柏拉图立体

柏拉图立体，也称为规则立体或规则多面体，包括凸多面体组成等效面一致的凸面的 有规律的多边形这样的固体正好有五种（Steinhaus 1999，第252-256页）：这个立方体,十二面体,二十面体,八面体,和四面体正如欧几里德在最后证明的那样的主张元素.柏拉图立体有时也被称为“宇宙人物”（克伦威尔1997），尽管这个术语有时被用来统称柏拉图立体和 开普勒-庞森多面体（科克塞特1973）。

古希腊人知道柏拉图式立体，柏拉图在他的Timaeus公司约公元前350年。在这部作品中，柏拉图将四面体用“元素”火立方体用地球，这个二十面体用水八面体空气，以及十二面体用…的东西构成星座和天堂的地方（克伦威尔1997）。掠夺柏拉图，苏格兰新石器时代的人们早在一千年前就开发出了这五种固体。这些石头模型保存在牛津阿什莫尔博物馆（Atiyah和Sutcliffe）2003年）。

Schläfli（1852）证明了有六个正则体具有柏拉图性质（即。，规则多边形)四分之一维度，五个维度中有三个，所有更高维度中都有三个。然而，在这之前，他的作品（没有插图）一直鲜为人知Cayley（Schläfli 18581860）以英语部分出版。其他数学家例如，斯特林厄姆后来在1880年独立地发现了类似的结果施拉弗利的作品于1901年全部在他死后出版。

如果是一个多面体具有全等（凸）规则多边形面，然后是克伦威尔（1997年，第77-78页）表明以下语句是等效的。

1.的顶点都躺在一个球.

2.所有二面角是相等的。

3.所有顶点图形是有规律的多边形.

4.所有立体角是等效的。

5.所有顶点都被相同数量的面孔.

让（有时表示为)是的数字多面体顶点,（或)的数量图形边,和（或)的数量面孔。下表给出了施拉弗利符号,威瑟夫符号和C&R符号，顶点数,边缘,和面,和点编组柏拉图固体（温宁格1989). 柏拉图立体的有序面数为4、6、8、12、20（OEISA053016号; 按照四面体、立方体、八面体的顺序，十二面体，二十面体），这也是顶点的有序数量（在有序四面体、八面体、立方体、二十面体、十二面体）。订购的编号边缘为6、12、12、30、30（OEISA063722号；按照四面体的顺序，八面体=立方体，十二面体=二十面体）。

柏拉图固体的对偶是其他柏拉图固体，事实上四面体是另一个四面体.让成为半径（inradius）对偶多面体（对应到大气层内，它接触到了双面固体），成为中半径多面体及其对偶（对应于中层，它触及多面体及其对偶体的边缘），这个外半径（对应到周界接触到的固体实体的顶点），以及实体的边长。自从周界和大气层内彼此是双重的，他们服从这种关系

（Cundy和Rollett 1989年，第144页后的表二）。此外，

以下两个表给出了单位边长的柏拉图实体的这些距离的解析值和数值。

最后，让我们成为地区单曲的面对,成为体积固体，以及多面体边属于单位边长。下表总结了柏拉图式的这些量固体。

下表给出了二面角 和角度被柏拉图立体的中心边缘所包围（Cundy和Rollett 1989年，第144页后的表二）。

的数量多面体边会议地点：多面体顶点是. TheSchläfli符号可用于指定柏拉图实体。对于面为-gons（表示)，使用触摸每个多面体顶点，符号为.给定和，数量多面体顶点,多面体边，和面是由提供

上图显示了嵌入在增强的原始实体的形式，在这里选择缩放，以便双顶点躺在原始面孔的中间（Wenninger 1983，第8-9页）。

由于柏拉图立体是凸的凸面船体每一个柏拉图式的实体都是实体本身。最小曲面对于柏拉图式立体框架，伊森伯格（1992年，第82-83页）对其进行了说明。