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正四面体

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规则四面体，通常简称为“四面体”，是柏拉图立体有四个多面体顶点，六个多面体边，和四个等效值等边三角形面孔，4{3}它与线框版本一起在上面进行了说明和a网可以用来建造它。

正四面体也是均匀多面体有梅德指数1（梅德1997）、温宁格指数1（温宁格1989）、考克塞特指数15（考克塞特等。1954年）和Har'El指数6（Har'El1993）。描述如下由Schläfli符号 {3,3}以及威瑟夫符号是3|23.它是一个异面体和一般情况的特例四面体以及等腰的四面体.

四面体投影

上面说明了正四面体的一些对称投影。

规则四面体在Wolfram语言作为四面体[]或均匀多面体[“四面体”].预计算属性可用作多面体数据[“四面体”,支柱].

四面体有7个对称轴：4C_3型（连接顶点与相反中心的轴面）和3平方厘米（连接两侧中点的轴）。

除了具有四个面的四面体外，没有其他凸多面体。

四面体网络

四面体有两个不同的网络（Buekenhout和Parker，1998年）。的问题多面体着色属于四面体可以使用波里亚枚举定理.

这个表面积四面体的面积是单个四面体面积的四倍等边三角形面对

A=1/4平方（3）A^2，
(1)

所以

S=4A=sqrt（3）a^2。
(2)

正四面体的高度为

h=1/3平方（6）a
(3)

以及半径（inradius）和外半径是

第页=1/（12）平方米（6）a
(4)
R（右）=1/4平方米（6）a，
(5)

哪里h=r+r必须如此。

因为四面体是金字塔带有三角形底座，V=1/3A_bh,给

V=1/（12）平方（2）a^3。
(6)

这个二面角是

α=tan^（-1）（2sqrt（2））=2sin^（-1）（1/3）=cos^（-1/3）约70.53度
(7)

以及Dehn不变量对于单位正四面体是

D类=-12<3>_2
(8)
=-12立方米（-1）（平方米（2）），
(9)

其中第一个表达式使用Conway的基础等。(1999).

这个立体角 欧米茄由规则的相反面对着顶点四面体由下式给出

欧米茄=（Delta_i）/（R^2）=3cos^（-1）（1/3）-pi
(10)
=cos^（-1）（（23）/（27）），
(11)

或约0.55129甾烷.

这个中半径四面体的

ρ=sqrt（r^2+d^2）=平方（1/8）a=1/4平方（2）a
(12)
大约 0.35355a。
(13)

接通电源多面体顶点给予

（1/3sqrt（3）a，0,0），（-1/6sqrt。
(14)
四面体和对偶

如上图所示对偶多面体单位边长的四面体是另一个方向相反的四面体单位边缘长度。

折纸四面体

上图显示了一个折纸四面体构造摘自一张纸（Kasahara和Takahama 1987，第56-57页）。

四面体图形四面体循环图

它是四面体群 T_d（_d）.顶点的连接性由四面体图，等效到循环图 顺式_（1,2,3）（4）以及完成图表 K_4型.

四重奏

四面体是自己的对偶多面体因此，四面体表面的中心形成另一个四面体（斯坦豪斯1999年，第201页）。四面体是唯一简单的多面体没有多面体对角线但它不能是星状的.如果一个正四面体被切割六个平面，每个平面都穿过一条边，将相对的边平分，然后将其切成片分成24段（加德纳1984年，第190和192页；兰曼1951年）。

亚历山大·格雷厄姆·贝尔（Alexander Graham Bell）支持在框架结构中使用四面体，包括风筝（Bell 1903；Lesage 1956，Gardner 1984，第184-185页）。正四面体的相对边是垂直的，因此如果适当铰接，可以形成一个万向联轴器。八个规则四面体可以放置在一个可以自由旋转的环中，对于挤压的不规则四面体，这个数字可以减少到六个（Wells 1975，1991）。

四面体长度

设四面体为长度一在一侧，并使其底部位于平面上z=0其中一个顶点位于正极x个-轴。这个多面体顶点这个四面体的(x个, 0, 0), (-d日,+/-a/2号机组，0）和（0，0，小时)，其中

x=（a/2）/（cos（pi/6））=1/3sqrt（3）a。
(15)

d日就是那个时候

d=平方（x^2-（1/2a）^2）=1/6sqrt（3）a。
(16)

