搜索： a228329-id:a228329
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A024492号
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| 带奇数索引的加泰罗尼亚数字：a（n）=二项式（4*n+2,2*n+1）/（2*n+2）。 |
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1, 5, 42, 429, 4862, 58786, 742900, 9694845, 129644790, 1767263190, 24466267020, 343059613650, 4861946401452, 69533550916004, 1002242216651368, 14544636039226909, 212336130412243110, 3116285494907301262, 45950804324621742364, 680425371729975800390
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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a（n）和加泰罗尼亚语（n）具有相同的2-adic赋值（等于1，小于（n+1）二进制表示中的数字之和）。特别地，当n的形式为2^m-1时，a（n）是奇的-彼得·巴拉2016年8月2日
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链接
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Elżbieta Liszewska和Wojciech Młotkowski，加泰罗尼亚序列的一些亲属《应用数学进展》，第121卷（2020年），第102105页；arXiv预印本，arXiv:1907.10725[math.CO]，2019年。
佩德罗·米亚纳和娜塔莉亚·罗梅罗，组合数和加泰罗尼亚数的矩《数论杂志》，第130卷，第8期（2010年8月），第1876-1887页。见注释3，第1882页。
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配方奶粉
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总面积：（1/2）*x^（-1）*（1平方米（1/2）*（1+平方米（1-16*x）））。
通用：3F2（[3/4，1，5/4]，[3/2，2]，16*x）-奥利维尔·杰拉德2011年2月16日
a（n）=4^n*二项式（2n+1/2，n）/（n+1）-保罗·巴里2005年5月10日
a（n）=二项式（4n+1,2n+1）/（n+1）-保罗·巴里2006年11月9日
a（n）=（1/（2*Pi））*积分{x=-2..2}（2+x）^（2*n）*sqrt（（2-x）*（2+x））-彼得·卢什尼2011年9月12日
具有递推性的D-有限（n+1）*（2*n+1）*a（n）-2*（4*n-1）*（4*n+1）*a（n-1）=0-R.J.马塔尔2012年11月26日
a（n）=Sum_{k=0..n}（k+1）^2*二项式（2*（n+1），n-k）^2/（n+1）^2-弗拉基米尔·克鲁奇宁，2014年10月14日
G.f.：A（x）=（1/x）*（x-5*x^2+8*x^3-4*x^4的逆级数）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年10月31日
a（n）~平方（2）*16^n/（平方（Pi）*n^（3/2））-伊利亚·古特科夫斯基2016年8月2日
a（n）=（1/Pi）*16^（n+1）*积分{x=0..Pi/2}（cos x）^（4n+2）*（sin x）^2-格雷格·德累斯顿2021年5月30日
和{n>=0}a（n）/4^n=2-sqrt（2）-阿米拉姆·埃尔达尔2022年3月16日
a（n）=（1/4^n）*Product_{1<=i<=j<=2*n}（i+j+2）/（i+j-1）。
a（n）=产品{1<=i<=j<=2*n}（3*i+j+2）/（3*i+j-1）。囊性纤维变性。A000260型.（结束）
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例子
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平方（（1/2）*（1+平方（1-x）））=1-（1/8）*x-（5/128）*x^2-（42/2048）*x*3-。。。
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MAPLE公司
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with（combstruct）：bin:={B=并集（Z，Prod（B，B））}:seq（count（[B，bin，unlabeled]，size=2*n），n=1..18）#零入侵拉霍斯2007年12月5日
a:=n->二项式（4*n+1，2*n+1）/（n+1）：
seq（a（n），n=0..17）#彼得·卢什尼2021年5月30日
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数学
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系数列表[级数[1+（超几何PFQ[{3/4，1，5/4}，{3/2，2}，16x]-1），{x，0，17}]，x]
加泰罗尼亚数字[范围[1，41，2]](*哈维·P·戴尔2011年7月25日*）
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黄体脂酮素
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（MuPAD）组合：：catalan（2*n+1）$n=0..24//零入侵拉霍斯2008年7月2日
（MuPAD）组合：：dyckWords:：count（2*n+1）$n=0..24//零入侵拉霍斯2008年7月2日
（岩浆）[阶乘（4*n+2）/（阶乘（2*n+1）*阶乘（2*n+2））：[0.20]]中的n//文森佐·利班迪2011年9月13日
（PARI）a（n）=二项式（4*n+2,2*n+1）/（2*n+2）\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年9月13日
