显示找到的14个结果中的1-10个。
a（n）=和{d|n，n/d==1模4}d^12-和{d| n，n/d==3模4{d^12。
+10
58
1, 4096, 531440, 16777216, 244140626, 2176778240, 13841287200, 68719476736, 282429005041, 1000000004096, 3138428376720, 8916083671040, 23298085122482, 56693912371200, 129746094281440, 281474976710656, 582622237229762, 1156829204647936
配方奶粉
通用公式：和{k>=1}k^12*x^k/（1+x^（2*k））-伊利亚·古特科夫斯基2018年11月26日
求和{k=1..n}a（k）~c*n^13/13，其中c=beta（13）=540553*Pi^13/1569592442880=0.999999 373583…，beta是Dirichlet beta函数。（结束）
数学
s[n_，r_]：=除数和[n，#^12&，Mod[n/#，4]==r&]；a[n]：=s[n，1]-s[n，3]；阵列[a，30](*阿米拉姆·埃尔达尔2018年11月26日*）
s[n_]：=如果[OddQ[n]，（-1）^（（n-1）/2），0]；(*A101455号*)
f[p_，e_]：=（p^（12*e+12）-s[p]^（e+1））/（p^12-s[p]）；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月4日*）
黄体脂酮素
（PARI）应用（a（n）=sumdiv（n，d，if（bittest（n\d，0），（2-n\d%4）*d^12）），[1..30]）\\M.F.哈斯勒2018年11月26日
交叉参考
Glaisher’s E'_i（i=0..12）：A002654号,A050469号,A050470型,A050471号,A050468号,A321829型,A321830型,A321831飞机,A321832型,A321833型,A321834飞机,A321835型，此序列。
a（n）=Sum{d除n，n/d=1模4}d-Sum{除n，n/d=3模4{d。
+10
24
1, 2, 2, 4, 6, 4, 6, 8, 7, 12, 10, 8, 14, 12, 12, 16, 18, 14, 18, 24, 12, 20, 22, 16, 31, 28, 20, 24, 30, 24, 30, 32, 20, 36, 36, 28, 38, 36, 28, 48, 42, 24, 42, 40, 42, 44, 46, 32, 43, 62, 36, 56, 54, 40, 60, 48, 36, 60, 58, 48, 62, 60, 42, 64, 84, 40
评论
如果p=2，则与a（p^e）=p^e相乘；如果p==1（mod 4），则与（p^（e+1）-1）/（p-1）相乘；否则，与a相乘（p^e+1）+（-1）^e）/（p+1）-迈克尔·索莫斯2005年5月2日
配方奶粉
通用公式：和{n>=1}n*x^n/（1+x^（2*n））-弗拉德塔·乔沃维奇2002年10月16日
O.g.f.：和{n>=1}（-1）^（n+1）*x^（2*n-1）/（1-x^-彼得·巴拉2021年1月4日
数学
f[p_，e_]：=其中[p==2，p^e，Mod[p，4]==1，（p^（e+1）-1）/（p-1），Mod[p，4]==3，（p ^（e+1）+（-1）^e）/（p+1）]；a[1]=1；a[n_]：=倍@@（f@@@FactorInteger[n]）；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年11月6日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，d*（（n/d%4==1）-（n/d/4==3）））
（PARI）{a（n）=局部（a，p，e）；如果（n<2，n==1，a=系数（n）；prod（k=1，matsize（a）[1]，如果（p=a[k，1]，e=a[k,2]；如果（p=2，p^e，如果（p%4==1（p^（e+1）-1）/（p-1），（p^e+1）+（-1）^e）/（p+1））））}/*迈克尔·索莫斯2005年5月2日*/
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，polcoeff（总和（k=1，n，k*x^k/（1+x^（2*k）），x*O（x^n）），n））
a（n）=Sum{d|n，n/d==1（mod 4）}d^2-Sum{d_n，n/d==3（mod4）}d ^2。
+10
20
1, 4, 8, 16, 26, 32, 48, 64, 73, 104, 120, 128, 170, 192, 208, 256, 290, 292, 360, 416, 384, 480, 528, 512, 651, 680, 656, 768, 842, 832, 960, 1024, 960, 1160, 1248, 1168, 1370, 1440, 1360, 1664, 1682, 1536, 1848, 1920, 1898, 2112, 2208, 2048, 2353, 2604
评论
Martin（1996）表一中列出的74个eta商中的第7个。
链接
伊夫·马丁，乘法eta商，事务处理。阿默尔。数学。Soc.348（1996），编号12，4825-4856，见第4852页表一。
配方奶粉
通用公式：和{n>=1}n^2*x^n/（1+x^（2*n））-弗拉德塔·乔沃维奇2002年10月16日
周期4序列的欧拉变换[4，-2，4，-6，…]。
eta（q^2）^6*eta（q^4）^4/eta（q）^4的q次幂展开。
G.f.：x产品{k>0}（1+x^k）^4*（1-x^（2*k））^2*（1-x^（4*k））^4。
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=u*w*（u-8*v）*（v-4*w）-v^2*（v-8*w）^2。（结束）
G.f.：Sum_｛k>0｝Kronecker（-4，k）*x^k*（1+x^k）/（1-x^k）^3-迈克尔·索莫斯2005年9月2日
q*phi（q）^2*psi（q^2）^4的q次幂展开式，其中phi（）、psi（）是Ramanujan theta函数-迈克尔·索莫斯2007年8月15日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（4 t））=（1/2）（t/i）^3 G（t），其中q=exp（2 Pi it），G（）是A120030号.
