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柏拉图立体


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柏拉图立体,也称为规则立体或规则多面体,包括凸多面体具有组成的等效面一致的凸面的 有规律的多边形这样的固体正好有五种(Steinhaus 1999,第252-256页):这个立方体,十二面体,二十面体,八面体,四面体正如欧几里德在最后证明的那样的主张元素.柏拉图立体有时也被称为“宇宙人物”(克伦威尔1997),尽管这个术语有时被用来统称柏拉图立体 开普勒-蓬索多面体(科克塞特1973)。

古希腊人知道柏拉图式立体,柏拉图在他的Timaeus公司约公元前350年。在这部作品中,柏拉图将四面体在“元素”火灾中立方体用地球,这个二十面体用水八面体空气,以及十二面体用…的东西构成星座和天堂的地方(克伦威尔1997)。掠夺柏拉图,苏格兰新石器时代的人们早在一千年前就开发出了这五种固体。这些石头模型保存在牛津的阿什莫林博物馆(Atiyah和Sutcliffe2003).

Schläfli(1852)证明了有六个正则体具有柏拉图性质(即。,规则多边形)四分之一维度,五个维度中有三个,所有更高维度中都有三个。然而,在这之前,他的作品(没有插图)一直鲜为人知Cayley(Schläfli 18581860)以英语部分出版。其他数学家例如,斯特林厄姆后来在1880年独立地发现了类似的结果施拉弗利的作品于1901年全部在他死后出版。

如果P(P)是一个多面体具有全等(凸)规则多边形面,然后是克伦威尔(1997年,第77-78页)表明以下语句是等效的。

1.的顶点P(P)所有人都躺在床上.

2.所有二面角都是平等的。

3.所有顶点图形有规律的多边形.

4.所有立体角是等效的。

5.所有顶点都被相同数量的面孔.

v(v)(有时表示N_0号)是的数字多面体顶点,e(电子)(或N_1号)的数量图形边,如果(或氮气)的数量面孔。下表给出了施拉弗利符号,威瑟夫符号和C&R符号,顶点数v(v),边缘e(电子),和面孔(f),点编组柏拉图固体(温宁格1989). 柏拉图立体的有序面数为4、6、8、12、20(OEISA053016号; 按照四面体、立方体、八面体的顺序,十二面体,二十面体),这也是顶点的有序数量(在有序四面体、八面体、立方体、二十面体、十二面体)。订购的编号边缘为6、12、12、30、30(OEISA063722号;按照四面体的顺序,八面体=立方体,十二面体=二十面体)。

固体Schläfli符号威瑟夫符号C&R符号v(v)e(电子)(f)
立方体{4,3}|2 44^38126小时(_h)
十二面体{5,3}|2 55^3203012小时(_h)
二十面体{3,5}5|2 33^5123020小时(_h)
八面体{3,4}4|2 33^46128小时(_h)
四面体{3,3}|2 33^3464T_d(_d)

柏拉图立体的对偶是其他柏拉图实体,实际上是四面体是另一个四面体.日成为半径(inradius)对偶多面体(对应大气层内,它接触到了双面固体),ρ成为中半径多面体及其对偶(对应于中层,它触及多面体及其对偶体的边缘),R(右)这个外半径(对应周界接触到的固体实体的顶点),以及一实体的边长。自从周界大气层内彼此是双重的,他们服从关系

 Rr_d=ρ^2
(1)

(Cundy和Rollett 1989年,第144页后的表二)。此外,

R(右)=1/2(r_d+sqrt(r_d^2+a^2))
(2)
=平方(rho^2+1/4a^2)
(3)
r日=(ρ^2)/(平方(ρ2+1/4a^2))
(4)
=(R^2-1/4a^2)/R
(5)
ρ=1/2平方(2)平方(r_d^2+r_dsqrt(r_d ^2+a^2))
(6)
=平方米(R^2-1/4a^2)。
(7)

以下两个表给出了单位边长的柏拉图实体的这些距离的解析值和数值。

固体第页ρR(右)
立方体0.50.707110.86603
十二面体1.113521.309021.40126
二十面体0.755760.809020.95106
八面体0.408250.50.70711
四面体0.204120.353550.61237

最后,让我们A类成为地区单曲的面对,V(V)成为体积固体,以及多面体边属于单位边长。下表总结了柏拉图式的这些量固体。

固体A类V(V)
立方体11
十二面体1/4平方米(25+10平方米(5))1/4(15+7平方米(5))
二十面体1/4平方米(3)5/(12)(3+sqrt(5))
八面体1/4平方米(3)1/3节(2)
四面体1/4平方米(3)1/(12)平方米(2)

下表给出了二面角 阿尔法和角度贝塔被柏拉图立体的中心边缘所包围(Cundy和Rollett 1989年,第144页后的表二)。

固体阿尔法(拉德)阿尔法( 度)贝塔贝塔( 度)
立方体1/2π90cos^(-1)(1/3)70.529
十二面体成本^(-1)(-1/5平方米(5))116.565cos^(-1)(1/3sqrt(5))41.810
二十面体cos^(-1)(-1/3sqrt(5))138.190成本^(-1)(1/5sqrt(5))63.435
八面体cos^(-1)(-1/3)109.4711/2π90
四面体cos^(-1)(1/3)70.529cos^(-1)(-1/3)109.471

的数量多面体边会议地点:多面体顶点2电子/伏. TheSchläfli符号可用于指定柏拉图实体。对于面为第页-gons(表示{p}),使用问触摸每个多面体顶点,符号为{p,q}.给定第页问,数量多面体顶点,多面体边,和面是由提供

N_0号=(4p)/(4-(p-2)(q-2))
(8)
N_1号=(2pq)/(4-(p-2)(q-2))
(9)
氮气=(4q)/(4-(p-2)(q-2))。
(10)
柏拉图·杜阿尔斯·温宁格

上图显示了嵌入在增强的原始实体的形式,在这里选择缩放,以便双顶点躺在原始面孔的中间(Wenninger 1983,第8-9页)。

由于柏拉图立体是凸的凸面船体每一个柏拉图式的实体都是实体本身。最小曲面在Isenberg(1992年,第82-83页)中对柏拉图立体框架进行了说明。


另请参见

阿基米德固体,加泰罗尼亚固体,詹森·索里德,开普勒-蓬索特多面体,准正多面体,均匀多面体 在数学世界课堂上探索这个主题

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柏拉图立体

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。《柏拉图固体》摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/PlatonicSolid.html

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