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马洪数三角T（n，k）：乘积展开系数{i=0..n-1}（1+x+…+x^i），其中k的范围为0到A000217号（n-1）。还按主索引枚举排列。
+10
115
1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 5, 6, 5, 3, 1, 1, 4, 9, 15, 20, 22, 20, 15, 9, 4, 1, 1, 5, 14, 29, 49, 71, 90, 101, 101, 90, 71, 49, 29, 14, 5, 1, 1, 6, 20, 49, 98, 169, 259, 359, 455, 531, 573, 573, 531, 455, 359, 259, 169, 98, 49, 20, 6, 1, 1, 7, 27, 76, 174, 343, 602, 961, 1415, 1940, 2493, 3017, 3450, 3736, 3836, 3736, 3450, 3017, 2493, 1940, 1415, 961, 602, 343, 174, 76, 27, 7, 1, 1, 8, 35, 111, 285, 628, 1230, 2191, 3606, 5545, 8031, 11021, 14395, 17957, 21450, 24584, 27073, 28675, 29228, 28675, 27073, 24584, 21450, 17957, 14395, 11021, 8031, 5545, 3606, 2191, 1230, 628, 285, 111, 35, 8, 1
评论
T（n，k）是具有k个反转的{1..n}的置换数。
第n行给出对称群S_n关于转置（1,2），（2,3），…，的增长级数。。。，（n-1，n）。
T（n，k）是无序等于k的（1,2，…，n）的置换数。我们根据需要从左到右扫描p，直到它的所有元素都按递增的顺序被移除，每次元素被跳过而没有被移除，我们都会得到一分。p的无序是指扫描和删除过程结束时得分的数量。例如，（3,5,2,1,4）的无序度为8，因为在第一次扫描时，3,5,1,4被忽略，在第二次、3,5和4扫描时，5再次被忽略-Emeric Deutsch公司2004年6月9日
T（n，k）是排列的数目p＝（p（1），。。。，{1..n}的p（n）），使得和{i:p（i）>p（i+1）}=k（k称为p的主索引）。示例：T（3,0）=1，T（3,1）=2，T（3,2）=2，T（3,3）=1，因为排列（1,2,3），（2,1,3），（3,1,2），（1,3,2），（2,3,1）和（3,2,1）的主要指数分别为0,1,1,2,2和3-Emeric Deutsch公司2004年8月17日
T（n，k）是列总数为1,2,3，。。。，n和行总计k和二项式（n+1,2）-k-米奇·哈里斯2006年1月13日
T（n，k）是{1,2，…，n}的置换数p，其中den（p）=k。这里den是Denert统计量，定义如下：设p=p（1）p（2）。。。p（n）是{1,2，…，n}的置换；如果p（i）>i，那么我们说i是p的一个例外；设i_1<i_2<…<i_k是p的特例，设j_1<j_2<…<j{n-k}是p的非证据；设Exc（p）=p（i_1）p（i_2）。。。p（i_k），Nexc（p）=p（j_1）p（j_2）。。。p（j{n-k}）；那么，根据定义，den（p）=i_1+i_2+…+i_k+inv（Exc（p））+inv（Nexc（p）），其中inv表示“反转数”。例如：T（4,5）=3，因为我们有1342、3241和4321。我们证明了den（4321）=5：例外是1和2；Exc（4321）=43，Nexc（4321”）=21；现在den（4321）=1+2+投资（43）+投资（21）=3+1+1=5-Emeric Deutsch公司2008年10月29日
T（n，k）是多集{1,2,2,3,3,3，…，n-1}的大小为k的子多集的数目（其中包含i的i个副本，表示0<i<n）。
由类型n（n，b），n-->无穷大的珠子组成的长度为n的固定项链的数量乘积的极限是反演的生成函数（我们必须排除一个不重要的因素b^n/n！）。错误为<（b^n/n！）*O（1/n^（1/2ε））。请参阅Gaichenkov链接-米哈伊尔·盖琴科夫2012年8月27日
将k-1个不可区分的球分配到容量为1,2,3，。。。，n-1-安德鲁·伍德2012年9月26日
