2*3*4*4)

(2*2*2*12)

(2*2*2*2*6)

(2*2*2*3*4)

(2*2*2*2*2*3)

数学

facs[n_]：=如果[n<=1，{{}}，连接@@表[Map[Prepend[#，d]&，Select[facs[n/d]，Min@@#>=d&]]，{d，Rest[Divisors[n]]}]；

选择[Range[100]，PrimeQ[Length[facs[#]]&]

交叉参考

因子分解是A001055号，带图像A045782号，带补语A330976型.

严格整数分区数为素数的数字是A035359号.

整数分区数为素数的数字是A046063型.

集合分区数为素数的数字是A051130型.

因子分解数是2的幂的数字是A330977型.

素数（n）分解的最小值为A330992（n） ●●●●。

囊性纤维变性。A001222号,A033833号,A045783美元,A181819号,A181821号,A326622型,A330972型,A330973型,A330993型.

关键词

非n

作者

古斯·怀斯曼2020年1月7日

状态

经核准的

A045780美元

最小值A045779号（n）将因子分解为不同的因子。

+10
15

1, 6, 12, 64, 24, 256, 48, 512, 60, 96, 2048, 144, 210, 120, 216, 180, 384, 288, 16384, 240, 432, 420, 65536, 1536, 360, 480, 900, 864, 3072, 1152, 1296, 2310, 524288, 6144, 960, 720, 840, 2304, 1728, 1080, 1260, 2592, 2097152, 1800, 4608, 24576

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,2

链接

n=1..46时的n、a（n）表。

例子

发件人古斯·怀斯曼2020年1月11日：（开始）

n=1..9时a（n）的严格因式分解：

() (6) (12) (64) (24) (256) (48) (512) (60)

(2*3) (2*6) (2*32) (3*8) (4*64) (6*8) (8*64) (2*30)

(3*4) (4*16) (4*6) (8*32) (2*24) (16*32) (3*20)

(2*4*8) (2*12) (2*128) (3*16) (2*256) (4*15)

(2*3*4) (2*4*32) (4*12) (4*128) (5*12)

(2*8*16) (2*3*8) (2*4*64) (6*10)

(2*4*6) (2*8*32) (2*5*6)

(4*8*16) (3*4*5)

(2*3*10)

（结束）

交叉参考

所有术语都属于A025487号.

非严格版本是A045783号.

排序后的版本为A330997型.

因子分解是A001055号带图像A045782美元和补充A330976型.

严格的因子分解是A045778号带图像A045779号和补充A330975型.

具有n个严格因式分解的最小值为A330974型（n） ●●●●。

囊性纤维变性。A033833美元,A318286型,A330972型,A330973型,A330989型.

关键词

非n

作者

大卫·W·威尔逊

状态

经核准的

A330974型

将n个因子分解为不同因子>1的最小正整数，如果不存在这样的数，则为0。

+10
14

1, 6, 12, 64, 24, 256, 48, 512, 60, 96, 0, 2048, 0, 144, 210, 120, 216, 180, 384, 0, 288, 16384, 0, 0, 240, 0, 432, 0, 0, 0, 420, 65536, 1536, 360, 0, 0, 0, 480, 0, 900, 0, 864, 3072, 1152, 0, 1296, 0, 0, 0, 0, 0, 2310, 0, 524288, 6144, 960, 720, 0, 840, 0, 2304

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,2

链接

n=1..61时的n，a（n）表。

数学

nn=10；

fam[n_]：=fam[n]=如果[n<=1，{{}}，连接@@表[Map[Prepend[#，d]&，选择[fam[n/d]，Min@@#>=d&]]，{d，Rest[Divisors[n]}]]；

nds=长度/@Array[Select[fam[#]，UnsameQ@@#&]&，2^nn]；

表[如果[#=={}，0，#[[1，1]]&[位置[nds，i]]，{i，nn}]

交叉参考

所有非零项都属于A025487号.

严格的因子分解是A045778号，带图像A045779号.

删除了零的版本是A045780型.

非严格版本是A330973.

零的位置为A330975型.

排序后的版本为A330997型.

囊性纤维变性。A001055号,A001222号,A033833号,A045782号,A045783号,A318286型,328966美元,A330972型.

关键词

非n

作者

古斯·怀斯曼2020年1月6日

扩展

来自的更多条款王金源2021年7月7日

状态

经核准的

A330977型

因子分解数大于1的数字(A001055号)是2的幂。

+10
13

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 65, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 82, 83, 85, 86, 87

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,2

补码开始：8、16、24、27、30、32、36、40。

链接

n=1..67时的n，a（n）表。

R.E.Canfield、P.Erdős和C.Pomerance，奥本海姆关于“数字保理”的一个问题，J.数论17（1983），1-28。

例子

n=1，4，12，72的因式分解：

() (4) (12) (72)

(2*2) (2*6) (8*9)

(3*4) (2*36)

(2*2*3) (3*24)

(4*18)

(6*12)

(2*4*9)

(2*6*6)

(3*3*8)

(3*4*6)

(2*2*18)

(2*3*12)

(2*2*2*9)

(2*2*3*6)

(2*3*3*4)

(2*2*2*3*3)

数学

facs[n_]：=If[n<=1，｛｛｝｝，Join@@Table[Map[Prepend[#，d]&，Select[facs[n/d]，Min@@#>=d&]]，｛d，Rest[Divisions[n]]｝]]；

选择[Range[100]，IntegerQ[Log[2，Length[facs[#]]]&]

交叉参考

对于严格整数分区也是如此A331022飞机.

因子分解是A001055号，带图像A045782号.

有n个因子分解的最小值为A330973（n） ●●●●。

分解为2^n的最小值为A330989型（n） ●●●●。

逆素数阴影属于这个序列的数字是A330990型.

具有素数分解的数字是A330991型.

囊性纤维变性。A002033号,A033833号,A045778号,A045783号,A317145型,A326028型,A330972型,A330976型.

关键词

非n

作者

古斯·怀斯曼2020年1月7日

状态

经核准的