这使得地区底座的

A=1/2a（R+x）=1/4sqrt（3）A^2。
(17)

高度为

h=平方（a^2-x^2）=1/3平方（6）a。
(18)

这个外半径 R（右）从中找到

x^2+（h-R）^2=R^2
(19)
x^2+h^2-2hR+R^2=R^2。
(20)

解决给予

R（右）=（x ^2+h ^2）/（2小时）
(21)
=1/4平方米（6）a
(22)
大约 0.61237a。
(23)

这个半径（inradius） 第页是

r=h-r=1/（12）平方英尺（6）a
(24)
大约 0.20412a，
(25)

这也是

第页=1/4小时
(26)
=1/3R。
(27)

这个角然后给出底平面和中心之间的距离通过

φ=棕褐色^（-1）（r/x）
(28)
=棕褐色（-1）（1/4平方米（2））
(29)
=cot ^（-1）（第2（2）节）
(30)
大约 19.47度。
(31)

给定边长的四面体一位于垂直顶点和坐标原点系统位于几何质心顶点的数量，四个人多面体顶点位于（x，0，-r）,（-d，+/-a/2，-r）,（0,0，R）,带有，如上所示

x个=1/3第（3）节a
(32)
第页=1/（12）平方米（6）a
(33)
R（右）=1/4平方米（6）a
(34)
d日=1/6平方米（3）a。
(35)
四面体立方体四面体不等式

边长四面体的顶点平方米（2）也可以用一个特别简单的形式给出顶点被视为立方体的角（Gardner 1984，pp.192-194）。一个边长为1的立方体的这种四面体给出了边长为的四面体平方米（2）具有顶点（0，0，0），（0，1，1），（1，0，1）和（1，1，0）并满足不等式

x+y+z<=2
(36)
x-y-z轴<=0
(37)
-x+y-z<=0
(38)
-x-y+z<=0
(39)

下表给出了可通过以下方式构造的多面体增加由给定高度的金字塔构成的四面体小时.

小时（r+h）/小时结果
1/（15）平方英尺（6）7/5三角四面体
1/6平方英尺（6）2立方体
1/3平方英尺（6）三9面明星三角多面体
螺纹四面体

用等距线连接相反的两对边，形成了如上所示的结构，将四面体分为八个区域：四个开放区域和四个封闭区域（Steinhaus 1999，p.246）。

1976年，密歇根州艺术家大卫·巴尔设计了他的“四角计划”。它是一个地球大小的规则四面体，横跨整个行星，只有四个角的尖端突出。这些可见的部分是四英寸长的四面体，从复活节岛、格陵兰岛、新几内亚和卡拉哈里沙漠的地球上凸出。巴尔在1981年至1985年间前往这些地点，并能够永久安装四个对齐的大理石四面体（G.Hart，pers.comm.；Arlinghaus and Nystuen 1986）。

四面体方形1四面体方形2

通过如上所示剖切四面体广场可以获得。此切割将四面体分为两个由90度.四面体的投影可以是等边的三角形或a广场（斯坦豪斯1999年，第191-192页）。

另请参见

增广截断四面体,Bang定理,多维数据集四面体拾取,埃尔哈特多项式,海洛因四面体,希尔伯特的第三个问题,等腰四面体,五角形,柏拉图立体,多面体着色,勒洛四面体,球体四面体拾取,斯特拉·奥坦格拉,切线球体,切向四面体,四面体,四面体4-化合物,四面体5-化合物,四面体6-化合物,四面体10-化合物,蚱属,三矩形四面体,截断四面体

