| 显示找到的4个结果中的1-4个。
第页1
n个分区中不包含1的分区数。
（原名M0309 N0113）
+10
371
1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 34, 41, 55, 66, 88, 105, 137, 165, 210, 253, 320, 383, 478, 574, 708, 847, 1039, 1238, 1507, 1794, 2167, 2573, 3094, 3660, 4378, 5170, 6153, 7245, 8591, 10087, 11914, 13959, 16424, 19196, 22519, 26252, 30701
评论
n+1的分区数，其中部分数本身就是一个部分。取不包含1的n个分区（包含k个部分），从每个部分中删除1，然后添加大小为k+1的新部分-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年5月1日
最大部分至少出现两次的分区数-乔格·阿恩特2011年4月17日
Lewis Mammel（l_Mammel（AT）att.net），2009年10月6日：（开始）
a（n）是2n个事物的n个不相交对的集合数，称为配对，与给定的配对不相交(A053871号)，在保持给定配对的排列下是唯一的。
可以立即从图形表示中看到，该图形表示必须分解为4个或更多事物的偶数循环，通过成对交替连接。每个事物都在一个循环中，所以这是将2n分成大于2的偶数部分，相当于将n分成大于1的部分。（结束）
另外，禁止循环的2-正则多重图的数量-杰森·金伯利2011年1月5日
多重数n，n-1，…，的出现次数。。。，n-k在n的所有分区中，对于k<n/2。（仅以大量1的倍数填充）-William Keith，2011年11月20日
q-Catalan数（（1-q）/（1-q^（n+1）））[2n，n]_q，其中[2n，n]_q是中心q系数，在其长度n的初始段中匹配该序列-威廉·基思2013年11月14日
从（2）开始，这个序列给出了在路径P_{n}的边移除游戏中创建的nim树上的顶点数，其中n是路径上的顶点数量。这是在玩边缘去除游戏时，路径可能产生的非同构图的数量-林德西·王2016年7月9日
设1,0,1,1，。。。（偏移量0）计数未标记、连接、无环1-正则有向图。这是该序列的欧拉变换，计算未标记的无环1-正则有向图。A145574号是关联的多集转换。A000166号是标记的无环1-正则有向图-R.J.马塔尔2019年3月25日
猜想：也是n-1的整数分区数，该整数分区具有从1到n-1每个正整数的连续子序列求和。例如，（32211）是这样的分区，因为我们有连续的子序列：
1: (1)
2: (2)
3:（3）或（21）
4:（22）或（211）
5:（32）或（221）
6: (2211)
7: (322)
8: (3221)
9: (32211)
（结束）
有一个充分和必要的条件来描述Gus Wiseman定义的分区。最大的部分必须小于或等于1加1的数量。因此，n中没有大于1的部分的分区数与n-1中具有从1到n-1的每个整数的连续子序列求和的分区数相同。格斯-怀斯曼的猜想可以得到令人惊讶的证明-安德鲁·叶洲（Andrew Yezhou Wang）2019年12月14日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。第55辑，1964年（以及各种再版），第836页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第115页，p*（n）。
H.P.Robinson，《致N.J.A.斯隆的信》，1974年1月4日。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
P.G.Tait，《科学论文》，剑桥大学出版社，1898年第1卷，1900年第2卷，见第1卷第334页。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
A.P.Akand等人。，非酉划分的计算研究，arXiv:2112.03264[math.CO]，2021。
科林·阿尔伯特、奥利维娅·贝克维、伊尔凡·德梅托格鲁、罗伯特·迪克斯、约翰·史密斯和贾斯敏·王，具有大Dyson秩的整数分区，arXiv:2203.08987[math.NT]，2022。
R.P.Gallant、G.Gunther、B.L.Hartnell和D.F.Rall，图的边删除游戏，JCMCC，57（2006），75-82。
Edray Herber Goins和Talitha M.Washington，关于广义爬楼梯问题，Ars Combin.117（2014），183-190。MR3243840（已审核），arXiv:0909.5459[math.CO]，2009年。
R.K.Guy和N.J.A.Sloane，通信, 1988.
