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| A021009型 |
| 拉盖尔多项式n！系数的三角*L_n（x）（x的升幂）。 |
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57
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1, 1, -1, 2, -4, 1, 6, -18, 9, -1, 24, -96, 72, -16, 1, 120, -600, 600, -200, 25, -1, 720, -4320, 5400, -2400, 450, -36, 1, 5040, -35280, 52920, -29400, 7350, -882, 49, -1, 40320, -322560, 564480, -376320, 117600, -18816, 1568, -64, 1, 362880, -3265920
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.4
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评论
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在绝对值中，这个序列也给出了矩阵指数的下三角读数，该矩阵的条目{j+1，j}等于（j-1）^2（所有其他条目都为零）Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年5月26日
集X上的部分置换是X的两个子集之间的双射。|T（n，n-k）|等于域基数等于k的n个集的部分置换数。让E表示算子D*X*D，其中D是导数算子D/dx。则E^n=Sum_{k=0..n}|T（n，k）|*x^k*D^（n+k）-彼得·巴拉2008年10月28日
无符号三角形是关于序列n的广义Riordan数组（exp（x），x）^2由Wang和Wang定义（关于序列n的广义Riordan数组（exp（x），x）！是帕斯卡三角形A007318号关于序列n*（n+1）！是电话：105278). -彼得·巴拉2013年8月15日
无符号三角形出现在Ser（1933）第83页-N.J.A.斯隆2020年1月16日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。第55辑，1964年（以及各种再版），第799页。
G.Rota，《有限算子微积分》，学术出版社，纽约，1975年。
J.Ser，Les Calculs Formels des Séries de Factorielles出版社。高瑟·维拉斯（Gauthier-Villars），巴黎，1933年，第83页。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年[备选扫描件]。
A.Belov-Kanel和M.Kontsevich，Weyl代数的自同构，arXiv预印本arXiv:0512169[数学.QA]，2005年。
A.Belov-Kanel和M.Kontsevich，雅可比猜想与迪克西耶猜想稳定等价，arXiv预印本arXiv：0512171[math.RA]，2005年。
J.Ser，工厂会计1933年，巴黎，戈瑟·维拉斯[当地副本]。
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配方奶粉
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a（n，m）=（（-1）^m）*n*二项式（n，m）/m！=（（-1）^m）*（（n！/m！）^2）/（n-m）！如果n>=m，则为0。
例如，对于第m列：（-x/（1-x））^m/（（1-x）*m！），m>=0。
用Maple符号表示（无符号a（n，m））作为高斯超几何函数2F1的特殊值：n*（-1）^m*超几何（[-m，n+1），[1]，1）/m-卡罗尔·彭森，2003年10月2日
例如：（1/（1-x））*exp（x*y/（x-1））-弗拉德塔·乔沃维奇2005年4月7日
求和{n>=0，m>=0}a（n，m）*（x^n/n！^2）*y^m=exp（x）*BesselJ（0，2*sqrt（x*y））-弗拉德塔·乔沃维奇2005年4月7日
矩阵平方得到单位矩阵：L^2=I-保罗·D·汉纳，2008年11月22日
符号上，D=D/dx和LN（n，x）=n！L_n（x），定义：Dx:^j=D^j x^j，：xD:^j=x^j D^j，和LN（.，x）^j=LN（j，x）=的行多项式A021009型.