（极大值）a（n）：=和（（k+1）^2*二项式（2*（n+1），n-k）^2，k，0，n）/（n+1/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年10月14日*/
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000515号
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| a（n）=（2n）！（2n+1）/不^4，或者相等地（2n+1）*二项式（2n，n）^2。
（原名M4874 N2087）
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1, 12, 180, 2800, 44100, 698544, 11099088, 176679360, 2815827300, 44914183600, 716830370256, 11445589052352, 182811491808400, 2920656969720000, 46670906271240000, 745904795339462400, 11922821963004219300, 190600129650794094000, 3047248986392325330000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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a（n）也是第n个希尔伯特矩阵逆矩阵中的第（n，n）项-阿舍·奥尔2001年5月20日
a（n）也是第n个希尔伯特矩阵的行列式与第（n+1）个希尔伯特矩阵的行列式之比（见A005249号)，对于n>0。因此，第n个希尔伯特矩阵逆的行列式是a（i）对i从1到n的乘积贾德·麦克拉尼没有证据，2000年7月17日）
a（n）是二项式和的右侧：2^（4*n）*sum{i=0..n}二项式（-1/2，i）*Binominal（1/2，i）.-Yong Kong（ykong（AT）curagen.com），2000年12月26日
求和{i=0..n}求和{j=0..n{二项式（i+j，j）^2*二项式的右端（4n-2i-2j，2n-2j）。
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参考文献
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E.R.Hansen，《系列和产品表》，Prentice-Hall，恩格尔伍德悬崖，新泽西州，1975年，第96页。
A.P.Prudnikov，Yu。A.Brychkov和O.I.Marichev，“积分与级数”，第1卷：“初等函数”，第4章：“有限和”，纽约，Gordon和Breach科学出版社，1986-1992年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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D.Galakhov、A.Mironov和A.Morozov，穿墙不变量：从量子力学到纽结，arXiv预印本arXiv:1410.8482[hep-th]，2014年。见公式（A.15）。
D.H.Lehmer，A.N.Lowan等人的评论，“1-16阶勒让德多项式的零点表…”，in数学。表格辅助计算（MTAC）, 1 (1943-1945), 52-53.
佩德罗·米亚纳和娜塔莉亚·罗梅罗，组合数和加泰罗尼亚数的矩《数论杂志》，第130卷，第8期，2010年8月，第1876-1887页。参见Omega3。备注3第1882页。
孙一东、马飞，加泰罗尼亚三角形的四种变换，arXiv预印本arXiv:1305.2017[math.CO]，2013（见Omega_3）。
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配方奶粉
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a（n）~2*Pi^-1*2^（4*n）.-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年6月7日
O.g.f.：（2/Pi）*椭圆（4*sqrt（x））/（1-16*x）-弗拉德塔·乔沃维奇2005年6月15日
例如：求和{n>=0}a（n）*x^（2n）/（2n贝塞尔I（0，2*x）*（贝塞尔I（0，2*x）+4*x*贝塞尔I（1，2*x））-弗拉德塔·乔沃维奇2005年6月15日
例如：求和{n>=0}a（n）*x^（2n+1）/（2n+1）！=贝塞尔（0，2x）^2*x-迈克尔·索莫斯2005年6月22日
例如：x*（贝塞尔I（0，2x））^2=x+（2*x^3）/（U（0）-2*x^2）；U（k）=（2*x^2）*（2*k+1）+；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月23日
n ^2*a（n）-4*（2*n-1）*（2*n+1）*a（n-1）=0-R.J.马塔尔2013年9月8日
O.g.f.：浅层（[1/2，3/2]，[1]，16*x）-彼得·卢什尼2015年10月8日
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MAPLE公司
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with（linalg）：对于n从1到24的do打印（det（hilbert（n））/det（hilber（n+1））：od；
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数学
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表[（2 n+1）（n+1）^2加泰罗尼亚数字[n]^2，{n，0，18}](*简·曼加尔丹2021年9月23日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（2*n+1）*二项式（2*n，n）^2:n in[0..25]]//文森佐·利班迪2015年10月8日
（PARI）向量（100，n，n-；（2*n+1）*二项式（2*n，n）^2）\\阿尔图·阿尔坎2015年10月8日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002894号,A005249号,A002457号,A000108号,A039598号,A024492号,A000894号,A228329号,A000515号,A228330型,A228331号,A228332号,A228333号.