J.L.Nicolas和A.Sárközy，在没有小部件的隔板上《波尔多命名期刊》，第12期第1期（2000年），第227-254页。
诺亚·鲁宾（Noah Rubin）、柯蒂斯·布莱特（Curtis Bright）、凯文·K·H·张（Kevin K.H.Cheung）和布雷特·史蒂文斯（Brett Stevens），正交拉丁方的整数规划与约束规划，arXiv:2103.11018[cs.DM]，2021。
配方奶粉
G.f.：产品{m>1}1/（1-x^m）。
a（0）=1，a（n）=p（n）-p（n-1），n>=1，分区数p（n=A000041号（n） ●●●●。
一般公式：1+Sum_{n>=2}x^n/产品{k>=n}（1-x^k）-乔格·阿恩特2011年4月13日
通用公式：和{n>=0}x^（2*n）/产品{k=1..n}（1-x^k）-乔格·阿恩特2011年4月17日
a（n）~Pi*exp（平方（2*n/3）*Pi）/（12*sqrt（2）*n^（3/2））*（1-（3*sqort（3/2，/Pi+13*Pi/（24*sqert（6）））/sqrt（n）+（217*Pi^2/6912+9/（2*Pi^2）+13/8）/n））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年2月26日，2016年11月4日延期
通用公式：exp（总和{k>=1}（σ_1（k）-1）*x^k/k）-伊利亚·古特科夫斯基2018年8月21日
通用公式：A（q）=Sum_{n>=0}q^（n^2）/（（1-q）*Product_{k=2..n}（1-q^k）^2）。
更一般地说，对于r=0,1,2，…，A（q）=Sum_{n>=0}q^（n*（n+r））/（（1-q）*Product_{k=2..n}（1-q^k）^2*Product_{i=1..r}（1-q^，。。。。（结束）
例子
a（6）=4，从6=4+2=3+3=2+2开始。
G.f.=1+x^2+x^3+2*x^4+2*x^5+4*x^6+4*x^7+7*x^8+8*x^9+。。。
不包含1的a（2）=1到a（9）=8分区如下。这些分区的Heinz数由下式给出A005408号.
(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
(22) (32) (33) (43) (44) (54)
(42) (52) (53) (63)
(222) (322) (62) (72)
(332) (333)
(422) (432)
(2222) (522)
(3222)
以下是n-1的a（2）=1到a（9）=8个分区，其最小部分正好出现一次。这些分区的Heinz数由下式给出A247180型.
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
(21) (31) (32) (42) (43) (53)
(41) (51) (52) (62)
(221) (321) (61) (71)
(331) (332)
(421) (431)
(2221) (521)
(3221)
a（2）=1到a（9）=8个n+1分区，其中部分的数量本身就是一个部分，如下所示。这些分区的Heinz数由下式给出A325761型.
(21) (22) (32) (42) (52) (62) (72) (82)
(311) (321) (322) (332) (333) (433)
(331) (431) (432) (532)
(4111) (4211) (531) (631)
(4221) (4222)
(4311) (4321)
(51111) (4411)
(52111)
以下是n的a（2）=1到a（8）=7分区，其最大部分至少出现两次。这些分区的Heinz数由下式给出A070003号.
(11) (111) (22) (221) (33) (331) (44)
(1111) (11111) (222) (2221) (332)
(2211) (22111) (2222)
(111111) (1111111) (3311)
(22211)
(221111)
(11111111)
具有n条边和n个顶点的a（2）=1到a（6）=4 2-正则多重图的非同构表示如下。
{12,12} {12,13,23} {12,12,34,34} {12,12,34,35,45} {12,12,34,34,56,56}
{12,13,24,34} {12,13,24,35,45} {12,12,34,35,46,56}
{12,13,23,45,46,56}
{12,13,24,35,46,56}
以下是n的a（2）=1到a（9）=8个分区，其中没有大于1的部分。这些分区的Heinz数由下式给出A325762型.
