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四面体


通常,四面体是多面体有四个边。

如果所有面都是全等的,则四面体称为等腰四面体.如果所有面都与等边的三角形,则四面体称为有规律的四面体(尽管术语“四面体”没有进一步的限定通常用来表示“正四面体").一种四面体,具有三面体,所有面角都是直角被称为三矩形四面体.

定义为凸的一般(不一定是规则的)四面体多面体由四个(不一定相同)组成三角形面可以通过其多面体顶点作为(x i,y i,z i),其中i=1, ..., 4.然后体积四面体由下式给出

 V=1/(3!)|x_1 y_1 z_1 1;x2y2z21;x3y3z31;x_4y_4z_41|。
(1)

通过三个参数指定四面体多面体边向量一,b条、和c从给定的多面体顶点,这个体积

 V=1/(3!)|a·(bxc)|。
(2)

如果顶点之间的边我j长度为d(ij),然后是音量V(V)Cayley-Menger行列式

 288V^2=|0 1 1 1 1;10d_(12)^2d_(13)^2d(14)^2;1d(21)^20d(23)^2d(24)^2;1d(31)^2d(32)^20d(34)^2;1d(41)^2d(42)^2d_(43)^20|。
(3)

考虑任意四面体A_1A_2A_3A_4带三角形T_1=ΔA_2A_3A_4,T_2=ΔA_1A_3A_4,T_3=增量A_1A_2A_4、和T_4=增量A_1A_2A_3.让这些三角形的面积为s_1,第2秒,第3节,第4节,分别表示二面体的关于T_i(_i)T_j(T_j)对于i!=j=1,2,3,4通过θ(ij)。然后通过以下方式连接四个面部区域

 s_k^2=sum_(j!=k;1<=j<=4)s_j^2-2sum_
(4)

涉及六个人二面角(Dostor 1905,第252-293页;Lee 1997)。这是对法律余弦的到四面体。此外,对于任何i!=j=1,2,3,4,

 V=2/(3l_(ij))s_is_jsintheta_(ij),
(5)

哪里l(ij)是的公共边的长度T_i(_i)T_j(T_j)(Lee 1997)。

给定一个具有一个顶点的直角四面体,其中所有边正交相交,并且表示该顶点对面的面s_k(_k),然后

 s_k^2=总和_(j!=k;1<=j<=4)s_j^2。
(6)

这是对毕达哥拉斯定理这也适用于更高维简单(F.M.Jackson,珀斯通讯社,2006年2月20日)。

A类是四面体的边集P(甲)电源组A类.写入t吨^_对于中的补语A类元素的P(A)中的t.让如果是一组三元组P(A)中的{x,y,z}这样的话x、 y,z跨越四面体的一个面,然后让G公司是一套P(A)中的(e交点f)并集(e并集f^_),所以e、 f中的fe!=f.英寸G公司,因此有三个元素是相对的边缘。现在定义D类,与边缘相关x个长度的L(左)数量(L/RadicalBox[1,3]2)^2,第页,它与元素关联P(A)中的t的产品D(x)为所有人x英寸t、和秒,这与t吨的总和D(x)为所有人x英寸t.然后体积四面体的由提供

 sqrt(sum_(t in G)(s(t^_)-s(t))p(t)-sum_(t inF)p(t))
(7)

(P.Kaeser,pers.comm.)。

的模拟高斯圆问题可以要求四面体:有多少个晶格点位于以起源用一个鉴于半径(inradius)(Lehmer 1940,Granville 1991,Xu和Yau 1992,Guy 1994)。

关于一般(即不一定是正则)四面体的性质,有许多有趣且意想不到的定理(Altshiller-Court 1979)。如果飞机分裂四面体的两个相对边以给定的比例,然后它将体积除以四面体的比例相同(Altshiller-Court 1979,第89页)。它如下任何飞机通过双介质四面体的将四面体的体积平分(Altshiller-Court 1979,第90页)。