例子
G.f.=q+4*q^2+8*q^3+16*q^4+26*q^5+32*q^6+48*q^7+64*q^8+。。。
数学
a[n_]：=级数系数[q（QPochhammer[q^2]^3（QPochammer[q^4]/QPochharmer[q]）^2）^2，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年5月17日*）
a[n_]：=系列系数[（EllipticTheta[3，0，q]EllipticTheta[2，0，q]^2/4）^2，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年5月17日*）
a[n_]：=如果[n<1，0，Sum[d^2 Mod[n/d，2]（-1）^商[n/d，2]，{d，分区@n}]]; (*迈克尔·索莫斯2015年5月17日*）
s[n_]：=如果[OddQ[n]，（-1）^（（n-1）/2），0]；(*A101455号*)
f[p_，e_]：=（p^（2*e+2）-s[p]^（e+1））/（p^2-s[p]）；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月4日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，d^2*（n/d%2）*（-1）^（n/d\2））}；
（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<1，0，n--；a=x*O（x^n）；极系数（eta（x^2+a）^6*（eta（x^4+a）/eta（x+a））^4，n））}/*迈克尔·索莫斯2015年5月17日*/
（哈斯克尔）
a050470 n=a050461 n-a050465 n--莱因哈德·祖姆凯勒2012年3月6日
（岩浆）基础（模块形式（Gamma1（4），3），51）[2]/*迈克尔·索莫斯2015年5月17日*/
（Python）
从数学导入prod
来自sympy导入因子
定义A050470型（n） ：返回prod（（p**（e+1<<1）-（m:=（0，1，0，-1）[p&3]））//（p**2-m）对于因子（n）.items（）中的p，e）#柴华武，2024年6月21日
交叉参考
Glaisher’s E'_i（i=0..12）：A002654号,A050469号，这个序列，A050471号,A050468号,A321829型,A321830型,A321831飞机,A321832型,A321833型,A321834飞机,A321835型,A321836飞机.
a（n）=求和{d|n，n/d=1模4}d^4-求和{d_n，n/d=3模4{d^4。
+10
19
1, 16, 80, 256, 626, 1280, 2400, 4096, 6481, 10016, 14640, 20480, 28562, 38400, 50080, 65536, 83522, 103696, 130320, 160256, 192000, 234240, 279840, 327680, 391251, 456992, 524960, 614400, 707282, 801280, 923520, 1048576, 1171200
参考文献
埃米尔·格罗斯瓦尔德（Emil Grosswald），《整数表示为平方和》（Representations of Integers as Sums of Squares），施普林格-弗拉格出版社，纽约，1985年，第120页。
G.H.Hardy，Ramanujan：关于其生活和工作所建议主题的十二次讲座，切尔西出版公司，1959年，纽约，第135页，第9.3节。MR0106147（21#4881）
配方奶粉
a（2*n+1）=A204342型（n） ●●●●。a（2*n）=16*a（n）。
通用公式：和{n>=1}n^4*x^n/（1+x^（2*n））-弗拉德塔·乔沃维奇，2002年10月16日
eta（q^2）^2*eta（q^4）^4*（eta（q）^4+20*eta。
a（n）与a（2^e）=16^e相乘，a（p^e）=（（p^4）^（e+1）-1）/。（结束）
θ_3（q^2）*（θ_2（q）^8+4*theta_2（q ^2）^8）/256的幂展开式。
以x的幂展开x*phi（x）^2*（psi（x）^8+4*x*psi（x^2）^8），其中phi（），psi（）是Ramanujanθ函数。（结束）
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（4 t））=（1/2）（t/i）^5 G（t），其中q=exp（2 Pi it），G（tA204372型. -迈克尔·索莫斯2015年5月3日