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A228330型
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| 设h（m）表示第n项为和{k=0..n}（k+1）^m*T（n，k）^2的序列，其中T（n、k）是加泰罗尼亚三角形A039598号这是h（4）。 |
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1, 20, 362, 6504, 114686, 1992536, 34231540, 583027920, 9862508790, 165918037560, 2778642667020, 46358257249200, 770951008563372, 12785838603285104, 211540243555702376, 3492587812271418784, 57557091526140668070, 946970607665938615032, 15557339429900195819164, 255246113991506558429936
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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链接
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佩德罗·米亚纳（Pedro J.Miana）、娜塔莉亚·罗梅罗（Natalia Romero）、，组合数和加泰罗尼亚数的矩《数论杂志》，第130卷，第8期，2010年8月，第1876-1887页。见第1882页备注3。欧米茄4（n）=a（n-1）。
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配方奶粉
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猜想：n*（2*n+1）*（3467*n-4029）*a（n）+8*（-36721*n^3+109040*n^2-137926*n+69822）*a-R.J.马塔尔2013年9月8日
递归：n*（2*n+1）*（15*n^3-30*n^2+16*n-2）*a（n）=2*（4*n-5）*（4*n-3）*（15*n^3+15*n*2+n-1）*a（n-1）-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日
a（n）=二项式（4*n，2*n）*（15*n^3+15*n^2+n-1）/（（2*n+1）*（4*n-1））。
a（n）=4*Sum_{k=0..n}（k+1）^6*（二项式（2*n+1，n-k）/（n+k+2））^2。（结束）
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数学
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表[4*和[（k+1）^6*（二项式[2n+1，n-k]/（n+k+2））^2，{k，0，n}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）向量（20，n，n-；二项式（4*n，2*n）*（15*n^3+15*n*2+n-1）/（（2*n+1）*（4*n-1））\\G.C.格鲁贝尔2019年3月2日
（岩浆）[二项式（4*n，2*n）*（15*n^3+15*n^2+n-1）/（（2*n+1）*（4*n-1））：n in[0.20]]//G.C.格鲁贝尔2019年3月2日
（Sage）[（0..20）中n的二项式（4*n，2*n）*（15*n^3+15*n^2+n-1）/（（2*n+1）*（4*n-1）]#G.C.格鲁贝尔2019年3月2日
（GAP）列表（[0..20]，n->二项式（4*n，2*n）*（15*n^3+15*n^2+n-1）/（2*n+1）*（4*n-1））#G.C.格鲁贝尔2019年3月2日
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A228333号
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| 设h（m）表示第n项为Sum__{k=0..n}（k+1）^m*T（n，k）^2的序列，其中T（n、k）是加泰罗尼亚三角形A039598号这是h（7）。 |
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6
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1, 132, 4260, 120400, 3017700, 69776784, 1524611088, 31951782720, 648578888100, 12837530477200, 248966505964176, 4747739344525632, 89267646282614800, 1658349027407016000, 30489930211792680000, 555544747397829254400, 10042477557290424843300, 180267292319119226298000, 3215718323211443887530000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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佩德罗·米亚纳（Pedro J.Miana）、娜塔莉亚·罗梅罗（Natalia Romero）、，组合数和加泰罗尼亚数的矩《数论杂志》，第130卷，第8期，2010年8月，第1876-1887页。参见Omega7。注释3，第1882页。
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配方奶粉
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猜想：n^2*（304*n-411）*a（n）+4*（-1814*n^3+2554*n^2-4776*n+7567）*a-R.J.马塔尔2013年12月4日
重复次数：n^2*（6*n^3-12*n^2+6*n-1）*a（n）=4*（2*n-3）*（2*n+1）*（6*n^3+6*n*^2-1）*a（n-1）-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日
a（n）=二项式（2*n，n）^2*（2*n+1）*（6*n^3+6*n^2-1）/（2*n-1）-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日
G.f.：（（256*x+3）*超几何（[1/2，5/2]，[1]，16*x）+80*（38*x+1）*x*超几何-马克·范·霍伊2014年4月12日
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数学
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表[和[（k+1）^7*（二项式[2n+1，n-k]*2*（k+1，（n+k+2））^2，{k，0，n}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日*）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A228331号
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| 设h（m）表示第n项为Sum__{k=0..n}（k+1）^m*T（n，k）^2的序列，其中T（n、k）是加泰罗尼亚三角形A039598号这是h（5）。 |
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1, 36, 780, 16240, 321300, 6131664, 114017904, 2079380160, 37356642180, 663144710800, 11657925495216, 203295462691776, 3521108298744400, 60632838691387200, 1038859802556120000, 17721669103065158400, 301147406355880764900, 5099997408534884394000, 86106549929771707182000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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佩德罗·米亚纳（Pedro J.Miana）、娜塔莉亚·罗梅罗（Natalia Romero）、，组合数和加泰罗尼亚数的矩《数论杂志》，第130卷，第8期，2010年8月，第1876-1887页。参见Omega5。注释3，第1882页。
