搜索： a013596-编号：a013599
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A013595号
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| 行读取的不规则三角形：分圆多项式Phi_n（x）的系数（指数按递增顺序）。 |
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33
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0, 1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, -1, 1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, -1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, 1, -1, 0, 1, -1, 1, 0, -1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3440
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评论
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我们遵循Maple将Phi_0定义为x；它也可以被认为是1。
本表第n行长度>=1为φ（n）+1=A000010号（n） +1。行n=0的长度为2。
Phi_n（x）是有理数上ω_n:=exp（i*2*Pi/n）的最小多项式。即Phi_n（x）=产品{k=0..n-1，gcd（k，n）=1}（x-（omega_n）^k）。参见Graham等人的参考文献，4.50 a，第149、506页。
Phi_n（x）=具有Moebius函数mu（n）的产品{d|n}（x^d-1）^（mu（n/d））=A008683号（n） ，n>=1。参见Graham等人的参考文献，4.50 b，第149、506页。
Phi_n（x）=Phi_{拉德（n）}（x^（n/rad（n））），n>=2，带有rad（n）=A007947号（n） ，n的无平方核。由前面公式证明，其中只有无平方n/d(A005117号)通过将左侧的每个因子（分子或分母）映射到右侧的一个因子（反之亦然），从n的除数集合进入。
（结束）
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参考文献
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E.R.Berlekamp，代数编码理论，McGraw-Hill，1968年；见第90页。
Z.I.Borevich和I.R.Shafarevich，数论。纽约学术出版社，1966年，第325页。
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》，Addison-Wesley，1991年，第137页。
K·爱尔兰和M·罗森，《现代数论经典导论》，斯普林格出版社，1982年，第194页。
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链接
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配方奶粉
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a（n，m）=[x^m]Phi_n（x），n>=0，0<=m<=Phi（n），带φ（n）=A000010号（n） ●●●●-沃尔夫迪特·朗2013年10月29日
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例子
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Phi_0=x；Phi_1=x-1；Phi_2=x+1；Phi_3=x^2+x+1；Phi_4=x^2+1。。。
不规则三角形a（n，m）开始于：
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12。。。
0:0 1
1: -1 1
2: 1 1
3: 1 1 1
4: 1 0 1
5: 1 1 1 1 1
6: 1 -1 1
7:11 11 11 11 11
8: 1 0 0 0 1
9: 1 0 0 1 0 0 1
10: 1 -1 1 -1 1
11: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12: 1 0 -1 0 1
13: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
14: 1 -1 1 -1 1 -1 1
15: 1 -1 0 1 -1 1 0 -1 1
...
Phi_15（x）=（x^1-1）*（（x^3-1）^（-1））*（x^5-1）。因此，Phi_15（x）=1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8，给出行n=15。
通过无平方核的约简示例：Phi_12（x）=Phi_6（x^（12/6））=Phi _6（x^2）。根据莫比乌斯函数Phi_6（x）=Phi_2（x^3）/Phi_2（x）=1-x+x^2的公式，如果x->x^2，则变为Phi_12（x）=1-x^2+x^4。
（结束）
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MAPLE公司
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N： =100:#以获得达到分圆（N，x）的系数
带有（数字理论）：
对于从0到n的n do
C： =分圆（n，x）；
L[n]：=序列（系数（C，x，i），i=0..度（C））；
日期：
A： =[seq]（L[n]，n=0..n）：#注意A013595号（n） =A[n+1]
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数学
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表[系数列表[x^KroneckerDelta[n]分圆[n，x]，{n，0，15}]//展平(*彼得·卢什尼2016年12月27日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）行（n）=如果（n==0，p=x，p=polcyclo（n））；Vecrev（p）\\米歇尔·马库斯2015年12月14日
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的,美好的,标签
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作者
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经核准的
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A291137型
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| 平方数组A（n，k），n>=0，k>=0由反对偶读取，其中k列是第k个分圆多项式的逆的展开式。 |
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15
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1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, -1, 0, 1, -1, 1, -1, 0, 1, 0, 0, -1, -1, 0, 1, -1, -1, 1, 1, -1, 0, 1, 1, 0, 0, -1, -1, -1, 0, 1, -1, 0, 0, 1, 0, 1, -1, 0, 1, 0, 0, -1, 0, 0, 1, -1, -1, 0, 1, 0, 0, 0, -1, 1, -1, -1, 1, -1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, -1, -1, 0, 1, -1, 0, -1, -1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, -1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, -1, -1, -1, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0
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配方奶粉
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k列的G.f.，对于k>1，是1/Phi（k）=Product_{d|k}1/（1-x^（k/d））^mu（d），其中mu（）是Moebius函数A008683号.