求和{k=1..n}a（k）~c*n^5/5，其中c=5*Pi^5/1536(175571英镑). （结束）
例子
G.f.=x+16*x^2+80*x^3+256*x^4+626*x^5+1280*x^6+2400*x^7+4096*x^8+。。。
数学
edashed[r_，n_]：=加号@@（选择[Divisors[n]，Mod[n/#，4]==1&]^r）-加号@@（选择[Divisors[n]，Mod[n/#，4]==3&]^r）；edashed[4，#]&/@范围[33](*蚂蚁王2012年11月10日*）
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，x^2]（椭圆Theta[2，0，x]^8+4椭圆Theta[2]，0，x ^2]^8）/256，{x，0，2n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年1月11日*）
s[n_]：=如果[OddQ[n]，（-1）^（（n-1）/2），0]；(*A101455号*)
f[p_，e_]：=（p^（4*e+4）-s[p]^（e+1））/（p^4-s[p]）；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月4日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，（n/d%2）*（-1）^（（n/d-1）/2）*d^4））}/*迈克尔·索莫斯2005年9月12日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，d^4*kronecker（-4，n\d）））}/*迈克尔·索莫斯2012年1月14日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<1，0，n---；a=x*O/*迈克尔·索莫斯2012年1月14日*/
（岩浆）A:=基础（模块形式（伽马1（4），5），34）；A[2]+16*A[3]/*迈克尔·索莫斯2015年5月3日*/
交叉参考
Glaisher’s E'_i（i=0..12）：A002654号,A050469号,A050470型,A050471号，这个序列，A321829型,A321830型,A321831飞机,A321832型,A321833型,A321834飞机,A321835型,A321836飞机.
a（n）=Sum_{d|n，n/d==1 mod 4}d^5-Sum_{d|n，n/d==3 mod 4}d^5。
+10
12
1, 32, 242, 1024, 3126, 7744, 16806, 32768, 58807, 100032, 161050, 247808, 371294, 537792, 756492, 1048576, 1419858, 1881824, 2476098, 3201024, 4067052, 5153600, 6436342, 7929856, 9768751, 11881408, 14290100, 17209344, 20511150, 24207744, 28629150, 33554432, 38974100, 45435456, 52535556
配方奶粉
通用公式：和{k>=1}k^5*x^k/（1+x^（2*k））-伊利亚·古特科夫斯基2018年11月26日
与a（p^e）相乘=四舍五入（p^（5e+5）/（p^5+p%4-2）），其中p%4是p模4的余数。（继R.Israel之后A321833型.) -M.F.哈斯勒2018年11月26日
数学
s[n_，r_]：=除数和[n，#^5&，Mod[n/#，4]==r&]；a[n]：=s[n，1]-s[n，3]；阵列[a，30](*阿米拉姆·埃尔达尔2018年11月26日*）
s[n_]：=如果[OddQ[n]，（-1）^（（n-1）/2），0]；(*2014年1月55日*)
f[p_，e_]：=（p^（5*e+5）-s[p]^（e+1））/（p^5-s[p]）；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月4日*）
黄体脂酮素
（PARI）适用(A321829型（n） =系数回退（应用（f->f[1]^（5*f[2]+5）\/（f[1]_5+f[1]%4-2），列（系数（n））），[1..40]）\\M.F.哈斯勒2018年11月26日
交叉参考
Glaisher’s E'_i（i=0..12）：A002654号,A050469号,A050470型,A050471号,A050468号，这个序列，A321830型,A321831飞机,A321832型,A321833型,A321834飞机,A321835型,A321836飞机.
