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双多面体


对偶原理,每多面体,存在另一个多面体其中面和多面体顶点占据互补位置。这个多面体称为对偶或互惠。接受双重身份的过程也被称为往复运动,或极性往复运动。布吕克纳(1900)是最早给出准确答案的人之一二元性的定义(Wenninger 1983,第1页)。

从任何给定的多面体开始,其对偶的对偶就是原始多面体。

任何多面体都可以与第二个(抽象的、组合的、拓扑的)对偶图形相关联,其中一个多面体的顶点对应于另一个多面体的面,一个多面体的顶点对之间的边对应于另一个多面体的面对之间的边。即使不能通过往复获得一对多面体,只要其中一个多面体的顶点对应于另一个多面体的面,并且其中一个的边与另一个的边沿以关联表示的方式对应,它们就可以称为彼此的(抽象的、组合的或拓扑的)对偶。然而,并不是所有这样的对偶都是几何多面体。

双重操作在沃尔夫拉姆语言作为双多面体[].

双重结构1双重结构2

一个柏拉图立体,阿基米德固体,或实际上任何均匀多面体可以通过连接每个边周围的中点来计算多面体顶点(该顶点图形; 左图),以及构造相应的相切多边形(与外接圆顶点图形; 右图)。这有时被称为Dorman-Luke建筑(Wenninger 1983年,第30页;Cundy和Rollett 1989年,第117页)。Dorman Luke的构造只能在多面体具有这样一个中层顶点图形是循环的。

根据Cundy和Rollett(1989年,第79页)的说法,在往复运动中,极线是垂直的,为了选择合适的半径,它们可以相交。这是倒数多面体最有趣的位置,其中一条的每条边以直角相交(通常也在中点处)另一个的对应边。事实上,许多人都很有吸引力多面体化合物就是这样形成的。

一个的对偶多面体柏拉图立体阿基米德固体也可以通过构造多面体边缘与…相切中层(有时也会称为往复球体或空隙)垂直的改为原来的多面体边此外,对成为半径(inradius)对偶多面体(对应大气层内,它接触到了双面固体),ρ成为中半径多面体及其对偶(对应于中层,它触及多面体及其对偶体的边缘),以及R(右)这个外半径(对应环圈接触到的固体实体的顶点)。自从周界大气层内彼此是双重的,对,R(右),ρ服从极性关系

 Rr=ρ^2

(Cundy和Rollett 1989年,第144页后的表二)。

双柏拉图固体

通过往复运动形成对偶的过程中层如上图所示柏拉图立体. The顶行显示原始实体。中间一行显示了原始实体作为直线叠加在相切多边形上,形成相应的对偶。最后多面体化合物由…组成多面体其双重性如最下面一行。

对于阿基米德固体具有v(v)顶点,(f)面,以及e(电子)边,对偶多面体具有(f)顶点,v(v)面,以及e(电子)边缘。等角实体的对偶(即所有顶点相似)是等面体(即所有面都相似)(Wenninger 1983,第5页)。

任何非凸的对偶均匀多面体是一种星状的凸面船体给定的多面体(Wenninger 1983,第3-4和40页)。

对于柏拉图式的阿基米德固体,固体及其对偶体的体积比等于固体及其对偶物的表面积,阿波罗纽斯首先注意到这一性质对于十二面体二十面体.

下表列出了柏拉图立体开普勒-蓬索多面体,以及多面体-双重的化合物。(请注意柏拉图式的固体就是他们自己柏拉图立体,所以没有新的实体是由柏拉图实体的对偶构成的。)

对偶也可用于其他多面体,包括阿基米德实体和均匀实体。下表给出了一些固体及其对偶体的名称。

多毛类具有Schläfli符号 {p,q,r}和它的对偶位于相互的位置{p,q,r}的边界多面体可以通过选择的顶点{p,q,r}最靠近的每个顶点{r,q,p}.


另请参见

阿基米德固体,标准多面体,二重性原则,中层,柏拉图立体,多面体,多面体化合物,往复运动,自对偶多面体,制服多面体,顶点图形,带状面体

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工具书类

M·布吕克纳。维埃莱切领导下的维埃莱克。德国莱比锡:Tuubner,1900年。Cundy,H.和Rollett,A。数学模型,第三版。斯特拉德布鲁克,英格兰:Tarquin Pub。,1989格伦巴姆,B。凸面的多元论,第二版。纽约:Springer-Verlag,第46-51页,2003年。雄鹿,G.“二元性”http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/deuality.html(网址:http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/deuality.html).威尔斯,D。这个企鹅奇趣几何词典。伦敦:企鹅,第60页,1991年。M.J.温宁格。二重的模型。英国剑桥:剑桥大学出版社,1983年。

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双多面体

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“双多面体。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/DualPolyhedron.html

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