| 显示找到的7个结果中的1-7个。
第页1
2, 4, 8, 14, 22, 32, 44, 58, 74, 92, 112, 134, 158, 184, 212, 242, 274, 308, 344, 382, 422, 464, 508, 554, 602, 652, 704, 758, 814, 872, 932, 994, 1058, 1124, 1192, 1262, 1334, 1408, 1484, 1562, 1642, 1724, 1808, 1894, 1982, 2072, 2164, 2258, 2354, 2452, 2552
评论
长度为n+1.-的二进制（零一）双音序列数Johan Gade（jgade（AT）diku.dk），2003年10月15日
此外，n+1的排列数避免了模式213、312、13452和34521。例如：避免213、312（以及隐式13452和34521）的4的排列是1234、1243、1342、1432、2341、2431、3421、4321-迈克·扎布罗基2007年7月9日
如果Y是n个集合X的2个子集，那么对于n>=3，a（n-3）等于X的（n-3-米兰扬吉奇2007年12月28日
这个序列也表示K_2 X P_n中的哈密顿路径数(A200182型)，可以用算术级数中的交错递归多项式表示（discriminant=-63）。例如：
a（3*k-3）=9*k^2-15*k+8，
a（3*k-2）=9*k^2-9*k+4，
a（3*k-1）=9*k^2-3*k+2，
a（3*k）=3*（k+1）^2-1。（结束）
a（n+1）是顶点位于（n+3，n+4），（n-1）*n/2，n*（n+1-J.M.贝戈2018年2月2日
对于素数p和任何整数k，k^a（p-1）==k^2（mod p^2）-宋嘉宁2019年4月20日
对于n>=1，a（n-1）是方程x^2-[x^2]=（x-[x]）^2的区间0<=x<=n中的解数x，其中[x]=楼层（x）。对于n=3，区间[0，3]中的a（2）=8解是0，1，3/2，2，9/4，5/2，11/4和3。
这是1984年第20届英国数学奥林匹克运动会上提出的第四道题的变体（参见A002061号). 奥林匹亚问题的区间[1，n]在这里变为[0，n'，并且只添加了新的解x=0。（结束）
参考文献
K.E.Batcher，《分类网络及其应用》。程序。AFIPS弹簧接头计算。Conf.，第32卷，第307-314页（1968年）。[对于双音序列]
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第73页，问题3。
T.H.Cormen、C.E.Leiserson和R.L.Rivest，《算法导论》。麻省理工学院出版社/McGraw-Hill（1990）[针对双音序列]
《印第安纳州学校数学杂志》，第14卷，第4期，1979年，第4页。
D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第3卷：排序和搜索，Addison-Wesley（1973）[用于双音序列]
J.D.E.Konhauser等人，《自行车走哪条路？》？，MAA 1996，第177页。
德里克·尼德曼（Derrick Niederman），《数字怪人》（Number Freak），《从1到200揭示的数字隐藏语言》（From 1 to 200 The Hidden Language of Numbers Revealed），近地点图书，纽约，2009年，第83页。
A.M.Yaglom和I.M.Yaglom，用初等解挑战数学问题。第一卷：组合分析与概率论。纽约：Dover Publications，Inc.，1987年，第13页，#44（首次出版：旧金山：Holden-Day，Inc.，1964）
链接
A.Burstein、S.Kitaev和T.Mansour，部分有序模式及其组合解释，聚氨酯。M.A.第19卷（2008年），第2-3号，第27-38页。
郭乃涵，标准拼图的枚举，arXiv:2006.14070[math.CO]，2020年。
S.-R.Kim和Y.Sano，完全三部图的竞争数，离散应用。数学。，156 (2008) 3522-3524.