a（n）=和{d|n，n/d==1模4}d^6-和{d| n，n/d==3模4{d^6。
+10
12
1, 64, 728, 4096, 15626, 46592, 117648, 262144, 530713, 1000064, 1771560, 2981888, 4826810, 7529472, 11375728, 16777216, 24137570, 33965632, 47045880, 64004096, 85647744, 113379840, 148035888, 190840832, 244156251, 308915840, 386889776
配方奶粉
通用公式：和{k>=1}k^6*x^k/（1+x^（2*k））-伊利亚·古特科夫斯基2018年11月26日
与a（p^e）相乘=四舍五入（p^（6e+6）/（p^6+p%4-2）），其中p%4是p模4的余数。（继R.Israel之后A321833型.) -M.F.哈斯勒2018年11月26日
数学
s[n_，r_]：=除数和[n，#^6&，Mod[n/#，4]==r&]；a[n]：=s[n，1]-s[n，3]；阵列[a，30](*阿米拉姆·埃尔达尔2018年11月26日*）
s[n_]：=如果[OddQ[n]，（-1）^（（n-1）/2），0]；(*A101455号*)
f[p，e_]：=（p^（6*e+6）-s[p]^（e+1））/（p^6-s[p]）；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月4日*）
黄体脂酮素
（PARI）适用(A321830型（n） =系数回退（应用（f->f[1]^（6*f[2]+6）\/（f[1]_6+f[1]%4-2），列（系数（n））），[1..30]）\\M.F.哈斯勒2018年11月26日
交叉参考
Glaisher’s E'_i（i=0..12）：A002654号,A050469号,A050470型,A050471号,A050468号,A321829型，这个序列，A321831飞机,A321832型,A321833型,A321834飞机,A321835型,A321836飞机.
a（n）=和{d|n，n/d==1模4}d^7-和{d| n，n/d==3模4{d^7。
+10
12
1, 128, 2186, 16384, 78126, 279808, 823542, 2097152, 4780783, 10000128, 19487170, 35815424, 62748518, 105413376, 170783436, 268435456, 410338674, 611940224, 893871738, 1280016384, 1800262812, 2494357760, 3404825446, 4584374272, 6103593751
配方奶粉
通用公式：和{k>=1}k^7*x^k/（1+x^（2*k））-伊利亚·古特科夫斯基2018年11月26日
与a（p^e）相乘=四舍五入（p^（7e+7）/（p^7+p%4-2）），其中p%4是p模4的余数。（继R.Israel之后A321833型.) -M.F.哈斯勒2018年11月26日
数学
s[n_，r_]：=除数和[n，#^7&，Mod[n/#，4]==r&]；a[n]：=s[n，1]-s[n，3]；阵列[a，30](*阿米拉姆·埃尔达尔2018年11月26日*）
s[n_]：=如果[OddQ[n]，（-1）^（（n-1）/2），0]；(*A101455号*)
f[p_，e_]：=（p^（7*e+7）-s[p]^（e+1））/（p^7-s[p]）；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月4日*）
黄体脂酮素
（PARI）适用(A321831飞机（n） =系数回退（应用（f->f[1]^（7*f[2]+7）\/（f[1]*7+f[1]%4-2），列（系数（n））），[1..30]）\\M.F.哈斯勒2018年11月26日
交叉参考
Glaisher’s E'_i（i=0..12）：A002654号,A050469号,A050470型,A050471号,A050468号,A321829型,A321830型，这个序列，A321832型,A321833型,A321834飞机,A321835型,A321836飞机.
a（n）=Sum_{d|n，n/d==1（mod 4）}d^8-求和{d|n，n/d=3（mod4）}d ^8。
+10
12
1, 256, 6560, 65536, 390626, 1679360, 5764800, 16777216, 43040161, 100000256, 214358880, 429916160, 815730722, 1475788800, 2562506560, 4294967296, 6975757442, 11018281216, 16983563040, 25600065536, 37817088000, 54875873280, 78310985280, 110058536960, 152588281251, 208827064832
配方奶粉
通用公式：和{k>=1}k^8*x^k/（1+x^（2*k））-伊利亚·古特科夫斯基2018年11月26日
与a（p^e）相乘=圆（p^（8e+8）/（p^8+（p mod 4）-2））。（继R.Israel之后A321833型.) -M.F.哈斯勒2018年11月26日
数学
s[n_，r_]：=除数和[n，#^8&，Mod[n/#，4]==r&]；a[n]：=s[n，1]-s[n，3]；阵列[a，30](*阿米拉姆·埃尔达尔2018年11月26日*）
s[n_]：=如果[OddQ[n]，（-1）^（（n-1）/2），0]；(*A101455号*)
f[p，e_]：=（p^（8*e+8）-s[p]^（e+1））/（p^8-s[p]）；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月4日*）
黄体脂酮素
（PARI）适用(A321832型（n） =系数回退（应用（f->f[1]^（8*f[2]+8）\/（f[1]|8+f[1]%4-2），列（系数（n））），[1..50]）\\M.F.哈斯勒2018年11月26日
交叉参考
Glaisher’s E'_i（i=0..12）：A002654号,A050469号,A050470型,A050471号,A050468号,A321829型,A321830型,A321831飞机，这个序列，A321833型,A321834飞机,A321835型,A321836飞机.