让四面体的顶点被表示A类,B类,C类、和D类,并表示边长BC=a,CA=b,AB=c,DA=一个^',DB=b^'、和DC=c^'.那么如果三角洲表示具有长度边的三角形的面积aa^',bb^'(英国广播公司)、和抄送^',的体积外半径四面体的形状与美丽的公式有关

 6RV=增量
(8)

(克里奥尔1821年,第117页;冯·斯塔特1860年;卢歇和库伯鲁斯1922年,第568-576页和第643-664页;阿尔蒂勒法院1979年,第249页)。

增量(_i)是的面积球形的三角形我外接在半径为球面上的四面体的第个面R(右)然后让ε_i是边缘对向的角度我.然后

 sum_(i=1)^4Delta_i=[2(sum_,
(9)

如J.-P.Gua de Malves于1740年或1783年左右所示(霍普夫1940年)。上述公式提供了计算立体角 欧米茄与顶点相对一张脸正四面体通过替换epsilon_i=cos^(-1)(1/3)(二面体角度)转换为上述公式。因此,

欧米茄=(Delta_i)/(R^2)=3cos^(-1)(1/3)-pi
(10)
=cos^(-1)((23)/(27)),
(11)

或约0.55129甾烷.


另请参见

视黄醇,等腰四面体,正四面体 在数学世界课堂上探索这个主题

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Altshiller-Court,N.《四面体》第4章现代纯立体几何。纽约:切尔西出版社,第48-110页和第250页,1979年。巴里奇奥尼,A。重心和重心坐标。克劳德·赫曼特,1964Couderc,P.和Balliccioni,A。总理丽芙·杜·特拉德雷(livre duétraèdreál’usage deséléves de premire),数学、大学院和高等教育的候选人。巴黎:高瑟·维拉斯,1935年。克雷尔,A.L。“艾尼格·贝默昆根吡酰胺的毒性。"Sammlung mathematischer Aufsätze公司u.贝默孔根 1, 105-132, 1821.加药器,G。Eléments公司最终目的地,avec应用程序,三角洲分析《空间》,第二版。巴黎:《戈瑟·维拉斯》,第252-293页,1905年。加德纳,M.“四面体”Ch.19英寸这个科学美国人的第六本数学游戏书。伊利诺伊州芝加哥:大学芝加哥出版社,第183-194页,1984年。几何技术。“四面体。”http://www.scienceu.com/geometry/facts/solids/tetra.html.格兰维尔,A.“n个-维度四面体。"Aequationes数学。 41,234-241, 1991.盖伊,R.K。“高氏格点问题。”§F1英寸未解决数论问题,第二版。纽约:Springer-Verlag,第240-241页,1994霍普夫,H。〈几何精选章节〉,ETH Zürich讲座,第1-2页,1940年。http://www.math.cornell.edu/~hatcher/Other/hopf-samelson.pdf.李,J.R.公司。“四面体中的余弦定律。”J.韩国社会数学。编辑序列号。B: 纯应用程序。数学。 4, 1-6, 1997.莱默,D.H。“的格点n个-尺寸四面体。"杜克大学数学。J。 7,341-353, 1940.Rouché,E.和de Combrouse,C。特点新墨西哥州戈梅特里。日期:。,第一卷:盖奥梅特里平面。巴黎:高瑟·维拉斯,1922年。Rouché,E.和de Combrousse,C、。特点新墨西哥州戈梅特里。日期:。,第2卷:盖奥梅特里dans l’espace(舞蹈空间)。巴黎:高瑟·维拉斯,1922年。冯·斯塔特,K.G。C、。“Ueber einige geometrische Sätze。”J.reine angew。数学。 57,88-89, 1860.Xu,Y.和Yau,S.“数字的精确估计四面体中的积分点。"J.reine angew。数学。 423,199-219, 1992.

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“四面体”。来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html

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