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立体角度


立体角欧米茄被表面所包围S公司定义为表面积 欧米茄单位球面盖满通过曲面投影到球体上。这可以写成

 欧米茄=intint_S(n^^·da)/(r^2),
(1)

哪里n个^^是原点的单位向量,达是曲面的微分面积补丁,以及第页是从原点到面片的距离。写入球形的协调具有φ这个可乐味(极角)和θ对于经度(方位角),这就变成了

 欧米茄=intint_Ssinphidthetadphi。
(2)

立体角的测量单位为甾烷,对应于所有对向空间的立体角为4π 甾烷.

实心角度立方体

要了解如何明确计算简单几何形状的立体角,请考虑立体角欧米茄_(立方体侧)由边长立方体的一面所包围2a个以原点为中心。由于立方体是对称的有六个面,其中一个面明显对着4pi/6=2pi/3甾体激素。要显式计算此值,请重写(1)在笛卡尔坐标系中使用

n ^·da=cosphidxdy公司
(3)
第^2页=x^2+y^2+z^2
(4)

科斯菲=z/r(z/r)
(5)
=z/(平方(x^2+y^2+z^2))。
(6)

考虑到立方体的顶面,它位于z=a并且具有平行于x个-和年-轴,

欧米茄_(立方体侧)=int _(-a)^aint _(-a)^a(adxdy)/((x^2+y^2+a^2)^(3/2))
(7)
=2/3pi,
(8)

如预期。

实心角四面体

类似地,考虑边长为的四面体一原点在质心,底面在z=-r(其中第页是质心),底部顶点位于(-d,+/-a/2,-r)(x_0,0,-r),其中

x 0=1/3第(3)节a
(9)
第页=1/(12)平方米(6)a
(10)
d日=1/6平方米(3)a。
(11)

然后x个从运行-d日x 0,和一半的基础在积极年 半平面,年可以从0运行到a/2-(a/2)/(d+x0)(x+d)=1/3-x/sqrt(3),,给予

欧米茄=2int_(-d)^(x_0)int_0^(1/3-x/sqrt(3))(rdydx)/((x^2+y^2+r^2)^
(12)
=圆周率,
(13)

即。,4pi/4,如预期。


另请参见

球体,球形的三角测量法,斯特拉迪安

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工具书类

霍普夫,H。〈几何精选章节〉,ETH Zürich讲座,第1-2页,1940年。http://www.math.cornell.edu/~hatcher/Other/hopf-samelson.pdf.厢式货车Oosterom,A.和Strackee,J.《平面三角形的立体角》电气与电子工程师协会事务处理。生物识别。工程师。 30, 125-126, 1983.

参考Wolfram | Alpha

立体角度

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“立体角。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SolidAngle.html

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