通常,四面体是多面体有四个边。
如果所有面都是全等的,则四面体称为等腰四面体.如果所有面都与等边的三角形,则四面体称为有规律的四面体(尽管术语“四面体”没有进一步的限定通常用来表示“正四面体").一种四面体,具有三面体,所有面角都是直角被称为三矩形四面体.
定义为凸的一般(不一定是规则的)四面体多面体由四个(不一定相同)组成三角形面可以通过其多面体顶点作为
,其中
, ..., 4.然后体积的四面体由下式给出
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(1)
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通过三个参数指定四面体多面体边向量
,
、和
从给定的多面体顶点,这个体积是
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(2)
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如果顶点之间的边
和
长度为
,然后是音量
由Cayley-Menger行列式
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(3)
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考虑任意四面体
带三角形
,
,
、和
.让这些三角形的面积为
,
,
,和
,分别表示二面体的角关于
和
对于
通过
。然后通过以下方式连接四个面部区域
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(4)
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涉及六个人二面角(Dostor 1905,第252-293页;Lee 1997)。这是对法律余弦的到四面体。此外,对于任何
,
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(5)
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哪里
是的公共边的长度
和
(Lee 1997)。
给定一个具有一个顶点的直角四面体,其中所有边正交相交,并且表示该顶点对面的面
,然后
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(6)
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这是对毕达哥拉斯定理这也适用于更高维简单(F.M.Jackson,珀斯通讯社,2006年2月20日)。
让
是四面体的边集和
电源组
.写入
对于中的补语
元素的
.让
是一组三元组
这样的话
跨越四面体的一个面,然后让
是一套
,所以
和
.英寸
,因此有三个元素是相对的边缘。现在定义
,与边缘相关
长度的
数量
,
,它与元素关联
的产品
为所有人
、和
,这与
的总和
为所有人
.然后体积四面体的由提供
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(7)
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(P.Kaeser,pers.comm.)。
的模拟高斯圆问题可以要求四面体:有多少个晶格点位于以起源用一个鉴于半径(inradius)(Lehmer 1940,Granville 1991,Xu和Yau 1992,Guy 1994)。
关于一般(即不一定是正则)四面体的性质,有许多有趣且意想不到的定理(Altshiller-Court 1979)。如果飞机分裂四面体的两个相对边以给定的比例,然后它将体积除以四面体的比例相同(Altshiller-Court 1979,第89页)。它如下任何飞机通过双介质四面体的将四面体的体积平分(Altshiller-Court 1979,第90页)。
让四面体的顶点被表示
,
,
、和
,并表示边长
,
,
,
,
、和
.那么如果
表示具有长度边的三角形的面积
,
、和
,的体积和外半径四面体的形状与美丽的公式有关
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(8)
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(克里奥尔1821年,第117页;冯·斯塔特1860年;卢歇和库伯鲁斯1922年,第568-576页和第643-664页;阿尔蒂勒法院1979年,第249页)。
让
是的面积球形的三角形由
外接在半径为球面上的四面体的第个面
然后让
是边缘对向的角度
.然后
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(9)
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如J.-P.Gua de Malves于1740年或1783年左右所示(霍普夫1940年)。上述公式提供了计算立体角
与顶点相对一张脸正四面体通过替换
(二面体角度)转换为上述公式。因此,
或约0.55129甾烷.
另请参见
视黄醇,等腰四面体,正四面体 在数学世界课堂上探索这个主题
与Wolfram一起探索| Alpha
工具书类
Altshiller-Court,N.《四面体》第4章现代纯立体几何。纽约:切尔西出版社,第48-110页和第250页,1979年。巴里奇奥尼,A。重心和重心坐标。克劳德·赫曼特,1964Couderc,P.和Balliccioni,A。总理丽芙·杜·特拉德雷(livre duétraèdreál’usage deséléves de premire),数学、大学院和高等教育的候选人。巴黎:高瑟·维拉斯,1935年。克雷尔,A.L。“艾尼格·贝默昆根吡酰胺的毒性。"Sammlung mathematischer Aufsätze公司u.贝默孔根 1, 105-132, 1821.加药器,G。Eléments公司最终目的地,avec应用程序,三角洲分析《空间》,第二版。巴黎:《戈瑟·维拉斯》,第252-293页,1905年。加德纳,M.“四面体”Ch.19英寸这个科学美国人的第六本数学游戏书。伊利诺伊州芝加哥:大学芝加哥出版社,第183-194页,1984年。几何技术。“四面体。”http://www.scienceu.com/geometry/facts/solids/tetra.html.格兰维尔,A.“
-维度四面体。"Aequationes数学。 41,234-241, 1991.盖伊,R.K。“高氏格点问题。”§F1英寸未解决数论问题,第二版。纽约:Springer-Verlag,第240-241页,1994霍普夫,H。〈几何精选章节〉,ETH Zürich讲座,第1-2页,1940年。http://www.math.cornell.edu/~hatcher/Other/hopf-samelson.pdf.李,J.R.公司。“四面体中的余弦定律。”J.韩国社会数学。编辑序列号。B: 纯应用程序。数学。 4, 1-6, 1997.莱默,D.H。“的格点
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引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“四面体”。来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html
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