对角线等于行0，T（k，k）=T（0，k）=（-1）^[k=1]-M.F.哈斯勒，2018年3月1日
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例子
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第1列的G.f:1/（x-1）。
第2列的G.f:1/（1+x）。
第3列的G.f:1/（1+x+x^2）。
第4列的G.f:1/（1+x^2）。
第5列的G.f:1/（1+x+x^2+x^3+x^4）。
第6列的G.f.：1/（1-x+x^2）。
第7栏的总尺寸：1/（1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6）。
第8列的G.f:1/（1+x^4）。
第9列的G.f:1/（1+x^3+x^6）。
...
方形数组开始：
1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
0, -1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, ...
0，-1，1，0，-1，0，0，0，0，0，0，0，0，1，0。。。
0, -1, -1, 1, 0, 0, -1, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, ...
0, -1, 1, -1, 1, 0, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, ...
0, -1, -1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, ...
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数学
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表[函数[k，级数系数[1/分圆[k，x]，{x，0，n}][j-n]，{j，0，13}，{n，0，j}]//展平
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）={k||return（！n）；polceoff（1/（polcyclo（k）+O（'x^（1+n%=k）），n）}\\M.F.哈斯勒，2018年3月1日
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作者
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经核准的
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0, 105, 385, 1365, 1785, 2805, 3135, 6545, 6545, 10465, 10465, 10465, 10465, 10465, 11305, 11305, 11305, 11305, 11305, 11305, 11305, 15015, 11305, 17255, 17255, 20615, 20615, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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这个序列是无限的-请参阅Lang引用。
另一个版本将以1开始，而不是0。
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参考文献
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贝特曼（C.Pomerance）和R.C.沃恩（R.C.Vaughan），《大学数学》。Janos Bolyai学会，34（1984），171-202。
S.Lang，《代数：第三版》，Addison-Wesley，1993年，第281页。
Maier，项目。数学。85（Birkhaueser），1990年，349-366。
Maier，项目。数学。139（Birkhaueser）1996633-638。
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链接
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P.Erdős和R.C.Vaughan，分圆多项式第r系数的界，J.伦敦数学。Soc.（2）8（1974），393-400（MR50#9835；Zentralblatt 295.10014）。
R.K.盖伊，强大的小数定律.美国。数学。《95月刊》（1988），第8期，697-712。[带注释的扫描副本]
H.迈尔，大系数分圆多项式《阿里斯学报》。64 (1993), 227-235.