需要在冒泡排序中进行k对交换才能将n的排列排序为自然1,2，。。。，n顺序-R.J.马塔尔2013年5月4日
q因子[n]_q！的级数系数请参见Mathematica行-沃特·梅森2014年7月12日
根据Valentin V.Petrov提出的中心极限定理中的渐近展开式，这些数字的累积分布函数CDF_N（x）等于正态分布的CDF-（0.06/sqrt（2*Pi））*exp（-x^2/2）（x^3-3x）*（6N^3+21N^2+31N+31）/（N（2N+5）^2（N-1）+O（1/N^2）。
这可以写成：正态分布的CDF-（0.09/（N*sqrt（2*Pi））*exp（-x^2/2）*He_3（x）+O（1/N^2），N>1，自然数（Gaichenkov，私人研究）。
根据B.H.Margolius，《倒置排列》，J.积分。序号。第4卷（2001年），第01.2.4号，“反演数的单峰行为表明，随机置换中的反演数可能是渐近正态的”。请参阅链接。
此外，E.Ben-Naim（洛斯阿拉莫斯国家实验室非线性研究理论部和中心），“关于扩散粒子的混合”（2010年10月13日）指出，马洪分布成为大量元素的单一变量的函数，即概率分布函数是正态的。请参阅链接。
更准确地说，分布的展开是针对有限数量的元素（或根据E.Ben-Naim的文章中的粒子）提出的。对于无限数量的元素，分布趋于正态分布。
（结束）
具有n个顶点和k条边的T（n，k）统计计数（标记）置换图-米哈伊尔·盖琴科夫2019年8月20日
1 2 4 8 24 72 360
3 6 12 36 120
5 9 18 40 180
10 20 60
15 30 90
45
交叉参考：
（结束）
以英国数学家珀西·亚历山大·麦克马洪（1854-1929）命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月13日
行maxima~n/（sigma*sqrt（2*Pi）），sigma^2=（2*n^3+9*n^2+7*n）/72=群类型A_n的方差（另见A161435号). -米哈伊尔·盖琴科夫，2023年2月8日
参考文献
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链接
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公式
布尔吉特、康泰特和莫里茨-威廉姆斯会复发。
门德斯和斯坦利给了g.f。
G.f.：产品{j=1..n}（1-x^j）/（1-x）=和{k=0..M}T{n，k}x^k，其中M=n*（n-1）/2。
T（1,0）=1，
对于n<0、k<0或k>n*（n-1）/2，T（n，k）=0。
T（n，k）=和{j=0..n-1}T（n-1，k-j），
T（n，k）=T（n、k-1）+T（n-1、k）-T（n-1，k-n）。（结束）
例如，f.满足：A（x，q）=1+积分（A（x、q）-q*A（q*x、qSum_{k=0..n*（n-1）/2}T（n，k）*q^k，当T（0,0）=1包括在内时-保罗·D·汉纳2016年12月31日
例子
1; 1+x；（1+x）*（1+x+x^2）=1+2*x+2*x^2+x^3；等。
三角形开始：
否|0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
---+--------------------------------------------------------------
1 | 1;
2 | 1, 1;
3 | 1, 2, 2, 1;
4 | 1, 3, 5, 6, 5, 3, 1;
5 | 1, 4, 9, 15, 20, 22, 20, 15, 9, 4, 1;
6 | 1, 5, 14, 29, 49, 71, 90, 101, 101, 90, 71, ...
7 | 1, 6, 20, 49, 98, 169, 259, 359, 455, 531, 573, ...
8 | 1, 7, 27, 76, 174, 343, 602, 961, 1415, 1940, 2493, ...
9 | 1, 8, 35, 111, 285, 628, 1230, 2191, 3606, 5545, 8031, ...
10 | 1, 9, 44, 155, 440, 1068, 2298, 4489, 8095, 13640, 21670, ...