a（n）=和{d|n，n/d==1模4}d^9-和{d| n，n/d==3模4{d^9。
+10
12
1, 512, 19682, 262144, 1953126, 10077184, 40353606, 134217728, 387400807, 1000000512, 2357947690, 5159518208, 10604499374, 20661046272, 38441425932, 68719476736, 118587876498, 198349213184, 322687697778, 512000262144, 794239673292
配方奶粉
通用公式：和{k>=1}k^9*x^k/（1+x^（2*k））-伊利亚·古特科夫斯基2018年11月26日
发件人罗伯特·伊斯雷尔2018年11月26日：（开始）a（2^m）=2^（9*m）。
对于素数p==1（mod 4），a（p^m）=（p^（9（m+1））-1）/（p^9-1）。
对于素数p==3（mod 4），a（p^m）=（p^（9（m+1））+（-1）^m）/（p^9+1）。（结束）
求和{k=1..n}a（k）~c*n^10/10，其中c=beta（10）=0.9998316402…beta是Dirichlet beta函数。（结束）
MAPLE公司
f： =n->
mul（分段（t[1]=2，2^（9*t[2]），t[1]mod 4=1，（t[1]^（9*（t[2]+1））-1）/（t[1]^9-1），（t[1]^（9*（t[2]+1））+（-1）^t[2]）/（t[1]^9+1）），t=因子（n）[2]）：
数学
s[n_，r_]：=除数和[n，#^9&，Mod[n/#，4]==r&]；a[n]：=s[n，1]-s[n，3]；阵列[a，30](*阿米拉姆·埃尔达尔2018年11月26日*）
s[n_]：=如果[OddQ[n]，（-1）^（（n-1）/2），0]；(*A101455号*)
f[p_，e_]：=（p^（9*e+9）-s[p]^（e+1））/（p^9-s[p]）；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月4日*）
黄体脂酮素
（PARI）应用（a（n）=sumdiv（n，d，if（位测试（n，0），（2-n，d%4）*d ^9）），[1..30]）\\M.F.哈斯勒2018年11月26日
交叉参考
Glaisher’s E'_i（i=0..12）：A002654号,A050469号,A050470型,A050471号,A050468号,A321829型,A321830型,A321831飞机,A321832型，这个序列，A321834飞机,A321835型,A321836飞机.
a（n）=和{d|n，n/d==1模4}d^10-和{d| n，n/d==3模4{d^10。
+10
12
1, 1024, 59048, 1048576, 9765626, 60465152, 282475248, 1073741824, 3486725353, 10000001024, 25937424600, 61916315648, 137858491850, 289254653952, 576640684048, 1099511627776, 2015993900450, 3570406761472, 6131066257800, 10240001048576
配方奶粉
通用公式：和{k>=1}k^10*x^k/（1+x^（2*k））-伊利亚·古特科夫斯基2018年11月26日
求和{k=1..n}a（k）~c*n^11/11，其中c=beta（11）=50521*Pi^11/14863564800=0.99999 4374973…，beta是Dirichlet beta函数。（结束）
数学
s[n_，r_]：=除数和[n，#^10&，Mod[n/#，4]==r&]；a[n]：=s[n，1]-s[n，3]；阵列[a，30](*阿米拉姆·埃尔达尔2018年11月26日*）
s[n_]：=如果[OddQ[n]，（-1）^（（n-1）/2），0]；(*A101455号*)
f[p_，e_]：=（p^（10*e+10）-s[p]^（e+1））/（p^10-s[p]）；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月4日*）
黄体脂酮素
（PARI）应用（a（n）=sumdiv（n，d，if（位测试（n，0），（2-n，d%4）*d ^10）），[1..30]）\\M.F.哈斯勒2018年11月26日
交叉参考
Glaisher’s E'_i（i=0..12）：A002654号,A050469号,A050470型,A050471号,A050468号,A321829型,A321830型,A321831飞机,A321832型,A321833型，这个序列，A321835型,A321836飞机.
搜索在0.011秒内完成
| 