R.C.沃恩，分圆多项式系数的界，密歇根数学。J.21（1974），289-295（1975）。
M.Wallner，格路组合《文凭》，德国维也纳理工大学数学与几何研究所，2013年。
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例子
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a（2）=105，因为分圆（105）包含“-2”作为系数，但对于n<105分圆（n）不包含2或-2。
x^105-1=（-1+x）（1+x+x^2）+x ^12-x ^13+x ^14-x ^16+x ^17-x ^18+x ^19-x ^23+x ^24）（1+x+x ^2-x ^5-x ^6-x ^7-x ^8-x ^9+x ^12+x ^13+x ^14+x ^15+x ^16+x ^17-x ^20-x ^22-x ^24-x ^26-x ^28+x ^31+x ^32+x ^33+x ^34+x ^35+x ^36-x ^39-x ^40-x ^41-x ^42-x ^43+x ^46+x ^47+x ^48）
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数学
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表[位置[Table[Max[Abs[Flatten[CoefficientList[Transpose[FactorList[x^i-1][[1]，x]]]，{i，1，10000}]，j][1]，{j，1，10}]-伊恩·米勒2008年2月25日
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黄体脂酮素
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（PARI）nm=6545；m=0；对于步进（n=1，nm，2，if（无平方（n），p=polcyclo（n））；o=极性（p）；对于（k=0，o，a=abs（polceoff（p，k））；如果（a>m，m=a；打印（[m，n，系数（n）]）））
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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经核准的
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A333248型
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| 行读取的三角形：行n是第n个分圆多项式的逆的周期部分。 |
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-1，1，-1，1，-1，0，1，0，-1，0，1，-1，0，0，1，0，-1，-1，0，1，-1，0，0，0，0，0，0，-1，0，-1，0，0，0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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第n个分圆多项式的逆的周期长度为n。
按行读取：
[-1]
[1, -1]
[1, -1, 0]
[1, 0, -1, 0]
[1, -1, 0, 0, 0]
[1, 1, 0, -1, -1, 0]
[1, -1, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0]
[1, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 1, 0, 0, 0, -1, -1, 0, 0, 0]
等。
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链接
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黄体脂酮素
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（PARI）行（n）=Vec（1/polcyclo（n）+O（x^n））
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交叉参考
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第n个分圆多项式的逆：A033999号（2） ，A049347号(3),A056594号(4),A010891号(5),A010892号(6),A014016号(7) -A014045型(36),A240328型(37),A014047号(38) -A014049号(40),240329英镑(41),A014051号(42),A240330型（43）中，A014053号(44) -A014055型(46),A240331型(47),A014057号(48),A240332型(49),A014059号(50) -A014061号(52),A240348型(53),A014063号(54) -A014067号(58),A240349型(59),A014069号(60),240350英镑(61),A014071号(62),A014072号(63),A240351型（64）。
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关键词
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作者
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2020年3月13日提交
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状态
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经核准的
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A076585号
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| 设P（n，x）=Product_{k=1..n}polcyclo（k，x），其中polcycol（k，x）表示第k个分圆多项式。序列给出了P（n，x）的系数数组。 |
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2
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1, 1, -1, 1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, -1, 1, 1, 1, 0, -1, -1, -1, 1, 2, 3, 3, 2, 0, -2, -3, -3, -2, -1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 0, -1, -2, -2, -2, -1, -1, 1, 2, 4, 6, 8, 9, 9, 7, 4, 0, -4, -7, -9, -9, -8, -6, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 13, 12, 9, 5, 0, -5, -9, -12, -13, -13, -11, -9, -6, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 11, 15, 20, 24, 27, 28, 27, 23, 17, 9, 0, -9
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,20
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评论
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P（n，x）的度为φ（1）+φ（2）+…+φ（n）=A002088号（n） 如果c（n，i）表示P（n，x）中x^i的系数：，A002088号（n） i）=0。
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链接
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例子
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P（5，x）=x^10+2*x^9+3*x^8+3*x ^7+2*x ^6-2*x ^4-3*x ^3-3*x ^2-2*x-1，因此：1,2,3,2,0，-2，-3，-3，-2，-1是序列中的一个段。
三角形开始：
[1]
[1, -1]
[1, 0, -1]
[1，1，0，-1，-1]
[1, 1, 1, 0, -1, -1, -1]
[1, 2, 3, 3, 2, 0, -2, -3, -3, -2, -1]
[1, 1, 2, 2, 2, 1, 0, -1, -2, -2, -2, -1, -1]
[1, 2, 4, 6, 8, 9, 9, 7, 4, 0, -4, -7, -9, -9, -8, -6, -4, -2, -1]
...