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配方奶粉
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猜想：n^2*a（n）+4*（2*n^2-22*n+11）*a（n-1）+16*（-7*n^2-54*n+166）*a-R.J.马塔尔2013年9月8日
重复次数：n^2*（3*n^2-5*n+1）*a（n）=4*（2*n-3）*（2*n+1）*（3*n^2+n-1）*a（n-1）-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日
a（n）=二项式（2*n，n）^2*（2*n+1）*（3*n^2+n-1）/（2*n-1）-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日
G.f.：（（28*x+3）*超几何（[1/2，5/2]，[1]，16*x）+20*x*（1-16*x）*超地理（[3/2，7/2]，[2]，16*x））/3-马克·范·霍伊2014年4月12日
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数学
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表[和[（k+1）^5*（二项式[2n+1，n-k]*2*（k+1，（n+k+2））^2，{k，0，n}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日*）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A228332号
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| 设h（m）表示第n项为和{k=0..n}（k+1）^m*T（n，k）^2的序列，其中T（n、k）是加泰罗尼亚三角形A039598号这是h（6）。 |
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4
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1, 68, 1778, 43080, 958430, 20119736, 405350788, 7921691280, 151231519350, 2834134359000, 52320693313020, 953960351550960, 17212782834351468, 307826474156801840, 5462948893700675720, 96303960593503261984, 1687752152779483045542, 29424712141610821296408, 510621541414656188646220
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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佩德罗·米亚纳（Pedro J.Miana）、娜塔莉亚·罗梅罗（Natalia Romero）、，组合数和加泰罗尼亚数的矩《数论杂志》，第130卷，第8期，2010年8月，第1876-1887页。见第1882页备注3。欧米茄6（n）=a（n-1）。
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配方奶粉
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递归：n*（2*n+1）*（105*n^5-420*n^4+588*n^3-356*n^2+96*n-10）*a（n）=2*（4*n-7）*（4xn-5）*（105*n^5+105*n^4-42*n^3-62*n^2-7*n+3）*a-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日
a（n）=二项式（4*n，2*n）*（105*n^5+105*n^4-42*n^3-62*n^2-7*n+3）/（2*n+1）*（4*n-3）*（4*n-1））-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日
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数学
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表[和[（k+1）^6*（二项式[2n+1，n-k]*2*（k+1，（n+k+2））^2，{k，0，n}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日*）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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A232535型
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| 三角形T（n，k），0<=k<=n，由以下定义的行读取：。 |
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+10
0
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1, 1, 2, 1, 8, 3, 1, 18, 25, 4, 1, 32, 98, 56, 5, 1, 50, 270, 336, 105, 6, 1, 72, 605, 1320, 891, 176, 7, 1, 98, 1183, 4004, 4719, 2002, 273, 8, 1, 128, 2100, 10192, 18590, 13728, 4004, 400, 9, 1, 162, 3468, 22848, 59670, 68068, 34476, 7344, 561, 10, 1, 200, 5415
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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链接
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配方奶粉
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通用公式：（1-x）/（1-2*x*（1+y）+x^2*（1-y）^2）。
T（n，k）=2*T（n-1，k）+2*T（n-1，k-1）+2*T（n-2，k-1。
T（n，k）=二项式（2*n，2*k）*（2*n+1-k）/（2*n+1-2*k）-彼得·卢什尼2013年11月26日
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例子
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三角形开始：
1
1, 2
1, 8, 3
1, 18, 25, 4
1, 32, 98, 56, 5
1, 50, 270, 336, 105, 6
1, 72, 605, 1320, 891, 176, 7
1, 98, 1183, 4004, 4719, 2002, 273, 8
1, 128, 2100, 10192, 18590, 13728, 4004, 400, 9
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MAPLE公司
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T:=（n，k）->二项式（2*n，2*k）*（2*n+1-k）/（2*n+1-2*k）；
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..9）#彼得·卢什尼2013年11月26日
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数学
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压扁[表[（二项式[2n，2k]+二项式[20n+1，2k]）/2，{n，0，10}，{k，0，n}]](*哈维·P·戴尔2015年7月5日*）
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交叉参考
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