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四面体

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通常，四面体是多面体有四个侧面。

如果所有面都是全等的，则四面体称为等腰四面体。如果所有面都与等边的三角形，则四面体称为有规律的四面体（尽管术语“四面体”没有进一步限定通常用于表示“正四面体").一种四面体，具有三面体，所有面角都是直角被称为三矩形四面体.

定义为凸的一般（不一定是规则的）四面体多面体由四个（不一定相同）组成三角形面可以通过其多面体顶点作为（x i，y i，z i），其中i=1, ..., 4.然后体积的四面体由下式给出

V=1/（3！）|x_1 y_1 z_1 1；x2y2z21；x3y3z31；x_4y_4z_41|。
(1)

通过三个参数指定四面体多面体边向量一,b条、和c从给定的多面体顶点,这个体积是

V=1/（3！）|a·（bxc）|。
(2)

如果顶点之间的边我和j个长度为d（ij）,然后是音量V（V）由Cayley-Menger行列式

288V^2=|0 1 1 1 1；10d_（12）^2d_（13）^2d（14）^2；1d（21）^20d（23）^2d（24）^2；1d（31）^2d（32）^20d（34）^2；1d（41）^2d（42）^2d_（43）^20|。
(3)

考虑任意四面体A_1A_2A_3A_4带三角形T_1=ΔA_2A_3A_4,T_2=增量A_1A_3A_4,T_3=增量A_1A_2A_4、和T_4=增量A_1A_2A_3.让这些三角形的面积为s_1,s_2,第3节,和第4节，分别表示二面体的角关于T_i（_i）和T_j（T_j）对于我=j=1,2,3,4通过θ（ij）。然后通过以下方式连接四个面部区域

s_k^2=sum_（j！=k；1<=j<=4）s_j^2-2sum_
(4)

涉及六人二面角（Dostor 1905，第252-293页；Lee 1997）。这是对法律余弦的到四面体。此外，对于任何我=j=1,2,3,4,

V=2/（3l_（ij））s_is_jsintheta_（ij），
(5)

哪里l（ij）是的公共边的长度T_i（_i）和T_j（T_j）（Lee 1997）。

给定一个具有一个顶点的直角四面体，其中所有边正交相交，并且表示该顶点对面的面s_k（_k），然后

s_k^2=总和_（j！=k；1<=j<=4）s_j^2。
(6)

这是对毕达哥拉斯定理这也适用于更高维简单（F.M.Jackson，pers.comm.，2006年2月20日）。

让A类是四面体的边集和P（甲）电源组A类.写入t吨^_对于中的补语A类元素的P（A）中的t.让F类是一组三元组P（A）中的{x，y，z}这样的话x、 y，z跨越四面体的一个面，然后让G公司是一套P（A）中的（e交点f）并集（e并集f^_），所以e、 f中的f和e=（f）.英寸G公司，因此有三个元素是相对的边缘。现在定义D类，与边缘相关x个长度的L（左）数量（L/RadicalBox[1,3]2）^2,第页，它与元素关联P（A）中的t的产品D（x）为所有人x英寸t、和秒，这与t吨的总和D（x）为所有人x英寸t.然后体积四面体的由提供

sqrt（sum_（t in G）（s（t^_）-s（t））p（t）-sum_（t inF）p（t））
(7)

（P.Kaeser，pers.comm.）。

的模拟高斯圆问题可以要求四面体：有多少个晶格点位于以起源用一个鉴于半径（inradius）（Lehmer 1940，Granville 1991，Xu和Yau 1992，Guy 1994）。

关于一般（即不一定是正则）四面体的性质，有许多有趣且意想不到的定理（Altshiller-Court 1979）。如果飞机分裂四面体的两个相对边以给定的比例，然后它将体积除以四面体的相同比例（Altshiller Court 1979，第89页）任何飞机通过双介质四面体的将四面体的体积平分（Altshiller-Court 1979，第90页）。

让四面体的顶点被表示A类,B类,C类、和D类，并表示边长BC=a,CA=b,AB=c,DA=a^',DB=b^'、和DC=c^'.那么如果三角洲表示具有长度边的三角形的面积aa^',bb^'（英国广播公司）、和抄送^'，的体积和外半径四面体的形状与美丽的公式有关

6RV=增量
(8)

（克里奥尔1821年，第117页；冯·斯塔特1860年；卢歇和库伯鲁斯1922年，第568-576页和第643-664页；阿尔蒂勒法院1979年，第249页）。

让增量（_i）是的面积球形的三角形由我半径球体内四面体的第一面R（右）然后让ε_i是边缘对向的角度我.然后

sum_（i=1）^4Delta_i=[2（sum_，
(9)

如J.-P.Gua de Malves于1740年或1783年左右所示（霍普夫1940年）。上述公式提供了计算立体角 欧米茄从顶点对向的一张脸正四面体通过替换epsilon_i=cos^（-1）（1/3）（二面体角度）代入上述公式。因此，

欧米茄=（Delta_i）/（R^2）=3cos^（-1）（1/3）-pi
(10)
=cos^（-1）（（23）/（27）），
(11)

或约0.55129甾烷.

另请参见

视黄醇,等腰四面体,正四面体 在数学世界课堂上探索这个主题

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工具书类

《四面体》第4章现代纯立体几何。纽约：切尔西出版社，第48-110页和第250页，1979年。巴里奇奥尼，答：。重心和重心坐标。克劳德·赫曼特，1964Couderc，P.和Balliccioni，A。总理丽芙·杜·特拉德雷（livre duétraèdreál’usage deséléves de premire），《数学竞赛》、《大选中候选人》和《大选中》。巴黎：高瑟·维拉斯，1935年。克雷尔，A.L.“Einige Bemerkungen尤伯·德雷塞提格·金字塔。"Sammlung mathematischer Aufsätze公司u.贝默孔根 1, 105-132, 1821.加药器，G。Eléments公司最终目的地，avec应用程序，三角洲分析《空间》，第二版。巴黎：《戈瑟·维拉斯》，第252-293页，1905年。加德纳，M.“四面体”第19章这个科学美国人的第六本数学游戏书。伊利诺伊州芝加哥：大学芝加哥出版社，第183-194页，1984年。几何技术。“四面体。”http://www.scienceu.com/geometry/facts/solids/tetra.html.格兰维尔，A.“n个-尺寸四面体。"Aequationes数学。 41,234-241, 1991.Guy，R.K.“高氏格点问题”§F1英寸未解决数论问题，第二版。纽约：Springer-Verlag，第240-241页，1994霍普夫，H。〈几何精选章节〉，ETH Zürich讲座，第1-2页，1940年。http://www.math.cornell.edu/~孵化器/其他/hopf-samelson.pdf.李，J.R.《四面体余弦定律》J.韩国社会数学。编辑序列号。B： 纯应用程序。数学。 4, 1-6, 1997.莱默，D.H。“n个-维度四面体。"杜克数学。J。 7,341-353, 1940.Rouché，E.和de Combrouse，C。特点新墨西哥州戈梅特里。日期：。，第一卷：盖奥梅特里平面。巴黎：高瑟·维拉斯，1922年。Rouché，E.和de Combrousse，C、。特点新墨西哥州戈梅特里。éd。，第2卷：盖奥梅特里在太空中。巴黎：高瑟·维拉斯，1922年。冯·斯塔特，K.G.C。“Ueber einige geometrische Sätze。”J.reine angew。数学。 57,88-89, 1860.Xu，Y.和Yau，S.“数字的一个尖锐估计四面体中的积分点。"J.reine angew。数学。 423,199-219, 1992.

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“四面体。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html

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