行n=4统计{1,1,1,2,2,3}的以下子多重集：
{} {1} {11} {111} {1112} {11122} {111223}
{2} {12} {112} {1122} {11123}
{3} {22} {122} {1113} {11223}
{13} {113} {1123}
{23} {123} {1223}
{223}
（结束）
MAPLE公司
g:=proc（n，k）选项记忆；如果k=0，则返回（1）else if（n=1且k=1），然后返回（0）else如果（k<0或k>二项式（n，2）），则返回Barbara Haas Margolius（Margolius，AT）math.csuohio.edu），2001年5月31日
BB:=j->1+总和（t^i，i=1..j）：对于n从1到8 do Z[n]：=排序（展开（简化（乘积（BB（j），j=0..n-2））od：对于n自1到8的do seq（系数（Z[n]t，j），j=0..（n-1）*（n-2）/2）od#零入侵拉霍斯2007年4月13日
#备选Maple计划：
b： =proc（u，o）选项记忆；展开（`if`（u+o=0，1，
加（b（u+j-1，o-j）*x^（u+j-1），j=1..o）+
加（b（u-j，o+j-1）*x^（u-j），j=1..u））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p）））（b（n，0））：
数学
f[n_]：=系数列表[Expand@Product[Sum[x^i，{i，0，j}]，{j，n}]，x]；展平[Array[f，8，0]]
（*第二个节目：*）
T[0,0]：=1；T[-1，k_]：=0；
T[n_，k_]：=T[n，k]=如果[0<=k<=n*（n-1）/2，T[n、k-1]+T[n-1，k]-T[n-1、k-n]，0]；(*彼得·卡吉2021年3月18日；通过更正程序Mats Granvik公司和罗杰·巴古拉，2011年6月19日*）
或者（版本7及以上）：
表[系数列表[系列[q系数[n，q]，{q，0，n（n-1）/2}]，q]、{n，9}](*沃特·梅森2014年7月12日*）
黄体脂酮素
（鼠尾草）
从sage.combinat.q_analogues导入q_factorial
对于（1..6）中的n：打印（q_factorial（n）.list（））#彼得·卢什尼2016年7月18日
（PARI）{T（n，k）=my（A=1+x）；对于（i=1，n，A=1+形式（A-q*子集（A，x，q*x+x^2*O（x^n））/（1-q））；polcoeff（n！*polcoff（A，n，x），k，q）}
对于（n=1,10，对于（k=0，n*（n-1）/2，打印1（T（n，k），“，”））；打印（“”）\\保罗·D·汉纳2016年12月31日
（PARI）用于（n=1，10，打印（Vec（prod（k=1，n，（1-q^k）/（1-q））））\\乔格·阿恩特2019年4月13日
扩展
我发现这个条目有一些错误的编辑（包括首字母1等）-N.J.A.斯隆2009年11月30日
5, 20, 49, 98, 174, 285, 440, 649, 923, 1274, 1715, 2260, 2924, 3723, 4674, 5795, 7105, 8624, 10373, 12374, 14650, 17225, 20124, 23373, 26999, 31030, 35495, 40424, 45848, 51799, 58310, 65415, 73149, 81548, 90649, 100490, 111110, 122549, 134848, 148049
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第255页，#2，b（n，4）。
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链接
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公式
a（n）=n*（n+1）*（n^2+n-14）/24。
总尺寸：x^4*（-5+5*x+x^2-3*x^3+x^4）/（x-1）^5-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
例子
[2、4、3、1]、[3、2、4、1]，[3、4、1、2]、[4、1，3、2]，[4、2、1、3]有4个反转。
MAPLE公司
[seq（二项（n，4）+二项（n，3）-二项式（n，2），n=5..43）]#零入侵拉霍斯2006年7月23日
数学
线性递归[{5，-10，10，-5，1}，{5，20，49，98，174}，40](*哈维·P·戴尔2016年8月25日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（n<4，0，n*（n+1）*（n^2+n-14）/24）
（岩浆）[n*（n+1）*（n^2+n-14）/24:n in[4..50]]//文森佐·利班迪2011年7月17日
马洪数T（n，k）的反对偶表：n个字母与k个倒置的排列。
+10
2
1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 0, 2, 3, 1, 0, 0, 1, 5, 4, 1, 0, 0, 0, 6, 9, 5, 1, 0, 0, 0, 5, 15, 14, 6, 1, 0, 0, 0, 3, 20, 29, 20, 7, 1, 0, 0, 0, 1, 22, 49, 49, 27, 8, 1, 0, 0, 0, 0, 20, 71, 98, 76, 35, 9, 1, 0, 0, 0, 0, 15, 90, 169, 174, 111, 44, 10, 1, 0, 0, 0, 0, 9, 101, 259, 343, 285
参考文献
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第1卷，1999年；见结论1.3.10，第21页。
公式
T（n，k）=总和{j=0..n}[T（n-1，k-j）]。
乘积（1+x+…+x^k），k=1..n-1=总和T（n，k）x^k，k=0..n（n-1）/2。
例子
1;
0,1;
0,1,1;
0,0,2,1;
0,0,2,3,1;
0,0,1,5,4,1;
0,0,0,6,9,5,1; ...
[1、4、2、3]、[1、3、4、2]、[2、1、4、3]，[2、3，1、4]、[3、1、2、4]有2个反转，所以T（4，2）=5。
黄体脂酮素
（PARI）T（n，k）=波尔科夫（prod（j=1，n-1，sum（i=0，j，x^i）），k）
交叉参考
A008302号是这些数字的主要条目。列包括A000012号,A000027号,A000096号,A005286号,A005287号,A005288号对角线包括A000707号,A001892号,A001893号,A001894号,A005283号,A005284号,A005285号.
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