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MAPLE公司
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T： =n->（p->seq（系数（p，x，度（p）-i），i=0(
mul（numtheory[分圆]（i，x），i=1..n））：
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黄体脂酮素
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（PARI）行（n）=Vec（prod（k=1，n，polcyclo（k，x）））\\米歇尔·马库斯2019年5月24日
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交叉参考
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关键词
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签名,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, -1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, -1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, -1, 1, -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, -1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5573
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链接
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例子
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表是{1}、{-1、1}，{1、1、0}，因为n=0..3的分圆多项式是1，-1+x，1+x，l+x+x^2
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数学
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表[删除[系数列表[x^（n+1）+分圆[n，x]，-1]，{n，0，7}]
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交叉参考
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作者
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状态
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经核准的
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A156282号
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| 行读取的不规则三角形：行n是分圆多项式乘积从第二多项式到第n多项式的展开。 |
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+10
1
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1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 3, 6, 9, 11, 11, 9, 6, 3, 1, 1, 2, 4, 6, 8, 9, 9, 8, 6, 4, 2, 1, 1, 3, 7, 13, 21, 30, 39, 46, 50, 50, 46, 39, 30, 21, 13, 7, 3, 1, 1, 3, 7, 13, 22, 33, 46, 59, 71, 80, 85, 85, 80, 71, 59, 46, 33, 22, 13, 7, 3, 1, 1, 3, 7, 14, 25, 40, 60, 84, 111, 139
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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链接
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L.Carlitz，q-贝努利数和多项式杜克大学数学系。J.第15卷第4期（1948年），987-1000。
L.Carlitz和J.Riordan，二元格置换数及其q推广杜克大学数学系。J.第31卷第3期（1964年），371-388
Y.-H.He、C.Matti和C.Sun，散射变化，arXiv预印本arXiv:1403.6833[cs.SE]，2014。见表2，中柱-N.J.A.斯隆2014年6月28日
John Shareshian和Michelle L.Wachs，q-欧式多项式：超越数与主指数，arXiv:math/0608274[math.CO]，2006，第3页。
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例子
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1;
1;
1, 1;
1, 2, 2, 1;
1, 2, 3, 3, 2, 1;
1, 3, 6, 9, 11, 11, 9, 6, 3, 1;
1, 2, 4, 6, 8, 9, 9, 8, 6, 4, 2, 1;
1, 3, 7, 13, 21, 30, 39, 46, 50, 50, 46, 39, 30, 21, 13, 7, 3, 1;
1, 3, 7, 13, 22, 33, 46, 59, 71, 80, 85, 85, 80, 71, 59, 46, 33, 22, 13, 7, 3, 1;
1, 3, 7, 14, 25, 40, 60, 84, 111, 139, 166, 189, 206, 215, 215, 206, 189, 166, 139, 111, 84, 60, 40, 25, 14, 7, 3, 1
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MAPLE公司
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T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p））(
mul（numtheory[分圆]（i，x），i=2..n））：
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数学
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行[n_]：=系数列表[Product[k+1，x]，{k，1，n}]，x]；
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黄体脂酮素
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（PARI）行（n）=Vec（prod（k=1，n，polcyclo（k+1）））\\米歇尔·马库斯2017年12月12日
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A086811号
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| a_k（n）的所有整数k的平均值（按特定显式因子缩放），即第k个分圆多项式的第n个系数。 |
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+10
0
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0、3、6、16、45、126、224、1344、684、1116、4752、23760、56784、286944、164664、281472、2449224、7371648、27086400、160392960、49635936、68277888、1049956992、6077306880、1252224000、3240801792、2083408128、4066530048、35225729280、142745587200、717382656000、6279166033920、2442775449600、2080906813440、2251759104000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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当n为奇数时，第n项为整数。如果n是偶数，那么第n项是整数的两倍。推测（Y.Gallot）第n项总是一个整数。对于n≤128，这已由Yves Gallot进行了数值验证。这也是H.Möller（1970）提出的一个未经证实的猜想，即这个序列中没有任何项是负的。
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链接
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Gennady Bachman，关于分圆多项式的系数，博士论文，伊利诺伊大学香槟分校，1991年，86页。
Gennady Bachman，关于分圆多项式的系数，内存。阿默尔。数学。Soc.106（1993），第510号，80页。
埃克福德·科恩，一类算术函数，程序。国家。阿卡德。科学。美国41（1955），939-944。
伊夫·加洛特（Yves Gallot）、彼得·莫雷（Pieter Moree）和惠布·霍默森（Huib Hommersom），分圆多项式系数的值分布，arXiv:0803.2483[math.NT]，2008年。
伊夫·加洛特（Yves Gallot）、彼得·莫雷（Pieter Moree）和惠布·霍默森（Huib Hommersom），分圆多项式系数的值分布，统一。《分销理论6》（2011），177-206。
G.S.Kazandzidis，关于分圆多项式：系数，公牛。社会数学。Grèce（N.S.）4A（1963），1-11。
D.H.Lehmer，分圆多项式的一些性质，J.数学。分析。申请。15 (1966), 105-117.