Daniel Q.Naiman和Edward R.Scheinerman，套利和几何，arXiv:1709.07446[q-fin.MF]，2017年。
Jean-Christoph Novelli和Anne Schilling，被遗忘的单子体，arXiv 0706.2996[math.CO]，2007年。
弗兰克·拉马哈罗，枚举扭曲结的状态，arXiv:1712.06543[math.CO]，2017年。
Yoshio Sano，正多面体的竞争数，arXiv:0905.1763[math.CO]，2009年。
杰弗里·沙利特，递归：一个有趣但鲜为人知的函数, 2012. [在一篇博客文章中提到这个函数是解决小n问题的方法，该问题涉及到布尔矩阵，而布尔矩阵的大n值未知。]
配方奶粉
G.f.：2*（x^2-x+1）/（1-x）^3。
n个超球将R^k划分为最多C（n-1，k）+Sum_{i=0..k}个C（n，i）区域。
等于[2，2，2，0，0，…]的二项式变换-加里·亚当森2008年6月18日
a（n）=a（n-1）+2*n（a（0）=2）-文森佐·利班迪2010年11月20日
当n>=3时，a（0）=2，a（1）=4，a（2）=8，a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）-哈维·P·戴尔2011年5月14日
a（n）=和{i=n-2..n+2}i*（i+1）/5-布鲁诺·贝塞利2016年10月20日
求和{n>=0}1/a（n）=Pi*tanh（Pi*sqrt（7）/2）/sqrt（6）-阿米拉姆·埃尔达尔2021年1月9日
产品{n>=0}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（11）*Pi/2）*sech（sqrt（7）*Pi/1）。
产品{n>=0}（1-1/a（n））=cosh（sqrt（3）*Pi/2）*sech（sqrt（7）*Pi/2）。（结束）
例子
a（0）=0^2+0+2=2。
a（1）=1^2+1+2=4。
a（2）=2^2+2+2=8。
a（6）=4*5/5+5*6/5+6*7/5+7*8/5+8*9/5=44-布鲁诺·贝塞利2016年10月20日
数学
线性递归[{3，-3，1}，{2，4，8}，50](*哈维·P·戴尔2011年5月14日*）
系数列表[级数[2（x^2-x+1）/（1-x）^3，{x，0，50}]，x](*文森佐·利班迪2015年4月29日*）
黄体脂酮素
（PARI）x='x+O（'x^100）；向量（2*x*（x^2-x+1）/（1-x）^3）\\阿尔图·阿尔坎2015年11月1日
（岩浆）[0..50]]中的[n^2+n+2:n//文森佐·利班迪2015年4月29日
0, 2, 4, 8, 16, 30, 52, 84, 128, 186, 260, 352, 464, 598, 756, 940, 1152, 1394, 1668, 1976, 2320, 2702, 3124, 3588, 4096, 4650, 5252, 5904, 6608, 7366, 8180, 9052, 9984, 10978, 12036, 13160, 14352, 15614, 16948, 18356, 19840, 21402, 23044
评论
如果Y是n个集合X的2个子集，那么对于n>=2，a（n-2）等于X的2个子集和4个子集的数量，X正好有一个元素与Y相同-米兰扬吉奇2007年12月28日
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第73页，问题4。
A.M.Yaglom和I.M.Yaglom：用初等解挑战数学问题。第一卷组合分析与概率论。纽约：Dover Publications，Inc.，1987年，第13页，#45（首次出版：旧金山：Holden-Day，Inc.，1964）。
配方奶粉
a（n）=f（n，3）其中f（n、k）=C（n-1，k）+Sum_{i=0..k}C（n，i）对于R^k中的超球面。
a（n）=n*（n ^2-3*n+8）/3。
上述恒等式被证明是以下求和及其相应递归关系的闭合形式：
a（n）=和{i=1..n}（i*（i-3）+4）。
a（n）=a（n-1）+n*（n-3）+4，a（0）=0。（结束）
a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n3）-a（n-4）。
总尺寸：2*x*（1-2*x+2*x^2）/（1-x）^4。（结束）
数学
联接[{0}，表[n（n^2-3n+8）/3，{n，50}]](*哈维·P·戴尔，2011年4月21日*）
黄体脂酮素
（Python）
定义a（n）：返回n*（n**2-3*n+8）//3#菲利普·里奇伊2017年12月10日
1, 2, 4, 8, 16, 32, 62, 114, 198, 326, 512, 772, 1124, 1588, 2186, 2942, 3882, 5034, 6428, 8096, 10072, 12392, 15094, 18218, 21806, 25902, 30552, 35804, 41708, 48316, 55682, 63862, 72914, 82898, 93876, 105912, 119072, 133424, 149038
评论
n个超球将R^k划分为最多C（n-1，k）+Sum_{i=0..k}个C（n，i）区域。
将n边的总多边形和GPS（n）定义为完全连接n边的最大组合点数（p）、交点（i）、连接（c=边（e）+对角线（d））和面积（a），再加上n边外的面积。总多边形和（p+i+c+a+1）等于这个序列，对于所有n>0的情况，可以从帕斯卡三角形第（n-1）行中的前5个条目计算出这个和的各个分量。
例如，七边形（七边形）的总多边形和：
设帕斯卡三角形的第6行={1,6,15,20,15,6,1}=ABCDEFG。
