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0, -1, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, -1, -1, -1, -1, 2, -1, 3, -1, -1, -1, 4, -1, -1, -1, -1
评论
Maple程序CatalanRank改编自CAGES手册的算法3.23。
例子
我们有长度为2*0:0的Cat(0)=1完全平衡的二进制序列,因此a(0)=0,Cat(1)=1长度为2*1:10,因此a,(2)=0;Cat(2)=2长度为2*2:1010(=10.)和1100(=12.),因此a,111000(=56),因此a(42)=0,a(44)=1,a(50)=2,a(52)=3,a(56)=4。等等。
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加泰罗尼亚排名:=proc(n,aa)local y,r,lo,a;a:=aa;r:=0;y:=-1;lo:=0;而(a>0)如果(0=(a mod 2)),则r:=r+1;lo:=lo+A009766号(r,y);否则y:=y+1;fi;a:=地板(a/2);od;返回((二项式(2*n,n)/(n+1))-(lo+1));结束;
以10为基数写入的2n个二进制数字的完全平衡序列列表。每个项的二进制展开包含n个0和n个1,并且从左到右读取(从最高有效位到最低有效位),0的数量永远不会超过1的数量。
+10 374
0, 2, 10, 12, 42, 44, 50, 52, 56, 170, 172, 178, 180, 184, 202, 204, 210, 212, 216, 226, 228, 232, 240, 682, 684, 690, 692, 696, 714, 716, 722, 724, 728, 738, 740, 744, 752, 810, 812, 818, 820, 824, 842, 844, 850, 852, 856, 866, 868, 872, 880, 906, 908, 914
评论
这些编码宽度为2n的山脉、n+1个顶点和n个边的有根平面树、n个节点的平面种植树、n+1片叶子的有根的平面二叉树(2n个边、2n+1个点、n个内部节点、包含根)、Dyck单词、二元括号、括号、,加泰罗尼亚语系中的非交叉握手和分隔以及许多其他组合结构,列举如下A000108美元.
序列确实从n=0开始,因为在Dyck语言的二进制解释中(例如,括号中“1”代表“(”,“0”代表“)”),如果(0)=0,那么它将代表“0”和“1”平衡的空字符串(因此括号是平衡的)-丹尼尔·福格斯2013年2月17日
参考文献
Donald E.Knuth,《计算机编程的艺术》,第4A卷:组合算法,第1部分,Addison-Wesley,2011年,第7.2.1.6节,第443页(算法P)。
链接
杰森·贝尔、托马斯·芬恩·利德贝特和杰弗里·沙利特,正则语言逼近的可加数论,arXiv:1804.07996[cs.FL],2018年。
N.G.De Bruijn和B.J.M.Morselt,关于梧桐树的一点注记,J.组合理论2(1967),27-34。
R.K.盖伊,第二强大数定律,数学。Mag,63(1990),第1期,3-20。
Dana G.Korssjoen、Biyao Li、Stefan Steinerberger、Raghavendra Tripathi和Ruimin Zhang,用图论寻找实数序列的结构:一个问题列表,arXiv:2012.04625[math.CO],2020-2021。
例子
a(19)=226_10=11100010_2=A063171号(19) 作为括号表达式:(()))(),作为二叉树,从左到右以深度第一的方式进行,二进制展开中的1代表内部(分支)节点,0代表叶:
0 0
\ /
1 0 0 (0)
\ / \ /
1 1
\ /
1
注意,在这个编码方案中,二叉树的最后一片叶子(在括号中)是隐式的。如果我们将其内部节点(1)解释为cons单元,每个向左分支是“car”,向右分支是对的“cdr”部分,终端节点(0)是()的(NIL),则该树也可以转换为Lisp、Scheme和Prolog等语言中的特定S表达式。因此,我们有(cons(cons()())())(cons()()))='(((())。() ) . () ) . ( () . ())=(((()))()),即与上述括号表达式相同,但由额外的括号包围。此映射由Scheme函数执行A014486号->括号如下。
术语和相应的有序根树开始于:
0:o(零)
2:(o)
10:(oo)
12:(o)
42:(ooo)
44:(o(o))
50:(o)o)
52:((oo))
56:((o))
170:(oooo)
172:(oo(o))
178:(o(o)o)
180:(o(oo))
184:(o(o))
(结束)
MAPLE公司
#Maple程序CatalanUnrank改编自CAGES书籍的算法3.24和Ruskey论文中的Scheme函数CatalanOnrank。有关相应的c程序,请参见a089408.c程序。
CatalanSequences:=proc(upto_n)local n,a,r;a:=[];对于n从0到upto_n do,对于r从0到(二项式(2*n,n)/(n+1))-1 doa:=[op(a),CatalanUnrank(n,r)];od;od;返回a;结束;
CatalanUnrank:=proc(n,rr)local r,x,y,lo,m,a;r:=(二项式(2*n,n)/(n+1))-(rr+1);y:=0;lo:=0;a:=0;对于x从1到2*n做m:=Mn(n,x,y+1);如果(r<=lo+m-1),则y:=y+1;a:=2*a+1;否则lo:=lo+m;y:=y-1;a:=2*a;fi;od;返回a;结束;
Mn:=(n,x,y)->二项式(2*n-x,n-((x+y)/2))-二项式;
#备选方案:
bin:=n->ListTools:-反转(convert(n,base,2)):
isA014486:=进程(n):本地B,s,B;s:=0;
如果n>0,则
对于bin(n)do中的b
s:=s+ifelse(b=1,1,-1);
如果0>s,则返回假fi;
od fi;
s=0结束:
选择(isA014486,[seq(0..240)])#彼得·卢什尼2024年3月13日
数学
猫[n]:=(2 n)/不/(n+1)!;b2d[li_List]:=折叠[2#1+#2&,0,li]