(11) (111) (211) (2111) (2211) (22111) (22211) (33111)
(1111) (11111) (3111) (31111) (32111) (222111)
(21111) (211111) (41111) (321111)
(111111) (1111111) (221111) (411111)
(311111) (2211111)
(2111111) (3111111)
(11111111) (21111111)
(111111111)
（结束）
MAPLE公司
with（combstruct）：ZL1:=[S，{S=Set（Cycle（Z，card>1））}，未标记]：seq（count（ZL1，size=n），n=0..50）#零入侵拉霍斯2007年9月24日
G： ={P=Set（Set（Atom，card>1））}:combstruct[gfsolve]（G，unlabeled，x）：seq（combstrut[count]（[P，G，unballed]，size=i），i=0..50）#零入侵拉霍斯2007年12月16日
with（combstruct）：a:=proc（m）[ZL，{ZL=Set（Cycle（Z，card>=m））}，未标记]；结束：A:=A（2）：seq（计数（A，大小=n），n=0..50）#零入侵拉霍斯2008年6月11日
#备选Maple计划：
（数字理论[sigma]（j）-1）*A002865号（n-j），j=1..n）/n）
结束：
数学
表[PartitionsP[n+1]-分区P[n]，{n，-1，50}](*罗伯特·威尔逊v2004年7月24日*）
f[1，1]=1；f[n_，k_]：=f[n，k]=如果[n<0，0，如果[k>n，0，当[k==n，1，f[n、k+1]+f[n-k、k]]]；表[f[n，2]，{n，50}](*罗伯特·威尔逊v*)
表[SeriesCoefficient[Exp[Sum[x^（2*k）/（k*（1-x^k）），{k，1，n}]，{x，0，n}，{n，0，50}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2018年8月18日*）
系数列表[Series[1/QPochhammer[x^2，x]，{x，0，50}]，x](*G.C.格鲁贝尔2019年11月3日*）
表[Count[Integer Partitions[n]，_？（自由Q[#，1]&）]，{n，0，50}](*哈维·P·戴尔2023年2月12日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（（1-x）/eta（x+x*O（x^n）），n））}；
（PARI）a（n）=如果（n，numbpart（n）-numbpart（n-1），1）\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月26日
（Magma）A41:=func<n|n ge 0选择NumberOfPartitions（n）else 0>；[A41（n）-A41（n-1）：[0..50]]中的n//杰森·金伯利2011年1月5日
（GAP）级联（[1]，列表（[1..41]，n->n个分区（n）-Nr个分区（n-1））#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年8月20日
（SageMath）
P.<x>=PowerSeriesRing（ZZ，prec）
对于（0..60）中的m，返回P（1/product（（1-x^（m+2）））.list（）
（Python）
来自症状导入npartitions
定义A002865号（n） ：如果n其他1，则返回npartitions（n）-npartitions（n-1）#柴华武2023年3月30日
三角T（n，k）给出n点（n>=0，0<=k<=n）上秩k的成对非同构（即未标记）拟阵的个数。
+10
6
1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 7, 4, 1, 1, 5, 13, 13, 5, 1, 1, 6, 23, 38, 23, 6, 1, 1, 7, 37, 108, 108, 37, 7, 1, 1, 8, 58, 325, 940, 325, 58, 8, 1, 1, 9, 87, 1275, 190214, 190214, 1275, 87, 9, 1
链接
W.M.B.Dukes，有限集上的拟阵数，arXiv:math/0411557[math.CO]，2004年。
W.M.B.Dukes，有限集上拟阵的个数Séminaire Lotharingien de Combinatoire 51（2004），第B51g条。
Dillon Mayhew和Gordon F.Royle，有九个元素的小行星，arXiv:math/0702316[math.CO]，2007年（见第7页）。
Dillon Mayhew和Gordon F.Royle，有九个元素的小行星J.Combina.理论系列。B 98（2）（2008），415-431。
配方奶粉
当n>=0时，T（n，0）=1。
对于n>=1，T（n，1）=n。
T（n，2）=-n+和{k=1..n}p（k）对于n>=2，其中p（k=A000041号（k） ●●●●。[Dukes（2004），定理2.1.]（结束）
例子
转置后的三角形开始于：
k…n=0…n=1…n=2…n=3…n=4…n=5…n=6…n=7…n=8…n=9。。。
0.|.1.....1.....1.....1.....1.....1.....1.....1.....1.......1.....
1.|.......1.....2.....3.....4.....5.....6.....7.....8.......9.....
2.|.............1.....3.....7....13....23....37....58......87.....
3.|...................1.....4....13....38...108...325....1275.....
4.|.........................1.....5....23...108...940..190214.....
5.|...............................1.....6....37...325..190214.....
6.|.....................................1.....7....58....1275.....