那么，GPS（7）=7+35+21+50+1=2（A+B+C+D+E）=114=A（7）。通常，a（n）=GPS（n）。（结束）
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第73页，问题4。
配方奶粉
通用格式：-（x^5+x^4-2*x^3+4*x^2-3*x+1）/（x-1）^5-科林·巴克2012年10月6日
例如：exp（x）*（2+x^2+x^4/12）-1-斯特凡诺·斯佩齐亚2024年5月19日
数学
线性递归[{5，-10，10，-5，1}，2^范围[0，5]，50](*保罗·沙萨2023年12月29日*）
反对角线读取的方阵：T（k，n）=二项式（n-1，k）+Sum_{i=0..k}二项式（n，i），k>=1，n>=0。
+10
7
1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 6, 1, 2, 4, 8, 8, 1, 2, 4, 8, 14, 10, 1, 2, 4, 8, 16, 22, 12, 1, 2, 4, 8, 16, 30, 32, 14, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 52, 44, 16, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 62, 84, 58, 18, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 114, 128, 74, 20, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 126, 198, 186, 92, 22, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
评论
T（k，n）=k空间可以被n个超球划分成的最大区域数（k>=1，n>=0）。
T（k-1，n）也是由n个泛型超平面通过k空间中的原点创建的区域数（k>=2）-肯特·莫里森2017年11月11日
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第73页，问题4。
链接
K.E.Morrison，从bocce到正：一些概率线性代数，arXiv:1405.2994[math.PR]，2014；数学。Mag.，86（2013）110-119。
配方奶粉
T（k，n）=2*Sum_{i=0..k-1}二项式（n-1，i），k>=1，n>=1-肯特·E·莫里森2017年11月11日
例子
数组开始
1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
1, 2, 4, 8, 14, 22, ...
1, 2, 4, 8, 16, ...
数学
getvalue[n_，k_]：=如果[n==0，1，二项式[n-1，k]+和[Binominal[n，i]，{i，0，k}]]；词典编纂格[{dim_，maxHeight_}]：=扁平[Array[排序@扁平[（排列[#1]&）/@IntegerPartitions[#1+dim-1，{dim}]，1]&，maxHeight]，1]；pairs=词典格[{2，13}]-1；表[getvalue[First[pairs[[j]]]，Last[pairs[[j]]]+1]，{j，1，Length[pairs.]}](*弗兰克·M·杰克逊2013年3月16日*）
平方数组T（k，n）=C（n-1，k）+Sum_{i=0..k}C（n，i）由反对偶（k>=1，n>=1）读取。
+10
4
2, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 4, 8, 8, 2, 4, 8, 14, 10, 2, 4, 8, 16, 22, 12, 2, 4, 8, 16, 30, 32, 14, 2, 4, 8, 16, 32, 52, 44, 16, 2, 4, 8, 16, 32, 62, 84, 58, 18, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 114, 128, 74, 20, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 126, 198, 186, 92, 22, 2, 4, 8, 16, 32, 64
评论
对于k>1，给出了k空间可以被n个超球划分成的最大区域数。
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第73页，问题4。
配方奶粉
T（k，n）=C（n-1，k）+和{i=0..k}C（n，i）。
例子
数组开始
2 4 6 8 10 12 ...
2 4 8 14 22 32 ...
2 4 8 16 30 52 ...
数学
A059214美元[k_，n_]：=二项式[n-1，k]+和[二项式[n，i]，{i，0，k}]；
基于四维和五维空间几何分割的音乐启发的Titius-Bode-like序列：Z_（n+1）=3*（C（n-1，0）+C（n-1,1）+C*A059620型（n+6））+4。
+10
1
4, 7, 10, 16, 28, 52, 97, 193, 301, 493, 1150, 1162, 3076, 2386, 3283, 10423, 5827, 20659, 9646, 37852, 15112, 18592, 83692, 27331, 133660, 38857, 45832, 251050, 62566, 367318, 83527, 523315, 109375, 124351, 852826, 158872, 1152508, 200140
评论
如果行星和矮行星在半长轴距离太阳的距离以天文单位/10表示，则比较以下内容（注意，运行相关系数r随着人口数量的增加而呈上升趋势）：