本条目的部分内容由弗兰克杰克逊

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

阿灵豪斯，S.L。和Nystuen，J.D。数学地理与全球艺术：大卫·巴尔“四角计划”的数学密歇根州安阿伯：密歇根文件服务，1986年。北卡罗来纳州阿尔齐勒法院。“四面体”第4章现代纯立体几何。纽约：切尔西出版社，第48-110页和第250页，1979年。巴里奇奥尼，答：。重心和重心坐标。克劳德·赫曼特，1964A.G.贝尔。“风筝结构中的四面体原理。”国家地理 44, 219-251, 1903.Beyer，W.H。CRC公司标准数学表，第28版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第228页，1987Buekenhout，F.和Parker，M.“常规赛的网数”维数中的凸多面体<=4."光盘。数学。 186, 69-94, 1998.库德克，P.和Balliccioni，A。总理丽芙·杜·特拉德雷（livre duétraèdreál’usage deséléves de premire），《数学竞赛》、《大选中候选人》和《大选中》。巴黎：高瑟·维拉斯，1935年。科克塞特，H.S。医学硕士。；朗格特·希金斯，医学硕士。；和J.C.米勒。第页。“统一多面体。”菲尔。事务处理。罗伊。Soc.伦敦Ser。一 246, 401-450, 1954.克里奥尔语，A.L.公司。“Einige Bemerkungenüber die dreisitige Pyramide.”桑姆隆mathematischer Aufsätze u.Bemerkungen 1, 105-132, 1821.坎迪，H.和Rollett，A.“四面体。3^3第3.5.1节数学模型，第三版。斯特拉德布鲁克，英格兰：Tarquin Pub。，第84页，1989年。戴维，T.“四面体。”http://www.dcs.st-and.ac.uk/~ad/mathrecs/多面体/四面体.html.加药器，G.公司。最终期限，avec应用阿尔盖布雷、三角洲和戈梅特里dans le plan et l’espace分析，第二版。巴黎：Gauthier-Villars，第252-293页，1905年。Gardner，M.“四面体”第19章在里面这个科学美国人的第六本数学游戏书。伊利诺伊州芝加哥：大学芝加哥出版社，第183-194页，1984年。几何技术。“四面体。”http://www.scienceu.com/geometry/facts/solids/tetra.html.格兰维尔，A.“n个-尺寸四面体。"Aequationes数学。 41,234-241, 1991.盖伊，R.K。“高氏格点问题。”§F1英寸未解决数论问题，第二版。纽约：Springer-Verlag，第240-241页，1994Har'El，Z.“均匀多面体的均匀解”Dedicata几何 47, 57-110, 1993.J.W.哈里斯。和Stocker，H.“四面体”§4.3.1和4.4.2英寸手册数学和计算科学。纽约：Springer-Verlag，第98-100页，1998霍普夫，H。〈几何精选章节〉，ETH Zürich讲座，第1-2页，1940年。http://www.math.cornell.edu/~hatcher/Other/hopf-samelson.pdf.卡萨哈拉，从正则到半正则多面体折纸综合：为每个人折纸。东京：日本出版物，第204页，220-221和2311988。Kasahara，K.和Takahama，T。折纸为鉴赏家准备。东京：日本出版，1987年。朗曼，H.“Curiosa 261：光盘拼图。”脚本数学。 17，1443月-6月。1951J.R.李。“四面体中的余弦定律。”J.韩国社会数学。编辑序列号。B： 纯应用程序。数学。 4, 1-6, 1997.莱默，D.H.博士。“n个-维度四面体。"杜克大学数学。J。 7,341-353, 1940.亚历山大·格雷厄姆·贝尔博物馆：致敬天才。"国家地理 60, 227-256, 1956.梅德，R.E.公司。“01：四面体”，1997年。https://www.mathconsult.ch/static/unipoly/01.html.佩格，数学游戏：墨尔本，数学之都〉，2006年9月5日。http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathnames_09_05_06.html.鲁歇，E.和de Combrouse，C。新几内亚特雷特埃德·Géométrie。日期：。，第一卷：戈梅特里飞机。巴黎：高瑟·维拉斯，1922年。鲁歇，E.和de Combrouse，C。特点新墨西哥州戈梅特里。日期：。，第2卷：盖奥梅特里dans l’espace（舞蹈空间）。巴黎：高瑟·维拉斯，1922年。H.斯坦豪斯。数学快照，第三版。纽约：多佛，第191-192、201和246-247页，1999年。触发，C.W.公司。“纸张折叠的几何学。II.四面体模型。”学校科学。和数学。 54, 683-689, 1954.冯·斯陶特，K.G。C、。“Ueber einige geometrische Sätze。”J.reine angew。数学。 57,88-89, 1860.威尔斯，D.“拼图页”游戏和谜题。1975年9月。威尔斯，D。这个《企鹅好奇有趣几何词典》。伦敦：企鹅，第217-218页，1991年。M.J.温宁格。“四面体。”型号1英寸多面体模型。英国剑桥：剑桥大学出版社，第14页，1989年。Xu，Y.和Yau，S.“四面体积分点数量的精确估计”J.reine angew。数学。 423, 199-219, 1992.

引用如下：

弗兰克·杰克逊和埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“正四面体。”摘自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/RegularTetrahedron.html

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