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配方奶粉
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设M_k=k*Product_{prime p<=k}p。设q是任意素数>k。那么第k项（对于k>=2）是M_k*Sum_{d|M_k}（a_d（k）+a_{d*q}（k，））/（2*d）。第n个分圆多项式的第k个系数的平均值由该序列的第k系数除以Zeta（2）*k*Product{p<=k}（p+1）得出。（Zeta（2）=Pi^2/6.）[见Moree和Hommerson（2003）第8.3节。]
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MAPLE公司
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with（numtheory）：表示k从1到50 do；v:=1:w:=1:j:=1:z:=1：而ithprime（j）<=k do；v:=v*ithprime（j）；w:=w*（1+1/ithprime（j））；z:=z*（第i个素数（j）+1）；j:=j+1；结束do:v:=v*k:z:=z*k:q:=ithprime（j）：te:=0：对于i从1到nop（除数（v））do；d：=除数（v）[i]；kl（x）：=1；对于j从1到k do；如果modp（d，j）=0，则kl（x）：=泰勒（kl（x）*（1-x^j）^mobius（d/j），x，k+1）；结束if；结束do:te：=te+系数（kl（x），x，k）/d；kl（x）：=1；对于j从1到k do；如果modp（q*d，j）=0，则kl（x）：=泰勒（kl（x）*（1-x^j）^mobius（q*d/j），x，k+1）；结束条件：；结束do:te：=te+系数（kl（x），x，k）/d；结束do:zr:=te/（2*w）：打印（k，zr*z）：结束do:
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交叉参考
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关键词
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压裂,非n
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作者
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彼得·莫雷（莫雷（奥地利）mpim-bonn.mpg.de），2003年8月5日
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扩展
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状态
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经核准的
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A237446号
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| 素数p使得f（f（p））是素数，其中f（x）=Phi_6（x）。 |
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+10
0
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29, 197, 673, 2297, 3613, 5923, 6133, 6917, 8219, 13553, 15667, 17137, 21911, 30941, 33587, 35407, 38053, 44017, 45557, 46663, 51241, 53453, 65731, 67187, 82349, 94151, 115361, 132287, 143711, 164011, 164291, 165523, 178613, 180797, 182141
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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链接
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例子
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29是素数，f（29^6+29^5+29^4+29^3+29^2+29+1）=54672347801779330810964871371392077416495507203132755717是素数。因此，29是该序列的成员。
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黄体脂酮素
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（Python）
导入交响乐
来自症状输入isprime
{如果isprime（n）和isprime+n**5+n**4+n**3+n**2+n+1）**4+（n**6+n**5+n**4+n**3+n**2+1）**3+（n**6+n**5+n**4+n**3+n**2+n+1）**2+（n**6+n**5+n**4+n**3+n**2+n+1）}
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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