d2b[n_Integer]:=整数位数[n,2]
树[n_]:=联接[表[1,{i,1,n}],表[0,{i,1,n}]]
nexttree[t_]:=展平[Reverse[t]/。{a___,0,0,1,b__}:>反向[{排序[{a,0}]//反向,1,0,b}]]
wood[n_/;n<8]:=嵌套列表[nexttree,tree[n],cat[n]-1]
表[反面[b2d/@wood[j]],{j,0,6}]//压扁
tbQ[n_]:=模块[{idn2=整数位数[n,2]},计数[idn2,1]==长度[idn2]/2和最小值[Accumulate[idn2/.{0->-1}]>=0];加入[{0},选择[Range[900],tbQ]](*哈维·P·戴尔2013年7月4日*)
balancedQ[0]=真;balancedQ[n_]:=模[{s=0},Do[s+=如果[b==1,1,-1];如果[s<0,返回[False]],{b,IntegerDigits[n,2]}];返回[s==0]];A014486号=FromDigits/@IntegerDigits[Select[Range[0,1000],balancedQ]](*Jean-François Alcover公司2016年3月5日*)
A014486Q[0]=正确;A014486Q[n_]:=Catch[Fold[If[#<0,Throw[False],If[#2==0,#-1,#+1]]&,0,整数位数[n,2]]==0];选择[范围[0,880],A014486Q](*郑焕敏2016年12月11日*)
(*使用Knuth的TAOCP第7.2.1.6节中的算法P-参见参考和链接。*)
alist[n_]:=块[{a=扁平[表[{1,0},n]],m=2*n-1,j,k},
从数字[#,2]&/@收割[
虽然[正确,
母猪[a];a[[m]]=0;
如果[a[[m-1]]==0,
a[[--m]]=1,j=m-1;k=2*n-1;
当[j>1&&a[j]]==1时,a[[j-]]=0;a[[k]]=1;k=2];
如果[j==1,则中断[]];
a[[j]]=1;m=2*n-1]
]][[2, 1]]];
联接[{{0},{2}},数组[alist,4,2]](*保罗·沙萨2024年3月16日*)
黄体脂酮素
(定义(CatalanUnrank大小等级)(让循环((a 0)(m(-1+大小)))(y大小)(等级等级)(c(A009766号(-1+尺寸))(如果(负?m)a(如果(>=等级c)(回路(1+(*2a))m(-1+y)(-等级c)(A009766号m(-1+y))(回路(*2a)(-1+m)y秩(A009766号(-1+m)年))
;;; 这会将完全平衡的二进制字符串“n”转换为相应的S表达式:
(定义(A014486号->括号n)(let loop((n n)(stack(list(list))))(cond((zero?n)(car stack))((zero-(module n 2))(loop(floor->exact(/n 2))
(定义(cons2top!堆栈)(let((ex-cdr(cdr-stack)))(set-cdr!堆栈(car-ex-cdr)))
(PARI)是A014486(n)=my(v=二进制(n),t=0);对于(i=1,#v,t+=if(v[i],1,-1);如果(t<0,返回(0));t==0\\查尔斯·格里特豪斯四世,2011年6月10日
(PARI)a_rows(N)=我的(a=Vec([[0]],N));对于(r=1,N-1,my(b=a[r],c=List());foreach(b,t,my(v=if(t,估价(t,2),0);对于(i=0,v,listput(~c,(t<<2)+(2<<i)));a[r+1]=Vec(c));a\\路德·范托尔(Ruud H.G.van Tol),2024年5月16日
(SageMath)
B=箱(n)[2::],如果n!=0其他0
s=0
对于b中的b:
如果b=='1'else-1,则s+=1
如果0>s:返回False
返回0==s
(Python)
从itertools导入计数,islice
从sympy.utilities.iterables导入multiset_permutations
产量0
对于计数(1)中的l:
对于multiset_permutations('0'*l+'1'*(l-1))中的s:
c、 m=0,(l<<1)-1
对于范围(m)内的i:
如果s[i]==“1”:
c+=2
如果c<i:
打破
其他:
产量(1<<m)+int(''.join(s),2)
扩展
来自的其他评论安蒂·卡图恩2000年8月11日和2004年5月25日
添加了a(0)=0(已于2011年6月删除),乔格·阿恩特2013年2月27日
0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 0, 7, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
评论
注:下一个非零值出现在a(170)=9处,因为170=10101010是词典学上最早的长度为2*4的完全平衡二进制序列。
数学
A080116号[n_]:=模块[{lev=0,c=n},而[c>0,lev=lev+(-1)^c;c=楼层[c/2];如果[lev<0,返回[0]]];如果[lev>0,返回[0],返回[1]];
A215406型[n_]:=模[{m,d,a,y,t,x,u,v},m=商[Length[d=整数位数[n,2],2];a=起始数字[反向[d],2];y=0;t=1;对于[x=0,x<=2*m-2,x++,如果[Mod[a,2]==1,y++,u=2*m-x;v=m-商[x+y,2]-1;t=t-二项式[u-1,v-1]+二项式[u-1,v];y--];a=商[a,2];(1-I*Sqrt[3])/2-4^(m+1)*Gamma[m+3/2]*Hypergeometric2F1[1,m+3/2,m+3,4]/(Sqrt[Pi]*Gamma[m+3])-t];
黄体脂酮素
(请参阅OEIS Wiki上的“源代码…”页面!如果可能,请在那里添加您的代码。)
0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0
1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1
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