n=0，水银@半大调=3.8710 vs.4.0-->96.78%。
n=1，金星@半大调=7.2333对7.0-->103.33%。
n=2，土@半大管=10.0000 vs.10.0-->100.00%，r=0.998430。
n=3，Mars@semi-major=15.2368 vs.16.0-->95.23%，r=0.998356。
n=4，Ceres@semimajor=27.654对28.0-->98.76%，r=0.999412。
n=5，木星@半大调=52.0427对52.0-->100.08%，r=0.999809。
n=6，土星@半大调=95.8202对97.0-->98.78%，r=0.99937。
n=7，天王星@半主星=192.2941 vs.193.0-->99.63%，r=0.999981。
n=8，海王星@半大调=301.0366对301.0-->100.01%，r=0.99990。
这个序列和行星距离之间的对应关系在海王星之后就被打破了，除非人们采用这样一种自负的想法：将外部四颗矮行星——冥王星、豪米亚、马克马克和厄里斯——视为占据一个“行星带”的一个单位（注意厄里斯近日点位于柯伊伯带内）。然后：
n=9，冥王星/豪米亚/马克梅克/埃利斯@半大调平均约490.492对493.0-->99.49%，r=0.99994。
经验来源：截至2013年1月14日的维基百科行星页面。
这个序列是为了比较约翰·巴尔默（Johann Balmer）的“好”命理学和蒂蒂乌斯·博德（Titius-Bode）的“坏”命理的一部分。巧合的是，（托蒂恩（C（31,0）+C（31,1）+C（31，2）+C。
配方奶粉
Z_（n+1）=3*（C（n-1，0）+C（n-1,1）+C。
例子
Z_1=3*（（1-1+1-1+1）+（-1*1））+4=4，
Z_2=3*（（1+0+0+0+0）+（0*0））+4=7，
Z_3=3*（（1+1+0+0+0）+（0*0））+4=10，
Z_4=3*（（1+2+1+0+0）+（0*1））+4=16，
Z_5=3*（（1+3+3+1+0）+（0*0））+4=28，
Z_6=3*（（1+4+6+4+1）+（0*1））+4=52，
Z_7＝3*（（1+5+10+10+5）+（1*0））+4＝97，
Z_8=3*（（1+6+15+20+15）+（6*1））+4=193，
Z_9=3*（（1+7+21+35+35）+（21*0））+4=301。
数学
Z[n]：=3*（二项式[n-1，0]+二项式[1，1]+二项式[n-1，2]+二项式[n-1，3]+二项[n-1,4]+二项式[n-1，5]*（楼层[（5（n+6）+7）/12]-楼层[（五（n/6）+2）/12]）+4；表[Z[n]，{n，0，50}](*G.C.格鲁贝尔2018年1月7日*）
黄体脂酮素
（PARI）{z（n）=3*（二项式（n-1，0）+二项式；
对于（n=0，30，打印1（z（n），“，”）\\G.C.格鲁贝尔，2018年1月7日
（岩浆）[3*（二项式（n-1，0）+二项式[n-1，1）+二项式（n-1,2）+二项式[n-1,3//G.C.格鲁贝尔2018年1月7日
由升序反对偶读取的数组：A（n，k）是{0,1}^n中直径最多为k-1的一组点的最大可能基数。
+10
1
1, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 4, 4, 2, 2, 0, 1, 2, 5, 6, 4, 2, 1, 0, 1, 2, 6, 8, 7, 4, 2, 0, 0, 1, 2, 7, 10, 11, 8, 4, 2, 1, 0, 1, 2, 8, 12, 16, 14, 8, 4, 2, 2, 0, 1, 2, 9, 14, 22, 22, 15, 8, 4, 2, 1, 0, 1, 2, 10, 16, 29, 32, 26, 16, 8, 4, 2, 0
评论
如果k是奇数，则A（n，k）也是半径（k-1）/2的{0,1}^n中的汉明球的大小，如果k是偶数，则是半径k/2-1的{0,1}^n内两个汉明球并的大小，其中心是汉明距离1。
链接
Noga Alon、Zhihan Jin和Benny Sudakov，汉明球的Helly数及其相关问题，arXiv:2405.10275[math.CO]，2024。见第3页。
S.L.Bezrukov，单位立方体关于给定直径的所有最大子集的规范。Problemy Peredachi Informatsii，第106-109页，1987年。在ResearchGate研究之门.
配方奶粉
A（n，k）=Sum_{i=0..（k-1）/2}二项式（n，i），如果k是奇数；
A（n，k）=二项式（n-1，k/2-1）+和{i=0..k/2-1}如果k是偶数，则为二项式。
A（n，3）=n+1。
例子
阵列开始于：
1, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 1, ...
0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...
0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, ...
0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 8, ...
0, 1, 2, 5, 8, 11, 14, 15, ...
0, 1, 2, 6, 10, 16, 22, 26, ...
0, 1, 2, 7, 12, 22, 32, 42, ...
0, 1, 2, 8, 14, 29, 44, 64, ...
...
数学
A[n_，k_]：=如果[OddQ[k]，求和[二项式[n，i]，{i，0，（k-1）/2}]，二项式[n-1，k/2-1]+求和[二项式[n，i]；表[A[n-k，k]，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平
搜索在0.012秒内完成
| 