那么一些有用的关系是
1） （：Dx：）^n=LN（n，-：xD：）[罗德里格斯公式]
2） （xDx）^n=x^n D^n x^n=x ^n LN（n，-：xD:）[参见Al-Salam参考/132440英镑]
3） （DxD）^n=D^n x ^n D^n=LN（n，-：xD:）D^n[参见中的参考132440英镑]
4） 本影合成LN（n，LN（.，x））=x^n[参见罗塔参考]
5） 本影补偿。LN（n，-：Dx:）=LN（n，-LN（.，-：xD:））=2^n LN（n-：xD:/2）=n！*（第n行，例如f.（x）ofA038207号x替换为：xD:）。
2）的一个例子是操作符（xDx）^2=（xDx）（xDx=xD（x^2+x^3D）=2x^2+4x^3D+x^4D^2=x^2（2+4xD+x*2D^2）=x^ 2（2+4:xD:+：xD:^2）=x^2 LN（2，-：xD:）=x*22！L_2（-：xD:）。
op.xDx通过exp（t*xDx）f（x）=f[x/（1-t*x）]/（1-t*x）与幂级数/o.g.f.s.的欧拉/二项式变换有关，与特殊的Moebius/线性分数/投影变换z exp（-t*zDz）（1/z）f（z）=f（z/（1+t*z））有关。
有关阴影演算的一般讨论，请参阅Gessel链接。（结束）
由正交多项式组{n！*L（n，x）}的三项递推导出的标准递推：L（n、x）=（2*n-1-x）*L（n-1，x）-（n-1）^2*L（n2，x），n>=1，L（-1，x）=0，L（0，x）=1。
a（n，m）=（2*n-1）*a（n-1，m）-a（n-1、m-1）-（n-1）^2*a（n-2，m），
n>=1，其中a（n，-1）=0，a（0,0）=1，a（n、m）=0如果n<m。（与Peter Luschny的无符号情况下的程序|a（n（m）|=（-1）^m*a（n），m）进行比较）。
简化递归（使用上述a（n，m）的显式列递归）：
a（n，m）=（n+m）*a（n-1，m）-a
|T（n，k）|=[x^k]（-1）^n*U（-n，1，-x），其中U（a，b，x）是Kummer的超几何U函数-彼得·卢什尼2015年4月11日
T（n，k）=（-1）^k*n*S（n，k），其中S（n，k）递归定义为：“如果k=0，则1 else如果k>n，则0 else S（n-1，k-1）/k+S（n-1，k）”-彼得·卢什尼2017年6月21日
省略对角线和符号，该数组由换向器[D^n，x^n]=D^nx^n-x^nD^n=Sum_{i=0..n-1}（（n！/i！）^2/（n-i）！）生成Belov-Kanel和Kontsevich的两篇论文第9页上的x^i D^i-汤姆·科普兰2020年1月23日
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示例
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三角形a（n，m）开始于：
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0: 1
1: 1 -1
2：2-4 1
3: 6 -18 9 -1
4: 24 -96 72 -16 1
5: 120 -600 600 -200 25 -1
6: 720 -4320 5400 -2400 450 -36 1
7: 5040 -35280 52920 -29400 7350 -882 49 -1
8:40320 -322560 564480 -376320 117600 -18816 1568 -64 1
。。。
重复性（通常情况下）：a（4,1）=7*（-18）-6-3^2*（-4）=-96。
重复（简化版）：a（4,1）=5*（-18）-6=-96。
递归（Sage程序）：|a（4,1）|=6+3*18+4*9=96。（结束）
嵌入式递归（Maple程序）：a（4,1）=-4*(1 + 3) = -96.
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MAPLE公司
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A021009型：=程序（n，k）局部S；S:=proc（n，k）选项记忆`如果`（k=0，1，` if`（k>n，0，S（n-1，k-1）/k+S（n-l，k）））结束：（-1）^k*n*S（n，k）端：seq（seq(A021009型（n，k），k=0..n），n=0..8）#彼得·卢什尼2017年6月21日
#无符号情况的替代方法（中定义的RiordanSquare函数A321620型):
RiordanSquare（加上（x^m，m=0..10），10，真）#彼得·卢什尼，2018年12月6日
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数学
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
M=矩阵（ZZ，dim，dim）
对于n in（0..dim-1）：M[n，n]=1
对于n in（1..dim-1）：
对于k in（0..n-1）：
M[n，k]=M[n-1，k-1]+（2*k+1）*M[n-1，k]+（k+1）^2*M[n-1，k+1]
返回M
（PARI）
p（n）=分母（bestapprPade（Ser（向量（2*n，k，（k-1）！）））；
（PARI）{T（n，k）=如果（n<0，0，n！*polcoeff（和（i=0，n，二项式（n，n-i）*（-x）^i/i！），k））}/*迈克尔·索莫斯2016年12月1日*/
（PARI）行（n）=Vecrev（n！*pollaguerre（n））\\米歇尔·马库斯2021年2月6日
（岩浆）/*作为三角形：*/[[（-1）^k）*阶乘（n）*二项式（n，k）/阶乘（k）：k in[0..n]]：n in[0..10]]//文森佐·利班迪2020年1月18日
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