7.|...........................................1.....8......87.....
8.|.................................................1.......9.....
9.|.........................................................1.....
总计1…..2…..4…..8….17….38….98….306….1724….383172
通过从卷积（1,2,3，…）中提取的行读取三角形*A002865号: (1,1,2,2,4,4,7,8,...)
+10
2
1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 4, 4, 6, 4, 5, 4, 8, 6, 8, 5, 6, 7, 8, 12, 8, 10, 6, 7, 8, 14, 12, 16, 10, 12, 7, 8, 8, 14, 12, 16, 10, 12, 7, 8, 12, 16, 21, 16, 20, 12, 14, 8, 9, 14, 24, 24, 28, 20, 24, 14, 10, 9, 10
配方奶粉
由行读取的三角形，数组的升序对角线由
（1,2,3，…）和（1,1,2,2,4,4,7,8,12，…）。
例子
三角形=乘法表的向上倾斜对角线：
.
1,..2,..三，。。4,..5,..6,..7,...
1,..2,..三，。。4,..5,..6,..7,...
2,..4,..6,..8,.10,.12,.14,...
2,..4,..6,..8,.10,.12,.14,...
…三角形的前几行=
.
1;
1, 2;
2, 2, 3;
2, 4, 3, 4;
4, 4, 6, 4, 5;
4, 8, 6, 8, 5, 6;
7, 8, 12, 8, 10, 6, 7;
8, 14, 12, 16, 10, 12, 7, 8;
12, 16, 21, 16, 20, 12, 14, 8, 9;
14, 24, 24, 28, 20, 24, 14, 10, 9, 10;
21, 28, 36, 32, 35, 24, 28, 16, 18, 10, 11;
24, 42, 42, 48, 40, 42, 28, 32, 18, 20, 11, 12;
34, 48, 63, 56, 60, 48, 49, 32, 36, 20, 22, 12, 13;
41, 68, 72, 84, 70, 72, 56, 56, 36, 40, 22, 24, 13, 14;
...
-1/（1-x）^2+（1/（1-x”））*Product_{k>=1}（1+x^k）的展开式。
+10
2
0, 0, 0, 1, 2, 4, 7, 11, 16, 23, 32, 43, 57, 74, 95, 121, 152, 189, 234, 287, 350, 425, 513, 616, 737, 878, 1042, 1233, 1454, 1709, 2004, 2343, 2732, 3179, 3690, 4274, 4941, 5700, 6563, 7544, 8656, 9915, 11340, 12949, 14764, 16811, 19114, 21703, 24612, 27875, 31532, 35628, 40209
链接
里卡多·阿拉戈纳（Riccardo Aragona）、罗伯托·西维诺（Roberto Civino）、诺贝托·加维奥利（Norberto Gavioli）、卡洛·玛丽亚·斯科波拉（Carlo Maria Scoppola）、，2^n字母上对称群Sylow_2-子群的正规化子链，arXiv:2008.13423[math.GR]，2020年。
里卡多·阿拉戈纳（Riccardo Aragona）、罗伯托·西维诺（Roberto Civino）、诺贝托·加维奥利（Norberto Gavioli）和卡洛·玛丽亚·斯科波拉（Carlo Maria Scoppola），刚性换向器和归一化链，arXiv:2009.11149[math.GR]，2020年。
配方奶粉
G.f.：-1/（1-x）^2+（1/（1-x））*产品{k>=1}1/（1-x ^（2*k-1））。
a（n）~3^（1/4）*exp（Pi*sqrt（n/3））/（2*Pi*n^（1/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年8月21日
MAPLE公司
a： =级数（-1/（1-x）^2+（1/（1-x））*mul（（1+x^k），k=1..100），x=0，53）：seq（系数（a，x，n），n=0..52）#保罗·拉瓦，2019年4月2日
数学
nmax=52；系数列表[系列[-1/（1-x）^2+1/（1-x）产品[1+x^k，｛k，1，nmax｝]，｛x，0，nmax｝]，x]（*或*）
nmax=52；系数列表[系列[1/（（1-x）QPochhammer[x，x^2]）-1/（1-x，^2，{x，0，nmax}]，x]（*或*）
表[Sum[PartitionsQ[k]-1，{k，0，n}]，{n，0，52}]
搜索在0.011秒内完成
| 